专题 3.6 正多边形与圆（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“正多边形与圆”核心知识点，系统梳理正多边形定义（边等角等）、与圆的关系（内接外接圆同心）、相关概念（中心、半径、边心距、中心角）、角度计算公式（内角、外角、中心角）、周长面积计算及尺规作图，构建从基础到应用的递进学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计（基础必考到拔高压轴），融入蜂巢、奥运会金牌等生活实例及中考真题，综合题结合垂径定理、切线性质，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与模型意识（数学语言）。课中辅助教师授课，课后通过同步检测助学生查漏补缺。

专题 3.6 正多边形与圆（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】正多边形的定义 1 【知识点二】正多边形与圆的关系 2 【知识点三】正多边形的相关概念（核心） 2 【知识点四】正多边形的角度计算公式 2 【知识点五】正多边形的周长与面积计算 3 【知识点六】圆内接正多边形的尺规作图 3 二.题型精析 3 【题型 1】正多边形角度计算（基础·必考） 3 【题型 2】已知内角求正多边形边数（基础·进阶） 4 【题型 3】正六边形边长、边心距、面积计算（中档·高频） 5 【题型 4】正多边形尺规作图（中档·应用） 6 【题型 5】正多边形综合计算（拔高·压轴） 7 【题型 6】正多边形与垂径定理、圆周角定理综合 8 【题型 7】正多边形与切线性质与判定综合 9 三.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理解读 【知识点一】正多边形的定义 各边相等、各内角也相等的多边形，叫做正多边形。常见的正多边形有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 【要点提示】 1. 正多边形必须同时满足边相等、角相等两个条件，二者缺一不可； 2. 反例辨析：菱形各边相等但内角不等，不是正多边形；矩形各角相等但边长不等，不是正多边形； 3. 正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形。 【知识点二】正多边形与圆的关系 1. 定理：把一个圆等分（），依次连接各等分点，所得的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆就是正边形的外接圆。 2. 核心结论：任意一个正多边形都有且只有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心。 【要点提示】 1. 圆可以无限等分，因此可以作出任意边数的圆内接正多边形； 2. 正多边形的外接圆与内切圆的圆心重合，统称为正多边形的中心； 3. 只有正多边形具备“内外接圆同心”的性质，普通多边形无此特征。 【知识点三】正多边形的相关概念（核心） 1. 中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 半径：正多边形外接圆的半径（中心到顶点的距离）； 3. 边心距：正多边形内切圆的半径（中心到任意一条边的垂直距离）； 4.中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。 【要点提示】 1. 正边形每条边对应的中心角都相等，统一公式：； 2. 正多边形的半径、边心距、半边长构成直角三角形，是所有计算题型的核心模型； 3. 边心距是垂线段长度，可利用垂径定理辅助求解。 【知识点四】正多边形的角度计算公式 设正多边形边数为（，且为整数）： 1. 单个内角：； 2. 单个外角：； 3. 重要等量关系：正多边形的中心角 = 单个外角度数。 【要点提示】 1. 任意多边形外角和恒为，正多边形每个外角相等，可快速求边数； 2. 内角与外角互为邻补角：； 3. 已知内角求边数，可优先求外角，计算更简便。 【知识点五】正多边形的周长与面积计算 设正边形边长为，边心距为，外接圆半径为： 1. 周长公式：； 2. 面积公式：正多边形可拆分为个全等的等腰三角形，总面积； 3. 直角三角形关系：。 【要点提示】 1. 面积公式通用所有正多边形，是中考必考公式； 2. 正六边形为特殊正多边形：边长 = 外接圆半径，可拆分为6个全等的等边三角形，计算可简化； 3. 解题思路：已知半径、边长、边心距中任意一个，可求另外两个，进而求周长、面积。 【知识点六】圆内接正多边形的尺规作图 1. 正四边形（正方形）：作圆的两条互相垂直的直径，顺次连接四个端点即可； 2. 正六边形：以圆的半径为弦长，在圆周上依次截取6个等分点，顺次连接得分圆内接正六边形； 3. 正三角形：截取正六边形间隔的三个分点，即可得到圆内接正三角形。 【要点提示】 1. 尺规作图核心：等分圆周，直径垂直平分、等弧截取是关键； 2. 能通过尺规作图作出的正多边形：正4、6、8、12边形等； 3. 正六边形边长与半径相等，是尺规作图的核心特殊性质。 二.题型精析 【题型 1】正多边形角度计算（基础·必考） 核心考点：中心角、内角、外角的公式灵活运用 【例题1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024九年级·甘肃陇南·专题练习）如图，点O为正八边形的中心，则．的度数为___________． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为________ 【题型 2】已知内角求正多边形边数（基础·进阶） 核心考点：内角、外角、边数的相互转化 【例题2】（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【变式1】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正n边形中，，则的值是______． 【题型 3】正六边形边长、边心距、面积计算（中档·高频） 核心考点：正六边形特殊性质+直角三角形勾股定理+面积公式 【例题3】（24-25九年级上·广东广州·期末）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是______． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为________． 【题型 4】正多边形尺规作图（中档·应用） 核心考点：掌握圆内接正四边形、正六边形的标准作图方法 【例题4】（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． （1）求证：是正六边形的一边； （2）请在图上继续画出这个正六边形． 【变式3】（2024·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【题型 5】正多边形综合计算（拔高·压轴） 核心考点：综合边长、对角线、角度、面积多知识点求解 【例题5】（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【变式1】（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北邯郸·一模）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______． 【变式3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．    【题型 6】正多边形与垂径定理、圆周角定理综合 【例题6】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． （1）求该地基的周长； （2）求该地基的面积（结果保留根号形式）； （3）若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【变式1】（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于，点在劣弧上，则的度数为________． 【变式3】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： （1）如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； （2）如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【题型 7】正多边形与切线性质与判定综合 【例题7】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 【变式1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【变式3】（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． （1）如图①，求证：点三等分； （2）如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·北京·随堂练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 6．（25-26九年级上·吉林四平·期末）正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 8．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 10．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______． 11．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 12．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 13．（24-25九年级上·内蒙古兴安·期末）如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 14．（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 15．（2026·安徽宿州·一模）如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 16．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点，，则的度数为______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 18．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 20．（24.3正多边形和圆（习题）-2022-2023学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版））如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.6 正多边形与圆（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】正多边形的定义 1 【知识点二】正多边形与圆的关系 2 【知识点三】正多边形的相关概念（核心） 2 【知识点四】正多边形的角度计算公式 2 【知识点五】正多边形的周长与面积计算 3 【知识点六】圆内接正多边形的尺规作图 3 二.题型精析 3 【题型 1】正多边形角度计算（基础·必考） 3 【题型 2】已知内角求正多边形边数（基础·进阶） 6 【题型 3】正六边形边长、边心距、面积计算（中档·高频） 8 【题型 4】正多边形尺规作图（中档·应用） 11 【题型 5】正多边形综合计算（拔高·压轴） 14 【题型 6】正多边形与垂径定理、圆周角定理综合 18 【题型 7】正多边形与切线性质与判定综合 22 三.同步检测 27 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 27 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 32 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 37 一.知识梳理解读 【知识点一】正多边形的定义 各边相等、各内角也相等的多边形，叫做正多边形。常见的正多边形有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 【要点提示】 1. 正多边形必须同时满足边相等、角相等两个条件，二者缺一不可； 2. 反例辨析：菱形各边相等但内角不等，不是正多边形；矩形各角相等但边长不等，不是正多边形； 3. 正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形。 【知识点二】正多边形与圆的关系 1. 定理：把一个圆等分（），依次连接各等分点，所得的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆就是正边形的外接圆。 2. 核心结论：任意一个正多边形都有且只有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心。 【要点提示】 1. 圆可以无限等分，因此可以作出任意边数的圆内接正多边形； 2. 正多边形的外接圆与内切圆的圆心重合，统称为正多边形的中心； 3. 只有正多边形具备“内外接圆同心”的性质，普通多边形无此特征。 【知识点三】正多边形的相关概念（核心） 1. 中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 半径：正多边形外接圆的半径（中心到顶点的距离）； 3. 边心距：正多边形内切圆的半径（中心到任意一条边的垂直距离）； 4.中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。 【要点提示】 1. 正边形每条边对应的中心角都相等，统一公式：； 2. 正多边形的半径、边心距、半边长构成直角三角形，是所有计算题型的核心模型； 3. 边心距是垂线段长度，可利用垂径定理辅助求解。 【知识点四】正多边形的角度计算公式 设正多边形边数为（，且为整数）： 1. 单个内角：； 2. 单个外角：； 3. 重要等量关系：正多边形的中心角 = 单个外角度数。 【要点提示】 1. 任意多边形外角和恒为，正多边形每个外角相等，可快速求边数； 2. 内角与外角互为邻补角：； 3. 已知内角求边数，可优先求外角，计算更简便。 【知识点五】正多边形的周长与面积计算 设正边形边长为，边心距为，外接圆半径为： 1. 周长公式：； 2. 面积公式：正多边形可拆分为个全等的等腰三角形，总面积； 3. 直角三角形关系：。 【要点提示】 1. 面积公式通用所有正多边形，是中考必考公式； 2. 正六边形为特殊正多边形：边长 = 外接圆半径，可拆分为6个全等的等边三角形，计算可简化； 3. 解题思路：已知半径、边长、边心距中任意一个，可求另外两个，进而求周长、面积。 【知识点六】圆内接正多边形的尺规作图 1. 正四边形（正方形）：作圆的两条互相垂直的直径，顺次连接四个端点即可； 2. 正六边形：以圆的半径为弦长，在圆周上依次截取6个等分点，顺次连接得分圆内接正六边形； 3. 正三角形：截取正六边形间隔的三个分点，即可得到圆内接正三角形。 【要点提示】 1. 尺规作图核心：等分圆周，直径垂直平分、等弧截取是关键； 2. 能通过尺规作图作出的正多边形：正4、6、8、12边形等； 3. 正六边形边长与半径相等，是尺规作图的核心特殊性质。 二.题型精析 【题型 1】正多边形角度计算（基础·必考） 核心考点：中心角、内角、外角的公式灵活运用 【例题1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，正n边形的中心角度数等于，据此求解即可． 解：正十边形的中心角度数是， 故选：C． 【变式1】（2024九年级·甘肃陇南·专题练习）如图，点O为正八边形的中心，则．的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 解：作正八边形的外接圆，连接，如图： ∴，F、O、B共线， 由圆周角定理得： ． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆综合，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边，根据该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，得到，利用勾股定理可推出，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而可求出的度数，再求出该正多边形的边数即可得到答案． 解：如图所示，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边， 过点O作于C，连接， ∴， ∵该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为， ∴正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴该正多边形的边数为，即该正多边形为正方形， ∴该正多边形的内角和为360度， 故选：B． 【变式3】（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为________ 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 【题型 2】已知内角求正多边形边数（基础·进阶） 核心考点：内角、外角、边数的相互转化 【例题2】（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 【变式1】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用正多边形中心角与边长的关系，当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形，中心角为，从而边数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：设正多边形中心为，相邻顶点，（外接圆半径），（边长），且， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正多边形的边数， 故选：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正n边形中，，则的值是______． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【题型 3】正六边形边长、边心距、面积计算（中档·高频） 核心考点：正六边形特殊性质+直角三角形勾股定理+面积公式 【例题3】（24-25九年级上·广东广州·期末）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．正确掌握正六边形的性质是解题关键． 解：如图，点为正六边形外接圆的圆心。接，，作，得到， ， ， 圆内接正六边形的周长为， ，则， ． 正六边形的边心距是． 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得出，即可得出六边形的周长． 解：如图所示：    六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形半径为5， ∴这个正六边形的周长是 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度角所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 解：如图，作于点， 由题知，，， ， ，， ， ． 故选：C． 【点拨】本题考查了正多边形和圆的性质、等腰三角形性质、30度角所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 【变式3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可． 解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为， 故答案为：． 【题型 4】正多边形尺规作图（中档·应用） 核心考点：掌握圆内接正四边形、正六边形的标准作图方法 【例题4】（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先过点作，再分别在上截取，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形，根据可得四边形是正方形． 解：略 【变式1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】正方形如图所示： 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 解：略 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． （1）求证：是正六边形的一边； （2）请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 解：（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 【变式3】（2024·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见分析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点拨】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 【题型 5】正多边形综合计算（拔高·压轴） 核心考点：综合边长、对角线、角度、面积多知识点求解 【例题5】（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 解：正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 如图，过O作的垂线， 则，， ， ． 【变式1】（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 【变式2】（2026·河北邯郸·一模）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______． 【答案】12 【分析】先求出的度数，即可得出的值． 解：如图，标注顶点，连接， ∴由正六边形与正方形的性质可得，， ∴， ∵恰好等于一个正n边形的一个外角， ∴． 【变式3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．    【答案】 【分析】本题考查圆与等边三角形的综合题，正方形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接作于点M，先求出，继而推导出，，可求出，则有， 即可解答． 解：如图，连接作于点M，    根据正方形的性质可得．， ∴是的直径． 在中，． ∴． ∵， ∴． ∵是正三角形， ∴， ∴． ∴． ∴． 在中，，， ∴，． ∴，即正三角形的边长为． 【题型 6】正多边形与垂径定理、圆周角定理综合 【例题6】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． （1）求该地基的周长； （2）求该地基的面积（结果保留根号形式）； （3）若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）连接、，证明是等边三角形，得出即可求出结论； （2）过作于，求出，，再求出，即可求出结论； （3）求出，，再求出，即可求出结论． 解：（1）解：连接、； 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长； （2）解：过作于， 是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ． 【变式1】（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于，点在劣弧上，则的度数为________． 【答案】/150度 【分析】本题主要考查了正六边形的性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解题的关键． 如图：连接，在圆上取一点G，连接，由正六边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再根据圆的内接四边形的性质求解即可． 解：如图：连接，在圆上取一点G，连接， ∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∵的内接四边形， ∴． 故答案为． 【变式3】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： （1）如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； （2）如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【答案】（1）∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形； （2）四边形即为所求． 【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得证； （2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与互相垂直，即可得到的内接 解：（1）略 （2）解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，经过的中点， ∴是的直径， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【题型 7】正多边形与切线性质与判定综合 【例题7】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，由正六边形的性质可得是等边三角形，即得，由切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中， ， ， 故选：A． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【分析】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 【变式3】（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． （1）如图①，求证：点三等分； （2）如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】（1）证明见分析；（2）作图见分析；（3）证明见分析 【分析】（1）先由正六边形的性质、等腰三角形的性质得到相关角度，再由两个三角形全等的判定定理得到，则，进而由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，由全等三角形性质及等边三角形性质即可得到，从而得证； （2）由尺规作图，过点作线段的垂直平分线即可得到答案； （3）过点作，垂足为，连接，如图所示，由切线的判定方法求证即可得到答案． 解：（1）证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； （2）解：如图所示： 、即为所求； （3）证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 【点拨】本题考查圆与多边形综合，涉及圆的基本性质、圆内接正六边形性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图-作垂直平分线、圆的切线的判定等知识，熟记圆与多边形相关性质是解决问题的关键． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，利用中心角和边的关系求解是解题的关键；根据中心角是，得到等边三角形即可求解． 解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B ． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 解：； 故选D． 5．（25-26九年级上·北京·随堂练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 6．（25-26九年级上·吉林四平·期末）正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角度数和外接圆的定义，找到正多边形的外接圆圆心和正多边形的关系是解题关键． 利用先求出正六边形的内角度数，再通过正六边形的外接圆中边所对圆心角的度数，得到正六边形的边与外接圆的半径的关系即可． 解：如图，正六边形每个边所对圆心角为， 故图中正六边形的任意两个相邻顶点与外接圆圆心之间的连线构成的三角形是等边三角形， 所以正六边形的边长等于外接圆半径， 所以半径为， 故选：C． 7．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形以及三角函数，连接，利用正六边形的性质得到圆心角的度数，证明是等边三角形后利用三角函数即可． 解：连接， 正六边形内接于， ， ， ， 是等边三角形， ， 是边心距， ， ． 故选：B． 8．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查正多边形与圆的关系，圆心角的计算，掌握圆心角的计算公式是解题关键． 利用正多边形内接于圆时顶点等分圆周的性质，用除以边数，即可求得圆心角 的度数． 解：正八边形内接于， 其个顶点将圆等分， 整个圆周角为， 每条边所对的圆心角为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______． 【答案】8 【分析】本题考查正多边形的中心角．正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数等于除以中心角． 解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴边数， 故答案为：8． 11．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·内蒙古兴安·期末）如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先求出边数，进而即可得解． 解：多边形边数， ∴内角和为． 故答案为：． 14．（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 【答案】 【分析】设公共弦，半径为，半径为，根据是内接正方形的边，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据是内接正六边形的边，得出是等边三角形，则，即可求解； 解：设公共弦，半径为，半径为， ∵是内接正方形的边，正方形中心角为， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ，即，解得， ∵是内接正六边形的边，正六边形中心角为， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 15．（2026·安徽宿州·一模）如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 【答案】114 【分析】连接，，作正六边形的外接圆，先根据正六边形的性质及圆周角定理，证明是直径，并求出，然后计算五边形的内角，求得，再根据等腰三角形的性质求出，即可求得答案． 解：如图，连接，，作正六边形的外接圆， 则，，， 是直径，， 又正五边形的内角， ， ， ， 是等边三角形， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ． 【点拨】用正多边形的外接圆及圆周角定理求正多边形中的角是常用的方法。 16．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形性质，圆内接四边形性质，根据多边形是正五边形，求出，进而得到，再结合圆内接四边形性质求解，即可解题． 解：∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，） 【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论． 解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE， ∵OE=OD，∠EOD=， ∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°， ∵OE＝2cm，∠OGE＝90°， ∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm， 点E的坐标为（1，）， 又由题意知点D的坐标为（2，0）， 由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）． 故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）． 【点拨】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 18．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 20．（24.3正多边形和圆（习题）-2022-2023学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版））如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积， 作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质得出，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可． 解：作于D． ∵是正三角形， ∴点O在上，， 在中，， ， ∴，． 又∵， ∴， ∴，，，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $