单元集训卷25　空间向量与立体几何专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何核心知识，通过分层题型构建从基础到综合的训练体系，强化空间观念与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基础|4题（如第1、4、5题）|坐标运算、投影向量、基底表示|空间向量概念→坐标表示→线性运算→数量积应用| |空间几何关系|5题（如第2、9、15(1)题）|线面平行/垂直判定、异面直线关系|几何公理→判定定理→向量法证明→直观图还原| |空间量计算|6题（如第3、7、12、13题）|体积、表面积、距离、角度|空间几何体结构→度量公式→向量工具转化→运算求解| |综合应用|4题（如第16、18、19题）|多面体动态问题、面面夹角|单一几何体→组合体→动态探究→空间模型构建|

单元集训卷25　空间向量与立体几何 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）已知正三棱台上、下底面的边长分别是，侧棱长为，则正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 7．（25-26高三上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，，底面，且，为中点，，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东济宁·期末）已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·上海·期末）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 10．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 11．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，M是棱BC的中点，N是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．点N到平面的距离为定值 B．若N是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 C．若N是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D．若CN与平面所成的角为θ，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知某圆台上下底面积分别为，，高为，则该圆台的侧面积为__________. 13．（25-26高三上·山西大同·期中）已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 14．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·四川雅安·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，求该截面的面积． 16．（25-26高三上·广东广州·期末）已知四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 17．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 18．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在多面体中，平面，，，为中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 19．（25-26高二下·天津·期末）如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷25　空间向量与立体几何 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解． 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 2．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 3．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）已知正三棱台上、下底面的边长分别是，侧棱长为，则正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由棱台的定义可知延长侧棱交于一点， 如图，过点作平面，分别交平面，平面于点， 由题意可知三棱锥和三棱锥为正三棱锥， 因为，所以，所以 所以，， 所以，， 所以. 4．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 所以 . 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，并用坐标表示向量 和 ，再求出空间向量的点积及模长，最后运用向量在另一向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 6．（25-26高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，利用余弦定理计算即可得到答案. 【详解】因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面， 此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 7．（25-26高三上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，，底面，且，为中点，，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，求出的长，再求到平面的距离，根据求三棱锥的体积. 【详解】设，因为底面，所以，又为中点， 所以.因为，所以. 由， 所以，即. 因为底面，所以平面底面， 又，所以平面，所以点到平面的距离为2， 因为为中点，所以点到平面的距离为1. 又， 所以. 8．（25-26高三上·山东济宁·期末）已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值. 【详解】   因为，，，所以， 解得，所以， 因此，外接圆圆心位于中点. 同理，外接圆圆心位于中点. 由此可知，外接球球心位于中点. 因为球表面积为，设外接球半径为， 所以，解得， 所以，. 以作为基底，分别记作，得，. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·上海·期末）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，故A错误； ，，故的周长为，故B正确； 的面积为，故C正确； 的面积为，故D错误． 10．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据线面位置关系的向量形式判断A；根据共面向量定理的推论判断B；根据基底的概念判断C；结合数量积的坐标运算，利用投影向量公式求解判断D. 【详解】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 11．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，M是棱BC的中点，N是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．点N到平面的距离为定值 B．若N是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 C．若N是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D．若CN与平面所成的角为θ，则 【答案】ABD 【分析】选项A，通过证明平面，得到直线上的点到平面的距离为定值；选项B，将三棱锥补为圆柱，通过圆柱来计算外接球直径得到三棱锥外接球半径；选项C，画出截面，线段求和即可；选项D，求出平面的法向量，利用空间向量夹角公式得到的值是有关函数，进行最值求解即可. 【详解】选项A，因为平面,平面，所以平面， 即上的点到平面的距离为定值，又因为，所以N到平面的距离为定值，A正确； 选项B，如图所示，将三棱锥补全为直三棱柱，直三棱柱的外接圆柱如图所示， 则三棱锥、直三棱锥、外接圆柱的外接球相同，因为， 所以圆柱底面圆心在线段上(为中点），设为三角形的外接圆圆心，半径为， 则， 圆柱外接球直径为，则三棱锥外接球半径为， 外接球面积为，B正确； 选项C，在平面内作平行，交于点Q，易求，截面周长为： ，C错误； 选项D，建立如图所示空间直角坐标系，则， ，设平面的法向量, 则，令，则， 有, 当，；当，， 仅当时等号成立，又， 综上所述，，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知某圆台上下底面积分别为，，高为，则该圆台的侧面积为__________. 【答案】 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，高， 则，，解得， 圆台母线长为， 所以圆台的侧面积为. 13．（25-26高三上·山西大同·期中）已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 【答案】 【分析】利用球的内接三棱锥，得到球的半径与三棱锥棱长的关系，再利用余弦定理求解的长度即可. 【详解】依题意，将三棱锥补全为正三棱柱. 该三棱锥外接球球心恰为正三棱柱上下底面的中心连线的中点， 设的外接圆圆心为，外接圆半径为， 则，解得， 设外接球球心离底面的高度为， 在中，则，所以. 所以. 14．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·四川雅安·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，求该截面的面积． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 在正方形中，对角线与互相平分，所以为的中点， 在中，因为为的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接交于点，证得，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，证得，得到过三点作正方体的截面为梯形，进而求得截面的面积. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为分别是的中点，可得， 在正方体中，可得，所以， 所以过三点作正方体的截面为梯形， 因为正方体的棱长为4，可得， 过点作，可得， 所以该截面的面积为. 16．（25-26高三上·广东广州·期末）已知四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) 取中点，连接，因为分别为的中点， 所以，且， 因为四边形是正方形，是的中点，所以，且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面；    (2) 连接，交于点，连接， 因为，是的中点，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，所以平面；    (3). 【分析】（1）取中点，连接，利用中位线性质和平行四边形的性质证得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，交于点，连接，结合等腰三角形的性质及正方形的性质，利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）结合正四棱锥的性质求出高，利用等体积法求解三棱锥的体积即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为是中点，所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以， 因为四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2， 所以四棱锥为正四棱锥，所以到平面的距离为， 因为，所以， 又，所以， 所以. 17．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 18．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在多面体中，平面，，，为中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】(1)连结CF，因为，所以， 所以四边形为平行四边形，因此； 因为 F为BD中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为，所以平面. (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一和平面分别得到，，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据即可证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示直线与平面所成角的正弦值即可求得BA长，再利用向量法求平面与平面ADE夹角的余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以以C为原点，所在直线分别为轴、轴，过C作与平行的线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， 设，则. 设平面的一个法向量， 则，令，则 ，所以. ， 因此直线与平面所成角的正弦值为， 解得. 所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 平面与平面ADE夹角的余弦值为. 19．（25-26高二下·天津·期末）如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)连接交于点， 因为四边形为矩形，所以点是的中点， 连接，又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）使用三角形中位线的性质与线面平行判定定理证明； （2）使用向量法计算； （3）使用向量法计算. 【详解】（1）略 （2）由题知，，，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，， ，，设平面的一个法向量为，则 ，令，得，，， ,，设平面的一个法向量为，则 ，令，得，， 平面与平面夹角的余弦值为：. （3），平面的法向量为， 则点到平面的距离为：. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $