空间向量与立体几何：证明线面垂直、补全线面垂直的条件 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦线面垂直证明与条件补全，通过正反双向训练构建空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明线面垂直|3例+3变式|三棱锥、直三棱柱等几何体中线面垂直证明，结合线面角、二面角计算|以线面垂直判定定理为核心，从正向证明到逆向补全条件，形成完整推理链条| |补全线面垂直的条件|3例+3变式|探究棱上点位置或参数值使线面垂直，涉及存在性判断|以线面垂直判定定理为核心，从正向证明到逆向补全条件，形成完整推理链条|

2027届高三数学一轮复习专项训练 空间向量与立体几何：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 考点目录 证明线面垂直 补全线面垂直的条件 考点一 证明线面垂直 例1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 例3．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 变式1．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，．    (1)求证：平面 (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 变式2．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，一张边长为2的正方形纸片ABCD，E为AB的中点，现沿DE将折起至，使得． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式3．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在四边形中，，，，，，点H满足.将沿翻折至，使得，E为的中点，M是上的一点. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 考点二 补全线面垂直的条件 例1．（25-26高三上·云南昭通·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例2．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：    (1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； (2)当的值为多少时，能使平面？ 例3．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）如图，在五面体中，平面ABC，，，.    (1)问：在线段CD上是否存在点P，使得平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由. (2)若，，，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值. 变式1．（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 变式2．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知在三棱柱中，平面，，且，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，说明理由. 变式3．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 空间向量与立体几何：证明线面垂直、补全线面垂直的条件专项训练 考点目录 证明线面垂直 补全线面垂直的条件 考点一 证明线面垂直 例1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． (2)存在， 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量进行求解． 【详解】（1）略 （2）由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 例2．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证法一：取中点N，连结，，，， 在直三棱柱中，，，， 所以，所以，所以，即， 因为为中点，可得，所以， 所以，且， 又因为，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面． 证法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得，，，，，，， 所以，可得，，， 因为，，可得，， 即，， 又因为，且平面，所以平面． (2)1 【分析】（1）证法一：取中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，证得，得到，进而证得平面；证法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，得到，，进而证得平面． （2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 因为向量， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 设平面与平面所成二面角为，可得， 所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 例3．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2)存在 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 变式1．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，．    (1)求证：平面 (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：已知底面，且底面，所以，因为，，所以，又，可得为等边三角形，又E为CD的中点，所以，又，所以，又，PA，AB平面PAB，所以平面． (2) 【分析】（1）由底面，得到，易得为等边三角形，根据E为CD的中点，得到，从而得到，再利用线面垂直的判定定理证明； （2）由（1）知AE，AB，AP两两互相垂直，建立空间直角坐标系，易知是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求解. 【详解】（1）略； （2）解：在中，，，所以， 由（1）知AE，AB，AP两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，，，则，，，，， 因为底面，且底面，所以， 由，可得，又，，平面， 所以平面，可知是平面的一个法向量， 又，， 设平面的一个法向量为，则，得， 即，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 变式2．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，一张边长为2的正方形纸片ABCD，E为AB的中点，现沿DE将折起至，使得． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由已知得，又，， 所以，所以， 又，，平面，所以平面； (2)． 【分析】小问（1）线面垂直的判定定理，小问（2）建立空间直角坐标系求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：以C为原点，CB，CD为x轴，y轴，垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立空间直角坐标系． 由已知得，，，设，由， 得，解得，所以， 所以，，，设平面的一个法向量为，由 ，不妨取，得，，所以， 设直线与平面所成角为，则, 所以直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以B到平面的距离 ， 取CD中点F，连EF，，BF，过作于O，连OB，则，， 又，平面，所以平面，所以， 因为平面，所以，所以，所以，， 因为，，，平面BCDE，所以平面BCDE， 所以，所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式3．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在四边形中，，，，，，点H满足.将沿翻折至，使得，E为的中点，M是上的一点. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）逐步求证、平面、平面即可； （2）以为原点建系，设，根据求出，再分别计算两个平面的法向量即可. 【详解】（1）因为，，故，， 因为，，所以， 所以，， 因为，所以，又，所以， 在直角梯形中， 则，则， 因为，，所以， 则，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，，， 设，则， 则， 则，得，则， 分别设平面和平面的法向量为， 则，， 令，则， 则， 则二面角的正弦值为. 考点二 补全线面垂直的条件 例1．（25-26高三上·云南昭通·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 例2．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：    (1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； (2)当的值为多少时，能使平面？ 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值； （2）可先猜测的值，然后证明平面，根据平行六面体法人几何性质结合线面垂直的判定定理证明、或者补形证明、或者利用空间向量的线性运算证明． 【详解】（1）连接、设和交于，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接．   四边形是菱形， ，又，． 又，， △△，， ，， 又，，平面 平面， 又平面，． 是二面角的平面角． 方法一：∵，可得，， 又． 因为平面，故平面平面， 而平面平面，平面， 故平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故， ∴． 又，∴， ∴． 方法二：在中，． 由余弦定理知， 又，∴， ∴，即． ∴是中点，． 方法三：∵，， ∴， 即． ∴， ∴， ，． ∴，故． （2）当时，能使平面． 方法一 ：由前知平面，∴． 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形． 同的证法可得， 而平面，故平面． 方法二 ：∵，∴． 由题设可知三棱锥是正三棱锥，设与相交于．    ∵，且，∴． 又是正三角形的边上的高和中线， ∴点是正三角形的中心． ∴平面，即平面． 方法三 ：如图，沿面补一个全等的平行六面体．    ∴．若平面，则平面． ∴．令． 由余弦定理可知，． 又，则， 即． ∴，解得或（舍）． 由此可知当时，平面． 方法四：如图，若平面，则与成的角．过作交的延长线于，则．四边形为平行四边形．设，，则． ∵，∴． ∴，． 在Rt中，，即， ∴，解得或（舍去）． 由此可知当时，平面．    方法五：记，菱形边长为． ∵是菱形，∴． 又，∴平面，得，要使平面，还需． 由， 则， 得，即时成立． 例3．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）如图，在五面体中，平面ABC，，，.    (1)问：在线段CD上是否存在点P，使得平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由. (2)若，，，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值. 【答案】(1)存在，即当P为线段CD的中点时，平面ACD；证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断出结论；证明时分别取的中点为，连接，根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）延长交于一点F，连接，说明为平面ECD与平面ABC的交线，进而证明即为平面ECD与平面ABC夹角，解直角三角形，即可求得答案. 【详解】（1）当P为线段CD的中点时，平面ACD； 证明：分别取的中点为，连接，    则，而，， 故,即四边形为平行四边形， 则; 因为平面ABC，平面,故，则； 由，O为AC中点，故，则， 又平面， 故平面ACD； （2）在平面中延长交于一点F，连接， 则为平面ECD与平面ABC的交线，    由于，，故B为的中点， 而O为的中点，故， 由（1）知，平面ACD，故平面ACD， 所以平面ACD，平面ACD， 故，平面,平面， 且平面ABC，平面ABC，故，则为锐角， 故即为平面ECD与平面ABC夹角， 在中，，，所以, 则, 即平面ECD与平面ABC夹角的余弦值为. 变式1．（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)当时，MN⊥平面PCD 【分析】（1）根据题意可证∥且，则为平行四边形，即∥，结合线面平行的判定定理说明；（2）根据线面垂直的判定和性质均可得MN⊥平面PCD⊥PD． 【详解】（1）取的中点，连接 ∵分别为的中点，则∥且 又∵M是AB的中点且四边形ABCD为矩形，则∥且 则∥且，即为平行四边形，则∥ 平面PAD，平面PAD ∴平面PAD （2）若MN⊥平面PCD，∥，则⊥平面PCD ∴⊥PD，且为的中点 ∴ 若且为的中点，则⊥PD ∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD 四边形ABCD为矩形，则AD⊥CD ，则CD⊥平面PAD 平面PAD，则⊥CD ，则⊥平面PCD ∥，则MN⊥平面PCD 综上所述：当时，MN⊥平面PCD 变式2．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知在三棱柱中，平面，，且，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为平面，，以为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则，， ， ，. 所以，. 设平面的一个法向量为，则有 . 令得.所以. 所以. 所以. 因为平面， 所以平面. (2)假设在棱上存在一点，使平面. 设，则. 由第（1）问知，平面的法向量为， 平面. 所以. 解得，即，且. 所以在棱上存在一点，且满足，使平面. 【分析】（1）以为坐标轴建立空间直角坐标系，求出以及平面的一个法向量，可得数量积为零，进而可得答案. （2） 假设在棱上存在一点，使平面. 设，利用列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和正方形的对角线的性质可得证．. （2）根据线面垂直的判定定理可证得平面． 【详解】（1）如图，连接，因为，，所以，分别为，的中点，所以， 又，所以. （2）如图，取的中点，连接，， 因为平面，所以，又，所以. 因为，，所以. 因为，所以平面， 所以在线段上，存在点，使得平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $