专题 2.5 有理数乘法与除法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正异号得负、多个非零数相乘符号判定）、倒数概念（乘积为1、0无倒数）、乘法运算律、除法法则（化除为乘、符号判定）及乘除混合运算规则，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，夯实基础题型（如成绩统计实际应用）培养数据意识与应用意识，综合提升题型（如分配律与倒数综合运算）发展运算能力与推理意识，同步检测全面评估，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 2.5 有理数乘法与除法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】有理数乘法法则 1 【知识点2】倒数的概念 2 【知识点3】乘法三大运算律 2 【知识点4】有理数除法法则 2 【知识点5】有理数乘除混合运算规则 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】基础有理数乘法计算 2 【题型2】倒数专项计算 5 【题型3】有理数除法基础运算 7 【题型4】乘除混合运算 10 【题型5】乘法运算律简便运算 13 【题型6】有理数加减乘除的实际应用 14 三.题型精析（综合提升） 16 【题型7】有理数加减乘除综合运算 16 【题型8】乘法分配律与倒数的运算综合运算 19 四.同步检测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 30 一.知识梳理 【知识点1】有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，结果都为0。 3. 多个非零有理数相乘：积的符号由负因数的个数决定，偶数个负数积为正，奇数个负数积为负；有一个因数为0，积即为0。 【知识点2】倒数的概念 1. 若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。 2. 核心要点：0没有倒数；正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。 3. 常用倒数：整数倒数为几分之一，分数倒数为分子分母互换。 【知识点3】乘法三大运算律 1. 乘法交换律： 2. 乘法结合律： 3. 乘法分配律： 作用：凑整、约分、拆分大数，是有理数简便运算的核心工具。 【知识点4】有理数除法法则 1. 化除为乘法（通用）：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即 。 2. 符号判定法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3. 0除以任何不为0的数，结果为0；0不能作为除数。 【知识点5】有理数乘除混合运算规则 1. 运算顺序：从左至右依次运算，不可随意调换顺序。 2. 统一转化：先将所有除法转化为乘法，统一算式形式。 3. 先定符号：统计负因数个数，确定最终结果正负。 4. 优先约分：先交叉约分简化数值，再计算最终结果，避免大数硬算。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】基础有理数乘法计算 解题技巧：先判符号，再算绝对值；牢记“同正异负，零乘得零”。 【例题1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】（2026·浙江温州·二模）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干给出的“同号相乘为正，异号相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两数乘积的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，依题意，选取绝对值较大且符号相同的两数相乘，即可求解． 解：依题意，卡片上两数乘积的最大值为 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键；小数转化为分数，带分数转化为假分数是易错点，转化的时候要注意； （1）有三个负数相乘，可将负号提至最前，再将分数相乘，约分即可； （2）几个数相乘，中间有零，根据零乘任何数都得零，可直接得出答案； （3）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可； （4）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可． 解：（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 【题型2】倒数专项计算 核心考点：互为倒数的两数乘积为1，多用于乘除化简。 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的除法法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数，解决本题的关键是根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算． （1）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； （2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； （3）先将小数化为分数，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； （4）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟预测）的倒数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数和相反数的定义． 解：的倒数为， 其相反数为． 【变式2】（2026·河北唐山·一模）若，则“”表示的数为________． 【答案】 解：∵， ∴与互为倒数， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·广西贵港·期中）若a，b，c，d均为有理数，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，倒数的定义，相反数的定义，求绝对值． 根据a，b互为倒数，c，d互为相反数，，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，， ∴，，， 当时， ； 当时， ； 由上可得，的值为或． 【题型3】有理数除法基础运算 解题技巧：优先化除为乘，再约分计算；简单算式可直接判符号、除绝对值。 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）将输入的数分别除以，请写出输出的数． 【答案】，0，， 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键； 根据图中左侧所给数字进行除以得出右侧数字即可． 解：， ， ， ． 综上所述，答案为：，0，，． 【变式1】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘除运算法则即可求出答案． 解：， ，均为负数，且， 分子相同的两个负分数，分母的绝对值越大，分数值越大， ∴， 故A选项错误； ， ，均为负数， ∵两个负数相乘结果为正，可得，故B错误； ， ，均为负数，且， ∴，故C错误，D正确． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·开学考试）和互为倒数，_______． 【答案】 解：， ∵和互为倒数， ∴， ∴原式． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）3；（2）2；（3）3；（4） 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4】乘除混合运算 解题技巧：全式化乘法→定符号→交叉约分→最后计算。 【例题4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期中）下面算式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了有理数的混合运算，通过直接计算每个选项的表达式，判断其正确性． 解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确． D、，故错误； 故选：C． 【变式2】（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4） 【分析】（1）先计算乘法，再计算除法即可得出结果； （2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出结果； （3）根据有理数的乘法运算律计算即可得出结果； （4）将带分数化为假分数，再计算乘法即可得出结果． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型5】乘法运算律简便运算 解题技巧：交换律、结合律优先凑整凑1；分配律逐项相乘，杜绝漏乘。 【例题5】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）用简便方法计算：． 【答案】 解： ． 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解： 又 原式可变形为 ． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】236898 解：原式 【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 解： ． 【题型6】有理数加减乘除的实际应用 【例题6】（2025七年级上·四川泸州·竞赛）某班50人在一次考试后进行成绩统计：每人以80分为准，超过的分数记作正数，不足的分数记为负数（记录如下）．问全班总分是多少？全班平均分是多少分？ 记录的分数 人数 15 14 6 1 12 2 【答案】全班总分是3976分，全班平均分是79.52分． 解：， （分）， （分）， 答：全班总分是3976分，全班平均分是79.52分． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【答案】C 【分析】每筐相对于标准超过为正数，不足为负数，称重后记为正或负，都是相对于标准的，因此把标准质量乘以筐数，再加上各筐相对于标准的质量即可． 解：4 筐萝卜的总质量为千克． 【变式2】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）某品牌电脑原来的售价是5000元，先降价，再降价，则现在的售价是_____元． 【答案】4050 【分析】第一次降价以原价为基础，第二次降价以第一次降价后的价格为基础，计算得到最终售价． 解：第一次降价后，售价为元； 第二次降价，以第一次降价后的价格为基础计算，售价为元． 【变式3】（25-26七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） （1）在第几次记录时距A地最远． （2）求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ （3）若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】（1）第五次；（2）收工时在地正东方向，距地；（3）共耗油升 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． （1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 三.题型精析（综合提升） 【题型7】有理数加减乘除综合运算 【例题7】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： （1） ； （2） ． 【答案】（1）24；（2）17.4 （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算括号的减法，再从左到右计算乘除法即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数加减混合运算法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（25-26六年级上·四川成都·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 【变式3】（25-26六年级上·山东烟台·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）20；（2） 【分析】本题主要考查分数的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）把小数化为分数，再去括号，去绝对值，最后算加减即可； （2）根据乘法分配律计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【题型8】乘法分配律与倒数的运算综合运算 【例题8】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为________． （2）用分配律计算：． （3）直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），倒数的定义、有理数的混合运算． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． （1）解：， ； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·吉林·期末）在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则______； （2）计算：； （3）根据以上信息可知：______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查有理数的除法运算以及倒数，理解并掌握倒数的意义是解题的关键． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． （1）解：，即， ， 即， 故答案为：； （2）解：原式， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． （1）若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； （2）运用上述方法，计算：． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查除法运算及倒数关系的应用，有理数的乘法运算．对于非零有理数 和 ，有 ． （1）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值； （2）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值，计算过程中需注意分数的通分和运算顺序． （1）解：的倒数是：， ． ∴； （2）解：的倒数是：， ， 所以 ． 【变式3】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． （2）请选择适当的方法计算：． 【答案】（1）解法一和解法二都错误，原因见解析；（2） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）根据有理数运算法则和运算律分析判断即可； （2）利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． （1）解：解法一和解法二错误， 原因：解法一错误地运用了除法分配律，除法不具有分配律； 解法二在运用加法交换律时，没有连同数字前面的符号一起移动； （2）解：∵ ， ∴． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）2022的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出相反数，再求倒数即可． 解：2022的相反数是，的倒数是． 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：选项A、B、D的运算结果均正确，不符合题意； ，选项C运算错误，符合题意． 3．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 4．（25-26六年级下·全国·单元复习）（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，可将除法转化为乘法后按从左到右的顺序计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 解： ， 故选：． 5．（25-26七年级上·河南许昌·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的坐标特点，有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了有理数的四则运算．根据所给数轴，得出a，b，c的大小关系及绝对值的大小关系，据此对所给选项依次进行判断即可． 解：A、由所给数轴可知，，则，故本选项错误，不符合题意； B、由所给数轴可知，，则，故本选项正确，符合题意； C、由所给数轴可知，，，所以，故本选项错误，不符合题意； D、由所给数轴可知，，，所以，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 6．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 7．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代入数值计算求解即可． 解：∵（为正整数）， ∴ ， 故选：D． 8．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，解题的关键是根据气温差计算出海拔差，再结合已知海拔求出目标海拔． 先计算甲乙两地的气温差；再根据海拔每增加100米气温下降的规律，计算出两地的海拔差；最后用甲地海拔减去海拔差得到乙地海拔． 解：， ， ， ． 所以乙所在地的海拔为1300米． 故选：B． 9．（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟知有理数的四则混合运算法则和运算律并据此逐项计算即可求解． 解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）在下列给出的五个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（   ） ①；②；③；④；⑤． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法法则，掌握有理数乘法法则成为解题的关键． 先分析已有等式呈现的有理数乘法法则，结合选项发现所缺算式即可解答． 解：②和④可反映异号两数相乘以及交换律仍然成立； ③⑤可反映正数、负数与0的积仍为0； ①反映两正数相乘的运算法则； 综上，发现缺少两负数相乘的运算法则，即A选项符合题意． 故选A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 【答案】1 解：． 12．（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 解： ． 13．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 解：根据题意得， ， 故答案为：． 14．（2024七年级上·湖南张家界·竞赛）简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 解： ． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据试验测定：高度每增加，气温大约降低．某登山队从地面（温度为）出发攀登一座山峰，当队员甲到达某一高度时，测得气温为；队员乙在另一位置测得气温为．则队员甲比队员乙所在位置的高度高______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，有理数除法的应用，根据高度每增加气温降低的规律，分别计算队员甲和队员乙相对于地面的高度，再求高度差即可． 解：地面温度为，队员甲测得气温为， 气温降低值为，故甲的高度为． 队员乙测得气温为，气温降低值为， 故乙的高度为． 因此，队员甲比队员乙高． 故答案为：1． 16．（25-26七年级上·全国·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是__________． ①    ②    ③    ④ 【答案】③④ 【分析】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键；根据数轴上的点的特征即可判断． 解：∵点a在的右边， ∴， 故①错误； ∵点b在1的右边， ∴， 故②错误； ∵b在a的右边， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故④正确． 故答案为：③④． 17．（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算：______． 【答案】 解： ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算顺序和法则，是解题的关键． （1）运用有理数的加法交换律、结合律计算即可； （2）先计算乘法，再计算加法即可求解． （1）解：， （2）解：． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（本小题满分10分）（新疆维吾尔自治区阿克苏地区温宿县第二中学2024-2025学年第一学期七年级数学学情自测试卷）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； （1）这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ （2）10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ （3）10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【答案】（1）最高分是分，最低分是分；（2）数学成绩低于80分的占的百分比是；（3）总分是分，平均分是分 【分析】（1）利用80加上记录数字中的最大数可得最高分；利用80加上记录数字中的最小数可得最低分； （2）利用负数的个数除以抽查的学生总人数即可； （3）将记录数字相加，再计算10名同学的基准总分数可得总分，再除以人数可得平均分． （1）解：由题意得：最高分是（分）， 最低分是（分）， 答：这10名同学的数学成绩中最高分是分，最低分是分． （2）解：在记录的结果中，负数共有5个， ∴10名同学中，数学成绩低于80分的人数为5人， ∴， 答：数学成绩低于80分的占的百分比是． （3）解：总分是 （分）， 平均分是（分）， 答：10名同学数学成绩的总分是分，平均分是分． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ （1）请将淇淇的解法补充完整； （2）计算：． 【答案】（1）见解析；（2） （1）解： ； （2）解：原式 ． 24．（本小题满分12分）（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： （1）小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； （2）小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ （3）如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】（1）小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）小华的思路正确 （3） 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 解：（1）略 （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 有理数乘法与除法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】有理数乘法法则 1 【知识点2】倒数的概念 2 【知识点3】乘法三大运算律 2 【知识点4】有理数除法法则 2 【知识点5】有理数乘除混合运算规则 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】基础有理数乘法计算 2 【题型2】倒数专项计算 3 【题型3】有理数除法基础运算 3 【题型4】乘除混合运算 4 【题型5】乘法运算律简便运算 5 【题型6】有理数加减乘除的实际应用 5 三.题型精析（综合提升） 6 【题型7】有理数加减乘除综合运算 6 【题型8】乘法分配律与倒数的运算综合运算 6 四.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.知识梳理 【知识点1】有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，结果都为0。 3. 多个非零有理数相乘：积的符号由负因数的个数决定，偶数个负数积为正，奇数个负数积为负；有一个因数为0，积即为0。 【知识点2】倒数的概念 1. 若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。 2. 核心要点：0没有倒数；正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。 3. 常用倒数：整数倒数为几分之一，分数倒数为分子分母互换。 【知识点3】乘法三大运算律 1. 乘法交换律： 2. 乘法结合律： 3. 乘法分配律： 作用：凑整、约分、拆分大数，是有理数简便运算的核心工具。 【知识点4】有理数除法法则 1. 化除为乘法（通用）：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即 。 2. 符号判定法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3. 0除以任何不为0的数，结果为0；0不能作为除数。 【知识点5】有理数乘除混合运算规则 1. 运算顺序：从左至右依次运算，不可随意调换顺序。 2. 统一转化：先将所有除法转化为乘法，统一算式形式。 3. 先定符号：统计负因数个数，确定最终结果正负。 4. 优先约分：先交叉约分简化数值，再计算最终结果，避免大数硬算。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】基础有理数乘法计算 解题技巧：先判符号，再算绝对值；牢记“同正异负，零乘得零”。 【例题1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2026·浙江温州·二模）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两数乘积的最大值为_____． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】倒数专项计算 核心考点：互为倒数的两数乘积为1，多用于乘除化简。 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟预测）的倒数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北唐山·一模）若，则“”表示的数为________． 【变式3】（24-25七年级上·广西贵港·期中）若a，b，c，d均为有理数，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，，求的值． 【题型3】有理数除法基础运算 解题技巧：优先化除为乘，再约分计算；简单算式可直接判符号、除绝对值。 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）将输入的数分别除以，请写出输出的数． 【变式1】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·开学考试）和互为倒数，_______． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型4】乘除混合运算 解题技巧：全式化乘法→定符号→交叉约分→最后计算。 【例题4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期中）下面算式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）计算：_____． 【变式3】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型5】乘法运算律简便运算 解题技巧：交换律、结合律优先凑整凑1；分配律逐项相乘，杜绝漏乘。 【例题5】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）用简便方法计算：． 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【题型6】有理数加减乘除的实际应用 【例题6】（2025七年级上·四川泸州·竞赛）某班50人在一次考试后进行成绩统计：每人以80分为准，超过的分数记作正数，不足的分数记为负数（记录如下）．问全班总分是多少？全班平均分是多少分？ 记录的分数 人数 15 14 6 1 12 2 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【变式2】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）某品牌电脑原来的售价是5000元，先降价， 【变式3】（25-26七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） （1）在第几次记录时距A地最远． （2）求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ （3）若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 三.题型精析（综合提升） 【题型7】有理数加减乘除综合运算 【例题7】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： （1） ； （2） ． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（25-26六年级上·四川成都·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】（25-26六年级上·山东烟台·期末）计算： （1）； （2）． 【题型8】乘法分配律与倒数的运算综合运算 【例题8】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为________． （2）用分配律计算：． （3）直接写出的值． 【变式1】（24-25七年级上·吉林·期末）在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则______； （2）计算：； （3）根据以上信息可知：______． 【变式2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． （1）若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； （2）运用上述方法，计算：． 【变式3】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． （2）请选择适当的方法计算：． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）2022的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·全国·单元复习）（ 　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河南许昌·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 7．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 8．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 9．（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）在下列给出的五个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（   ） ①；②；③；④；⑤． A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 12．（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 13．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 14．（2024七年级上·湖南张家界·竞赛）简便运算：________． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据试验测定：高度每增加，气温大约降低．某登山队从地面（温度为）出发攀登一座山峰，当队员甲到达某一高度时，测得气温为；队员乙在另一位置测得气温为．则队员甲比队员乙所在位置的高度高______． 16．（25-26七年级上·全国·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是__________． ①    ②    ③    ④ 17．（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算：______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21．（本小题满分10分）（新疆维吾尔自治区阿克苏地区温宿县第二中学2024-2025学年第一学期七年级数学学情自测试卷）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； （1）这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ （2）10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ （3）10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ （1）请将淇淇的解法补充完整； （2）计算：． 24．（本小题满分12分）（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： （1）小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； （2）小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ （3）如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $