3.7 扇形（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦弧长公式、扇形面积公式的推导与应用，以“折扇”情境导入，衔接学生已掌握的圆周长、面积及圆心角等知识，通过“整体—局部”思想和比例法推导公式，搭建知识迁移支架。 此设计亮点在于引导学生亲历公式推导过程，培养推理意识，借助“曲边三角形”类比深化几何直观，结合折扇、油罐截面等实际问题渗透模型意识，助力学生理解公式关联与转化，提升应用能力，为教师提供结构化教学参考。

3.7 扇形（1） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版九年级上册第三章《圆》3.7　扇形（1）。核心知识点： 1.弧长公式 的推导与应用； 2.扇形面积公式 及 的推导与互证； 3.利用上述公式解决扇形及其组合、分割、转化等实际问题。 2.内容解析 本节在学生已掌握圆的周长、面积及圆心角、弧、扇形概念的基础上，借助“折扇”情境提出问题，引导学生用“整体—局部”思想比较整圆与扇形，先以比例法推出弧长公式，再迁移到面积公式，最后通过“曲边三角形”视角建立 ，完成公式的结构化建构。教材随后安排由易到难的例题、练习与探究，帮助学生熟练运算、掌握公式选择及转化技巧，突出“化曲为直、化繁为简”的数学思想，体现数学模型在生活中的价值。 1.教学目标 •理解弧长公式 的推导过程，并能熟练运用公式进行相关计算。 •理解扇形面积公式 与 ，并能灵活运用。 •能运用公式解决与扇形相关的实际问题（如阴影面积、弓形面积等）。 2.目标解析 •通过“整圆—扇形”对应关系及比例思想，让学生亲历推导过程，检验掌握情况以正确计算弧长。 •通过列表比较与“曲边三角形”类比，促使学生理解两种面积公式的来源与等价性，能够根据已知条件选择恰当公式求解。 •借助折扇、油罐截面等情境，引导学生建立数学模型，培养几何转化与综合运用能力。 3.重点难点 • 教学重点：弧长、面积两公式的推导与相互转换。 • 教学难点： 的形成机理。 九年级学生已掌握圆的基本性质、周长与面积公式，对比例、相似及三角形面积公式较熟悉，具备基本的文字—式子、式子—图形互译能力。对“圆心角—弧—弦”关系已有初步体验，但尚未形成将整圆量化为 并用比例解决问题的意识；对“曲边图形”转化为“直边图形”求面积的思想较为薄弱。易于接受公式推导中的比例思想，难点在于灵活选用两种面积公式以及在综合题中进行合理分割、补形和建立方程。通过生动情境、动手操作与分层练习，可有效提升其理解深度与应用能力。 创设情景，引入新课 问题情境： 折扇的扇面可以看作由什么图形组成？ 如果老师想知道这把折扇展开后扇面边缘这段弧的长度，以及扇面部分（阴影部分）的面积，该如何计算呢？ 【设计意图】以生活中的折扇情境激活学习动机，让学生体会扇形知识的真实性和必要性；明确学习目标，指明学习方向。 探究点：弧长公式 1.扇形 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形（sector）。 如图，当圆的半径 R 确定时，扇形的弧长 随圆心角度数 n 的变化而变化，它们之间有怎样的数量关系？ 新知探究 2.弧长与所对的圆心角的关系 在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角n之间有如下关系： l＝＝． 新知探究 3.扇形的面积与所对的圆心角的关系： 在半径为R的圆中，扇形的面积S扇形与所对的圆心角n之间有如下关系： ， 两个公式之间有什么关联？ 新知探究 类似于哪个公式呢？ 4.典例分析 例1 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．已知 ⊙O 的半径为 2．求劣弧 的长． 解：如图，连接 OB，OC，则∠BOC为 所对的圆心角． ∵ ∠BAC＝60°， ∴ ∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°． ∴ 的长 l＝＝π． 例2 如图，折扇打开后，OA、OB的夹角为120°，OA 的长为30 cm，AC的长为20 cm．求图中阴影部分的面积 S． 解：根据题意，得． ∵＝＝300π ()， ＝＝π ()， ∴＝300π－π＝π ()． 同心圆环类扇形阴影面积＝大面积扇形面积－小面积扇形面积． 【设计意图】通过分层探究，环环相扣，突出“整体—部分—再整体”的认知规律； 师生互动、分组操作与讨论相结合，发展学生的归纳、猜想与证明能力； 例题严格沿用教材原题，强调“用公式解决问题”的核心素养。 1．已知圆弧所在圆的半径为24，所对的圆心角为60°．求这条弧的长． 解：l＝＝8π． 答：这条弧的长为8π． 2.已知75°的圆心角所对的弧长为5π．求这条弧所在圆的半径． 解：设这条弧所在圆的半径是R， 则 ＝5π，解得：R＝12． 答：这条弧所在圆的半径为12． 3．已知扇形的面积是6π，半径为4，求这个扇形的弧长． 解：∵ S扇形＝lR，∴ 6π＝l×4， 解得 l＝3π． 答：这个扇形的弧长为3π. 4．已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π．求这个扇形的面积． 解：设这条弧所在圆的半径是R．则 ＝20π，解得：R＝30． S扇形＝×20π×30＝300π ． 答：这个扇形的面积为300π． 讨论归纳 弧长与扇形面积公式该如何选择使用？有哪些注意点？ 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的三等分点．求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积． 分析： (1)阴影部分的边界由哪几部分组成？ (2)由 C、D是半圆的三等分点，可以得到哪些结论？ (3)能否将阴影部分分割成为规则图形？ 解：连接OC、OD、CD． ∵ ＝， ∴ ∠ADC＝∠DAB． ∴ CD∥AB． ∴ △OCD和△ACD同底等高， 即 ＝． ∴ ＝＝． 不规则弧形阴影面积常利用平行线等积替换，转化为标准扇形计算． 拓展提升 1. 如图，OA、OB是⊙O的两条半径，以OA为直径的⊙交OB于点C．与的长相等吗？为什么？ 解：连接C，设∠AOB＝n°，A的长为R， 由题意，得∠AC＝(2n)°，OA的长为2R， ∵ ＝＝，＝＝． ∴与的长相等. 2.如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，且AC＝OC. (1) 求的度数； 解： (2)已知⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 解：(2)由(1)得AC＝OC＝OB＝5，OB⊥AB 在Rt△OBA中，由勾股定理得， AB＝5． ＝－ ＝×5×5－ ＝－． 3．在直径为 3m 的圆柱形油罐内装进一些汽油后，其横截面如图．已知汽油最大深度为 1.5m．求截面上有汽油部分的面积． 解：∵ ⊙O的直径为 3m， ∴ ⊙O的半径为1.5m． ∵ 汽油最大深度为 1.5m， ∴ 油面恰好通过圆心． 即 有汽油的部分为半圆． ∴ S汽油部分＝π＝π． 变式 若油深变为0.75m (小于半径)，如何求解？ 解：如图，连接OA、OB，过O点作OC⊥AB，交AB于点C， 交⊙O于点D． 由垂径定理，得 AB＝2AC，＝2． ∵ ⊙O的直径为3m，∴ OA＝OD＝1.5m． ∵ CD＝0.75m，∴ OC＝OD－CD＝0.75m． ∵ 在Rt△AOC中， OA＝2OC，∴ ∠OAC＝30°， ∴ ∠AOC＝60°，AC＝OC＝m， ∴ ∠AOB＝120°，AB＝m． ∴ S汽油部分＝S扇形OAB－S△OAB ＝(π－)． 【设计意图】通过综合、开放、探究性较强的问题，引导学生在新的情境中迁移应用“三大公式”，深化对“曲边图形等积转化”“等弧”“垂径定理”等核心思想方法的理解与运用，提升数学思维品质与综合解决问题的能力。 主板书 3.7 扇形（1） 探究点 弧长公式 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $