专题 2.3 用频率估计概率（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦“用频率估计概率”核心知识点，以频数与频率概念为基础，通过频率稳定性（大数定理）建立理论支撑，系统梳理用频率估计概率的方法、频率与概率的区别联系及实际运算应用，构建完整知识支架。 资料特色在于分层题型设计与情境化应用，夯实基础题型（如频数计算、频率稳定值判断）培养抽象能力与数据意识，综合提升题型（如命中率、发芽率估算）强化推理意识与应用意识。同步检测覆盖多样题型，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，全面发展数学核心素养。

专题 2.3 用频率估计概率（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】频数与频率的概念 1 【知识点二】频率的稳定性（大数定理） 2 【知识点三】用频率估计概率 2 【知识点四】频率与概率的区别与联系 2 【知识点五】用估计概率进行实际运算 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】频数、频率的基础计算 3 【题型 2】根据试验数据表判断频率稳定值、估计概率 5 【题型 3】频率与概率概念辨析（易错题） 8 三.题型精析（综合提升） 10 【题型 4】利用频率估计概率估算总体数量 10 【题型 5】生活实际类概率估算（命中率、发芽率） 12 【题型 6】频率变化综合分析 15 四.同步检测 19 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 27 一.知识梳理与解读 【知识点一】频数与频率的概念 在相同条件下进行重复试验： 1. 频数：某事件在试验中实际发生的次数，用表示； 2. 总试验次数：全部试验的总次数，用表示； 3. 频率：事件发生的频数与总试验次数的比值，公式：。 【要点提示】 ① 频率是试验后得到的统计值，每一次试验批次不同，频率可能不同，具有波动性； ② 频率取值范围：。 【知识点二】频率的稳定性（大数定理） 在相同条件下进行大量重复试验时，随机事件发生的频率会逐渐趋于稳定，在某个固定数值附近小幅波动，试验次数越多，频率越稳定、越接近真实水平。这一规律叫做频率的稳定性。 【要点提示】 ① 只有大量试验才有稳定性，少量试验频率波动大，不具备参考价值； ② 频率稳定后的固定数值，就是该随机事件的概率。 【知识点三】用频率估计概率 当随机试验不满足“结果有限、等可能”的古典概型条件，或无法列举所有结果时，可利用频率稳定性估计概率：用大量重复试验下的频率稳定值，作为事件概率的估计值。 即： 【要点提示】 ① 概率是事件固有的固定常数，频率是动态变化值； ② 试验次数越多，估计的概率越准确，误差越小； ③ 该方法适用于：种子发芽、产品合格率、投篮命中率、动物存活等非等可能实际问题。 【知识点四】频率与概率的区别与联系 区别：概率是事件本身的属性，固定不变；频率是试验统计结果，随试验次数变化、存在波动。 联系：大量重复试验中，频率围绕概率波动，并逐渐稳定于概率。 【要点提示】 严禁等价混淆：频率≠概率，频率只能近似估计概率。 【知识点五】用估计概率进行实际运算 通过频率估计出概率后，可对总体数量进行估算： 【要点提示】 计算结果为近似估计值，并非精准定值，试验样本量越大，预估结果越可靠。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】频数、频率的基础计算 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学参加周末社会实践活动，到某蔬菜大棚中收集到20株西红柿秧苗上西红柿的个数，并绘制频数直方图如下图所示． （1）请补全频数分布表． 个数x                          株数（频数） 2 2 （2）通过频数直方图试分析此大棚中西红柿的长势． 【答案】（1）见分析；（2）此大棚中西红柿的长势普遍较好，最少都有28个；西红柿个数最集中的在第三组，共7株（合理即可）． 【分析】（1）根据所给出的数据分别得出各段的频数，从而补全统计表； （2）根据频数分布直方图所给出的数据分别进行分析即可． 解：（1）解：补全频数分布表如下： 个数x 株数（频数） 2 5 7 4 2 （2）解：示例：此大棚中西红柿的长势普遍较好，最少都有28个；西红柿个数最集中的在第三组，共7株（合理即可）． 【点拨】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）在频数直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的频数等于其他10个小长方形的频数和的，且共有160个数据，则中间一组数据的频数是（   ） A．32 B．0．2 C．40 D．0．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了频数直方图、一元一次方程的应用等知识点，掌握总频数等于所有小长方形频数之和是解题的关键． 设中间一组频数为x，则其他10组频数之和为，再根据总频数列方程求解即可． 解：设中间一组数据的频数为x． ∵ 中间一组频数等于其他10组频数和的， ∴ 其他10组频数之和为． ∵ 总频数为160， ∴，解得：． ∴中间一组数据的频数为32． 故选A． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 【答案】 解：随着抛掷次数的增加，钉尖触地频率逐渐稳定在附近， 则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是． 【变式3】（25-26七年级下·江西九江·期中）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率是 ； （2）试估计盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）的条件下，如果取走2个白球和4个黑球，求从剩余的球中摸出一个球是黑球的概率？ 【答案】（1），；（2）盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个；（3） 【分析】（1）观察图象得到摸到白球的频率，然后利用频率估计概率得到摸到白球的概率； （2）根据摸到白球的概率先计算出盒子里白球的数量，再用总数量减去白球的数量即可得到黑球的数量； （3）利用概率公式求解即可． （1）解：摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近， 摸到白球的概率是； （2）解：（个）， （个）； 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）解：根据题意，黑球的概率为：， 答：从剩余的球中摸出一个球是黑球的概率为． 【题型 2】根据试验数据表判断频率稳定值、估计概率 【例题2】（24-25七年级下·广东茂名·期中）研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个白球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 统计结果如表： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到有记号的球的次数m 25 44 57 105 160 199 摸到有记号的球的频率 0.25 0.22 0.19 （1）请你完成上表中数据，并估计摸到有记号的球的概率是多少？（结果精确到0.1） （2）估计盒中共有球多少个？没有记号的球有多少个？ 【答案】（1）补全表格中摸球次数为500、800、1000时对应的频率依次为、、；估计摸到有记号的球的概率为；（2）估计盒中共有球个，没有记号的球有个 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数求出表格中对应的频率，再根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值可得对应的概率； （2）根据概率公式计算球的总数，进而可求出没有记号的球的个数． 解：（1）解：，，； 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到有记号的球的频率逐步稳定在附近， ∴估计摸到有记号的球的概率是； （2）解：个， 个， 答：估计盒中共有球个，没有记号的球有个． 【变式1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到答案． 解：随着抛掷次数不断增大，“正面朝上”的频率逐渐稳定，当抛掷次数足够大后，频率稳定在， 根据用频率估计概率的原理，估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【答案】 【分析】大量重复试验中，频率稳定后的值可作为概率的估计值，观察表格中试验次数增大后的频率即可得到结果． 解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在，则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）一个不透明的口袋内装有蓝球和红球共6个，它们除颜色外完全相同，小明想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验． （1）下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（m） 100 200 400 500 600 1500 取出红色球的次数（n） 32 68 134 166 200 499 取出红色球的频率（） 由表格中的信息可得：口袋中有_______个红球； （2）从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据试验，估计取出红色球的频率约为，利用频率估计概率，求解即可； （2）根据画树状图法，求概率解答即可． 解：（1）解：根据实验，估计取出红色球的频率约为， 故取出红色球的概率约为， 故口袋中有（个）红球； （2）解：根据题意，得有2个红球，4个蓝球，设红球分别表示为，；4个蓝球分别表示为，，，，画树状图如下： 一共有30种等可能性，两个球的颜色能配成紫色的有16种等可能性， 故两个球的颜色能配成紫色的概率是． 【题型 3】频率与概率概念辨析（易错题） 【例题3】（25-26九年级下·全国·课后作业）在投掷正方体骰子时，同学甲说：“6，6，6，…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．” 同学乙说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．” 这两位同学的说法正确吗？ 【答案】两位同学的说法都不正确． 【分析】本题考查随机事件的性质，投掷正方体骰子是随机事件，每次掷出每个点数的概率相等，结果不受人的主观意愿影响，据此可判断两人的说法均错误． 解：投掷正方体骰子，共有6种等可能的结果，掷出1到6中任意一个点数的概率都为． 每一次投掷骰子都是独立的随机事件，结果是随机的，不会受人的主观意愿改变． 无论是一直想某个数，还是刻意不想某个数，都不能改变掷出对应点数的概率，也无法保证一定得到或一定得不到该点数． 因此两位同学的说法都是错误的． 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【答案】C 解：对于选项A，∵不太可能发生的事是概率很小的随机事件，不可能事件是一定不发生的事件，二者概念不同，∴A错误． 对于选项B，∵投掷质地均匀的骰子共6种等可能结果，点数中质数为2，3，5共3种，∴掷出点数为质数的概率为，∴B错误． 对于选项C，∵中奖概率为，概率值很小，说明中奖的可能性很小，符合概率的意义，∴C正确． 对于选项D，∵概率表示事件发生的可能性大小，不代表多次试验中一定会发生对应次数，∴摸5次不一定有2次摸到红球，∴D错误． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 解：①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 【点拨】本题考查了概率的意义以及概率与频率的区别，正确区分他们是解题的关键． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见分析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】利用频率估计概率估算总体数量 【例题4】（24-25九年级上·浙江金华·期中）对一批家电进行抽检、统计合格的数量，列表如下： 抽检数量/台 300 400 500 600 700 合格频数 282 352 445 546 a 合格频率 b 0.88 0.89 0.91 0.9 （1）求a，b的值． （2）估计这批家电的合格率． （3）若售出了3000台家电，其中存在质量问题的大约有几台？ 【答案】（1），；（2）估计这批家电的合格率约为0.9；（3）大约300台 【分析】（1）根据频率=求解即可； （2）根据抽检数量的增加，合格频率在0.9附近波动，即可估计这批家电的合格率； （3）由售出家电数量×合格率求出合格数量，进而可求出存在质量问题的数量． 解：（1）解：，； （2）解：由表格可知，这批家电的合格频率在0.9附近波动，所以可估计这批家电的合格率约为0.9； （3）解：售出了3000台家电，合格家电约为3000×0.9=2700（台）， 所以存在质量的家电大约有3000-2700=300（台）． 【点拨】本题考查频数（率）分布表、频率公式、用样本估计总体，能从分布表中获取有用信息是解答的关键． 【变式1】（24-25九年级上·重庆南岸·期末）一个不透明的盒子中装有若干红球，为了估计红球的数量，但又不能将球倒出来数，现放入5个黑球，所有的红球和黑球除颜色外其余均相同．每次充分混合后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．经过大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，则盒子中红球的个数约为（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由经过大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，即可估计摸到黑球的概率，再利用概率公式计算即可． 解：设红球的个数为x个， ∵经过大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25附近， ∴摸到黑球的概率为0.25， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根， ∴盒子中红球的个数约为15个． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为______个． 【答案】12 【分析】根据频率估计概率，红球出现的频率稳定在附近，即红球的概率为，利用概率公式列方程求解白球数量． 解：设白球有x个，则总球数为个． 根据题意得：． ， 即， 移项得， 即， 解得． 检验：当时，分母，方程成立． 故答案为12． 【变式3】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）一个口袋中有8个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋，不断重复上述过程，共做了200次，其中有50次摸到黑球，试估计袋中白球的数量． 【答案】24个 【分析】本题考查利用频率估计概率以及分式方程的解法，分式方程的应用，理解频率估计概率的意义是正确解题的前提．根据频率估计概率得出黑球的个数占总个数的，列方程求解即可． 解：设袋中白球有x个． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解． 答：袋中白球的数量约为24个． 【题型 5】生活实际类概率估算（命中率、发芽率） 【例题5】（24-25九年级上·贵州·期末）“2024贵州•铜仁梵净山冬季马拉松”除“马拉松”外，还设两个特别项目，分别是“半程马拉松”（公里）和“欢乐跑”（约5公里）． 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“欢乐跑”人数 15 33 72 139 356 参加“欢乐跑”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 （1）为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，组委会对部分参赛选手作如表调查：请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为_________；（精确到） （2）小明（来自重庆市），小军（来自成都市），小红（来自遵义市），小丽（来自贵阳市）四人报名参加“欢乐跑”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率． 【答案】（1）；（2）画树状图见分析， 【分析】本题考查由频率估计概率，利用树状图求概率等． （1）根据题意中得频率估计概率即可； （2）先画出树状图，继而求出本题答案． 解：（1）解：由表格中数据可得：本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为：． 故答案为：； （2）解：小明（来自重庆市）记为甲，小军（来自成都市）记为乙、小红（来自遵义市）记为丙、小丽（来自贵阳市）记为丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的情况有（甲乙，乙甲）2种，则恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率为． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）深圳湾公园为展示“国际红树林中心”建设成果，设置了一块矩形互动科普屏．屏幕显示一个长为、宽为的矩形公园区域，其中红树林湿地的边界复杂，其面积难以直接计算．为了估算红树林的实际面积，工作人员设计了一个程序：由游客在矩形屏幕上随机点击，记录点击落在红树林图形内的次数，经过统计发现点落在红树林区域的频率稳定在附近．据此，可以估计红树林区域的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率、几何概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．设红树林区域的面积约为，先求出点落在红树林区域的概率为，再利用几何概率公式计算即可得． 解：设红树林区域的面积约为， ∵经过统计发现点落在红树林区域的频率稳定在附近， ∴点落在红树林区域的概率为， 由题意得：， 解得， ∴估计红树林区域的面积约为， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 【答案】5.4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用正方形的面积乘以点落在内部的频率即可得出答案． 解：的面积约为， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·广东清远·期末）“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项目，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）． （1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“迷你马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“迷你马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1） （2）小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）利用表格中的数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 解：（1）解：由表格中的数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表得： 小明 小军 小红 小丽 小明 小军，小明 小红，小明 小丽，小明 小军 小明，小军 小红，小军 小丽，小军 小红 小明，小红 小军，小红 小丽，小红 小丽 小明，小丽 小军，小丽 小红，小丽 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取两名来自广东省外的志愿者的情况有种， 恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率． 【题型 6】频率变化综合分析 【例题6】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】（1）①3②2或1；（2）1 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 解：（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 【变式1】（2024·福建厦门·二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 【点拨】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 【变式3】（24-25九年级下·福建漳州·阶段检测）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x（℃）及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃） 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． （1）试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【答案】（1）0.9；（2）瓶 【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 解：（1）依题意可知， 今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为； （2）根据题意可知： 该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元， 设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，与时比较， 六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多， 所以其每天的平均利润比时平均每天利润少． 综上所述：时，的值达到最大． 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【点拨】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25九年级下·宁夏银川·开学考试）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 解：∵随机摸出的5个球中，有3个是红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋中共有10个球， ∴估计袋中红球的个数为（个）． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 3．（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）． 4．（24-25九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 5．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球 C．掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上 D．转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域 【答案】A 解：由题干折线统计图可得，当试验次数很多时，频率稳定在， A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率为，故A符合题意； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球的概率为，故B不符合题意； C、掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上的概率为，故C不符合题意； D、转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域的概率为，故D不符合题意． 6．（2026·山西吕梁·二模）在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出所有等可能的摸球结果，找出颜色相同的结果数，计算出对应概率，多次试验的频率会稳定在概率附近，据此即可得到答案． 解：记两个红球分别为，白球为，黄球为． ∵从中一次摸出两个球，所有等可能结果为： ， ， ， ， ， ，共种等可能的结果， 其中摸到两个球颜色相同的结果只有种，即 ， ∴摸到两个颜色相同的球的概率为 ． 根据频率估计概率，多次重复试验后，频率会稳定在概率附近，因此频率最可能接近． 7．（2024·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【答案】C 【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点拨】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大． 8．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级下·北京·课前预习）在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其_______的估计值． 【答案】概率 【分析】本题考查了频率与概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 解：在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值． 故答案为：概率． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 【答案】 解：由题意可知，这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为． 11．（24-25九年级下·辽宁营口·开学考试）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 【答案】25 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 解：根据题意，盒子中小球的个数为：． 12．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 13．（2026·安徽宣城·二模）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共5只，学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是试验进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 1000 摸到白球的次数 58 118 183 295 604 摸到白球的频率 请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近________（结果精确到）． 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，摸到白球的频率会逐渐稳定在某一数值附近，该数值可作为摸到白球概率的估计值． 解：观察表格中的数据可得，当逐渐增大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，因此当很大时，摸到白球的概率将会接近． 14．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【答案】 【分析】设这个“福”字的面积是，由题意可得，然后解方程即可． 解：设这个“福”字的面积是， 由题意可得， 解得， ∴这个“福”字的面积是． 15．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【分析】利用白球的频率和个数求出总数，即可得出黑球的个数． 解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 16．（2026·贵州贵阳·一模）如图，是某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的试验中，根据试验数据绘制的折线统计图，下面有2个随机事件：①一个单项选择题有A，B，C，D四个备选答案，从中任意选择一个答案，答案恰好错误；②掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上．符合该折线统计图的事件可能是______．（填序号） 【答案】② 【分析】在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 解：由折线统计图可知，试验频率的稳定值约为， ①对于单项选择题，共有4个等可能选项，其中1个为正确答案，3个为错误答案，因此，选到错误答案的概率为，与频率稳定值0.5不符 ②掷一枚质地均匀的硬币，共有2个等可能结果，其中正面朝上的结果有1种，因此概率为，与统计图中频率的稳定值一致； ∴符合该折线统计图的事件可能是②． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）某工厂接到一批电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量 982 1464 1956 2455 2940 3430 电池合格的频率 0.982 0.976 0.982 0.980 （1）__________，__________；（结果精确到0.001） （2）根据表格数据，估计该工厂生产电池合格的概率为多少？（结果精确到0.01） 【答案】（1）0.978，0.980；（2）0.98 【分析】（1）根据电池合格的频率为计算； （2）根据频率估计概率即可． 解：（1）解：由题意知，， （2）解：根据表格中的数据可知：电池合格的频率稳定在0.98左右， 估计该工厂生产电池合格的概率为0.98． 18．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）一个不透明的盒子中有红、白小球共个，除颜色外完全相同．大量有放回摸球试验，摸到红球的频率稳定在附近． （1）估计红球、白球数量； （2）现不放回一次性取出个球，再从剩余球中随机摸出一球，求摸到白球的概率． 【答案】（1）估计红球有个，白球有个；（2） 【分析】（1）利用频率估计概率的思路，用总球数乘以估计得到的红球概率，计算出红球数量，再得到白球数量； （2）分三种情况讨论取出2个球的颜色组合，分别计算每种情况发生的概率和对应条件下摸到白球的概率，再求和得到最终结果，用到概率的基本计算方法． 解：（1）解：∵盒子中共有小球个，摸到红球的概率约为， ∴红球的估计数量为：（个）； 白球的估计数量为：（个）． （2）解：由（1）可知，盒中原有4个红球，6个白球，一次性取出2个球，分三种情况计算： 从10个球中一次性取2个，共有种等可能的取法， ①取出2个红球： 取出2个红球的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有6个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； ②取出1个红球1个白球： 取出1红1白的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有5个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； ③取出2个白球： 取出2个白球的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有4个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； 将三种情况的概率相加得总概率： ． 19．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 （1）完成上述表格：__________；__________； （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】（1）295，0.6；（2）0.6；（3）144度 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 解：（1）解：， （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6， （3）， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 20．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； （3）估计袋中黑球的个数为__________只； （4）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了__________个黑球． 【答案】（1）不可能事件；（2）0.5；（3）20；（4）10 【分析】（1）不可能事件是必然不会发生的事件； （2）当重复大量随机试验后，频率会稳定在一个固定的常数，观察图象即可得到答案； （3）根据黑球个数小球总数摸到黑球的频率计算即可得到答案； （4）设小明后来放进了个黑球，根据黑球个数小球总数摸到黑球的频率列方程解方程即可得到答案． 解：（1）解：∵袋子里装有黑白两种颜色的球， ∴从袋子中随机摸一个红球是不可能事件； （2）解：由图可知，当摸球次数越来越大时，摸到黑球的频率接近0.5； （3）解：黑球的个数（个）； （4）解：设小明后来放进了个黑球， 由题意得， 解得， ∴小明后来放进了个黑球． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 用频率估计概率（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】频数与频率的概念 1 【知识点二】频率的稳定性（大数定理） 2 【知识点三】用频率估计概率 2 【知识点四】频率与概率的区别与联系 2 【知识点五】用估计概率进行实际运算 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】频数、频率的基础计算 3 【题型 2】根据试验数据表判断频率稳定值、估计概率 4 【题型 3】频率与概率概念辨析（易错题） 5 三.题型精析（综合提升） 6 【题型 4】利用频率估计概率估算总体数量 6 【题型 5】生活实际类概率估算（命中率、发芽率） 7 【题型 6】频率变化综合分析 8 四.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点一】频数与频率的概念 在相同条件下进行重复试验： 1. 频数：某事件在试验中实际发生的次数，用表示； 2. 总试验次数：全部试验的总次数，用表示； 3. 频率：事件发生的频数与总试验次数的比值，公式：。 【要点提示】 ① 频率是试验后得到的统计值，每一次试验批次不同，频率可能不同，具有波动性； ② 频率取值范围：。 【知识点二】频率的稳定性（大数定理） 在相同条件下进行大量重复试验时，随机事件发生的频率会逐渐趋于稳定，在某个固定数值附近小幅波动，试验次数越多，频率越稳定、越接近真实水平。这一规律叫做频率的稳定性。 【要点提示】 ① 只有大量试验才有稳定性，少量试验频率波动大，不具备参考价值； ② 频率稳定后的固定数值，就是该随机事件的概率。 【知识点三】用频率估计概率 当随机试验不满足“结果有限、等可能”的古典概型条件，或无法列举所有结果时，可利用频率稳定性估计概率：用大量重复试验下的频率稳定值，作为事件概率的估计值。 即： 【要点提示】 ① 概率是事件固有的固定常数，频率是动态变化值； ② 试验次数越多，估计的概率越准确，误差越小； ③ 该方法适用于：种子发芽、产品合格率、投篮命中率、动物存活等非等可能实际问题。 【知识点四】频率与概率的区别与联系 区别：概率是事件本身的属性，固定不变；频率是试验统计结果，随试验次数变化、存在波动。 联系：大量重复试验中，频率围绕概率波动，并逐渐稳定于概率。 【要点提示】 严禁等价混淆：频率≠概率，频率只能近似估计概率。 【知识点五】用估计概率进行实际运算 通过频率估计出概率后，可对总体数量进行估算： 【要点提示】 计算结果为近似估计值，并非精准定值，试验样本量越大，预估结果越可靠。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】频数、频率的基础计算 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学参加周末社会实践活动，到某蔬菜大棚中收集到20株西红柿秧苗上西红柿的个数，并绘制频数直方图如下图所示． （1）请补全频数分布表． 个数x                          株数（频数） 2 2 （2）通过频数直方图试分析此大棚中西红柿的长势． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）在频数直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的频数等于其他10个小长方形的频数和的，且共有160个数据，则中间一组数据的频数是（   ） A．32 B．0．2 C．40 D．0．25 【变式2】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 【变式3】（25-26七年级下·江西九江·期中）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率是 ； （2）试估计盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）的条件下，如果取走2个白球和4个黑球，求从剩余的球中摸出一个球是黑球的概率？ 【题型 2】根据试验数据表判断频率稳定值、估计概率 【例题2】（24-25七年级下·广东茂名·期中）研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个白球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 统计结果如表： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到有记号的球的次数m 25 44 57 105 160 199 摸到有记号的球的频率 0.25 0.22 0.19 （1）请你完成上表中数据，并估计摸到有记号的球的概率是多少？（结果精确到0.1） （2）估计盒中共有球多少个？没有记号的球有多少个？ 【变式1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）一个不透明的口袋内装有蓝球和红球共6个，它们除颜色外完全相同，小明想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验． （1）下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（m） 100 200 400 500 600 1500 取出红色球的次数（n） 32 68 134 166 200 499 取出红色球的频率（） 由表格中的信息可得：口袋中有_______个红球； （2）从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率． 【题型 3】频率与概率概念辨析（易错题） 【例题3】（25-26九年级下·全国·课后作业）在投掷正方体骰子时，同学甲说：“6，6，6，…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．” 同学乙说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．” 这两位同学的说法正确吗？ 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】利用频率估计概率估算总体数量 【例题4】（24-25九年级上·浙江金华·期中）对一批家电进行抽检、统计合格的数量，列表如下： 抽检数量/台 300 400 500 600 700 合格频数 282 352 445 546 a 合格频率 b 0.88 0.89 0.91 0.9 （1）求a，b的值． （2）估计这批家电的合格率． （3）若售出了3000台家电，其中存在质量问题的大约有几台？ 【变式1】（24-25九年级上·重庆南岸·期末）一个不透明的盒子中装有若干红球，为了估计红球的数量，但又不能将球倒出来数，现放入5个黑球，所有的红球和黑球除颜色外其余均相同．每次充分混合后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．经过大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，则盒子中红球的个数约为（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【变式2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为______个． 【变式3】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）一个口袋中有8个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋，不断重复上述过程，共做了200次，其中有50次摸到黑球，试估计袋中白球的数量． 【题型 5】生活实际类概率估算（命中率、发芽率） 【例题5】（24-25九年级上·贵州·期末）“2024贵州•铜仁梵净山冬季马拉松”除“马拉松”外，还设两个特别项目，分别是“半程马拉松”（公里）和“欢乐跑”（约5公里）． 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“欢乐跑”人数 15 33 72 139 356 参加“欢乐跑”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 （1）为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，组委会对部分参赛选手作如表调查：请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为_________；（精确到） （2）小明（来自重庆市），小军（来自成都市），小红（来自遵义市），小丽（来自贵阳市）四人报名参加“欢乐跑”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）深圳湾公园为展示“国际红树林中心”建设成果，设置了一块矩形互动科普屏．屏幕显示一个长为、宽为的矩形公园区域，其中红树林湿地的边界复杂，其面积难以直接计算．为了估算红树林的实际面积，工作人员设计了一个程序：由游客在矩形屏幕上随机点击，记录点击落在红树林图形内的次数，经过统计发现点落在红树林区域的频率稳定在附近．据此，可以估计红树林区域的面积约为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 【变式3】（23-24九年级上·广东清远·期末）“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项目，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）． （1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“迷你马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“迷你马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1） （2）小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率． 【题型 6】频率变化综合分析 【例题6】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【变式1】（2024·福建厦门·二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【变式3】（24-25九年级下·福建漳州·阶段检测）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x（℃）及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃） 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． （1）试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25九年级下·宁夏银川·开学考试）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 3．（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 5．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球 C．掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上 D．转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域 6．（2026·山西吕梁·二模）在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 8．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级下·北京·课前预习）在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其_______的估计值． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 11．（24-25九年级下·辽宁营口·开学考试）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 12．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 13．（2026·安徽宣城·二模）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共5只，学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是试验进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 1000 摸到白球的次数 58 118 183 295 604 摸到白球的频率 请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近________（结果精确到）． 14．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 15．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 16．（2026·贵州贵阳·一模）如图，是某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的试验中，根据试验数据绘制的折线统计图，下面有2个随机事件：①一个单项选择题有A，B，C，D四个备选答案，从中任意选择一个答案，答案恰好错误；②掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上．符合该折线统计图的事件可能是______．（填序号） （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）某工厂接到一批电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量 982 1464 1956 2455 2940 3430 电池合格的频率 0.982 0.976 0.982 0.980 （1）__________，__________；（结果精确到0.001） （2）根据表格数据，估计该工厂生产电池合格的概率为多少？（结果精确到0.01） 18．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）一个不透明的盒子中有红、白小球共个，除颜色外完全相同．大量有放回摸球试验，摸到红球的频率稳定在附近． （1）估计红球、白球数量； （2）现不放回一次性取出个球，再从剩余球中随机摸出一球，求摸到白球的概率． 19．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 （1）完成上述表格：__________；__________； （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 20．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； （3）估计袋中黑球的个数为__________只； （4）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了__________个黑球． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $