专题 2.8 有理数全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学有理数全章复习讲义通过知识框架图系统梳理了11个核心知识点，从正数负数、数轴等基础概念到有理数运算、科学记数法，按“概念-性质-运算”逻辑呈现，并用对比表格归纳有理数分类、运算法则等要点，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，如基础概念辨析题强化抽象能力，24点游戏和程序运算题（题型7）培养应用意识，综合运算题（题型9）提升运算能力。同步检测分选择、填空、解答题，适配不同层次学生，教师可据此实施精准复习，助力学生夯实基础并发展数学思维。

专题 2.8 有理数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 2 【知识点1】正数与负数 2 【知识点2】数轴 2 【知识点3】相反数 2 【知识点4】绝对值 2 【知识点5】有理数加法 3 【知识点6】有理数减法 3 【知识点7】有理数乘法 3 【知识点8】有理数除法 3 【知识点9】乘方概念 4 【知识点10】科学记数法 4 【知识点11】有理数加法法则 4 二.题型精析 4 【题型1】基础概念辨析（填空、选择必考） 4 【题型2】数轴、相反数、绝对值非负性综合 5 【题型3】有理数加减混合运算（简便运算） 6 【题型4】乘法分配律简算 6 【题型5】乘方计算，区分有无括号底数 7 【题型6】科学记数法互化 7 【题型7】有理数实际应用（24点与程序运算） 8 【题型8】有理数运算的应用 9 【题型9】有理数全综合混合运算（大题高频） 11 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点1】正数与负数 1. 正数：大于0的数叫做正数，正数前面的“+”号可以省略不写。 2. 负数：在正数前面加上负号“−”的数叫做负数，负数小于0，负号不可省略。 3. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界数，属于整数。 4. 有理数的概念与分类 （1）按定义分类： （2）按正负性分类： 要点提示：有限小数、无限循环小数都属于分数。 【知识点2】数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.核心性质： ①数轴上右边的数总大于左边的数； ②正数在原点右侧，负数在原点左侧，原点代表数字0； ③任意一个有理数，都可以在数轴上找到唯一对应的点。 【知识点3】相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；a的相反数为-a，0的相反数是0。 2.几何意义：数轴上互为相反数的两个点，到原点的距离相等。 3.符号化简：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。 【知识点4】绝对值 1. 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 2. 绝对值代数性质（必考） 正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a； 负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a； 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0。 3. 核心非负性 任意有理数的绝对值一定是非负数，即|a|0。 绝对值最小的有理数是0。 【知识点5】有理数加法 1.同号两数相加：符号不变，绝对值相加； 2.异号两数相加：取绝对值较大数的符号，大绝对值减去小绝对值；互为相反数两数相加等于0； 3.一个数与0相加，仍等于本身。 运算律：加法交换律a+b=b+a；加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）。 【知识点6】有理数减法 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：a-b=a+（-b）。 【知识点7】有理数乘法 1.两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0结果为0。 2.多个有理数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；只要存在因数0，乘积就是0。 运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律（a+b）c=ac+bc（简算核心）。 【知识点8】有理数除法 1.法则1：除以一个不为0的数，等价于乘它的倒数 ，即：。 2.法则2：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0。 【要点提示】乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数。 【知识点9】乘方概念 求若干个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 式子： 各部分名称：为底数，为指数，读作“的次方”或“的次幂”。 【要点提示】（1） ：底数是，整体参与乘方运算；（2） ：底数是，先算，再取结果的相反数；（3）3. 分数乘方必须加括号：，分子分母分别乘方。 【知识点10】科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 核心规则：的值 = 原数的整数位数减1。 【知识点11】有理数加法法则 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左向右计算；存在括号，优先小括号，再中括号，最后大括号。 2.简算技巧：灵活运用运算律；分数计算优先乘法分配律；除法统一转化为乘法；分组凑整简化运算。 3.易错汇总：符号处理、区分乘方底数、分配律不要漏乘、去括号负号要变号。 二.题型精析 【题型1】基础概念辨析（填空、选择必考） 解题技巧：熟记有理数、相反数、绝对值、倒数定义，注意0的特殊性。 【例题1】（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）已知和互为相反数，和互为倒数，且的绝对值等于2． 求式子：的值． 解：与互为相反数，与互为倒数，且的绝对值等于2， _____，_____，_____（此行直接写结果） 则 =_______________（此行将上面的结果数据代入后写出来） =__________（此行写出最后结果） 【变式1】（24-25七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 【变式3】（专题06绝对值、相反数、倒数-【微专题】2022-2023学年七年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版））七年级的李平、王丽特别喜欢思考和讨论数学问题．对于下面这道题，“若互为相反数，互为倒数，的绝对值是6，在有理数王国里既不是正数也不是负数，试求的值．”她们展开了如下讨论： 李平：我们由互为相反数可得与的和． 王丽：乘积是1的两个数互为倒数，所以可得与的积． 李平：绝对值是6的数有两个，… 请问：两位同学的说法有道理吗？请你写出这道题的解答过程． 【题型2】数轴、相反数、绝对值非负性综合 解题技巧：若干个绝对值相加等于0，则每一项绝对值均为0。 【例题2】（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）（1）填空：的绝对值是 ；的相反数是 ；的倒数是 ；绝对值最小的数是 ． （2）在下列数轴上表示你所填的（1）中的四个数．并把这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【变式1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（    ） A．符号相反的数互为相反数； B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； D．如果大于，那么的倒数小于的倒数． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）画一条数轴，并在数轴上表示：和它的相反数，及其倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的相反数，并把这些数由小到大用“”号连接起来：_________． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数且，x的绝对值为2，求的值． 【题型3】有理数加减混合运算（简便运算） 解题技巧：减法变加法，分组凑整，同符号合并。 【例题3】（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．8或2 C．或2 D．8或 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：___________． 【变式3】（24-25七年级上·福建漳州·阶段检测）计算： （1） ； （2）． （3）， （4） 【题型4】乘法分配律简算 解题技巧括号内为分数加减，优先分配律展开，规避复杂通分。 【例题4】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式1】（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）计算：_______． 【变式3】（25-26六年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型5】乘方计算，区分有无括号底数 解题技巧看清底数，先定符号，再算绝对值。 【例题5】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【变式1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列各数：中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2025·四川资阳·模拟预测）在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即____________． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【题型6】科学记数法互化 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数或还原用科学记数法表示的数． （1） ； （2） ； （3）11.73亿 ； （4） ； （5） ． 【变式1】（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广西玉林·期末）一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： （1）； （2）； （3）． 【题型7】有理数实际应用（24点与程序运算） 【例题7】（23-24七年级上·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入吋，求输出的值为多少？ （2）若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是___________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； （2）善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【题型8】有理数运算的应用 解题技巧严格遵循运算顺序，分步演算，杜绝跳步。 【例题8】（24-25八年级下·四川广安·阶段检测）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． （1）该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． （2）若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）食品店一周内各天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：元）：，，，，，，．则该店这一周的盈亏情况是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是______米． 【变式3】（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） （1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． （2）阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【题型9】有理数全综合混合运算（大题高频） 解题技巧严格遵循运算顺序，分步演算，杜绝跳步。 【例题9】（2025七年级上·陕西西安·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列算式中，①；②；③，④；⑤：⑥；计算结果是负数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）计算：___________． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： （1）；（写出过程，结果用幂表示） （2）_______．（结果用幂表示） 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 3．（2024·山东济南·中考真题） 截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 7．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25七年级上·河北唐山·阶段检测）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）在下列给出的五个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（   ） ①；②；③；④；⑤． A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）我国东汉时期的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”．若规定收入100元为“元”，那么“元”表示______． 12．（24-25七年级上·福建宁德·期中）若一个正数x与它的相反数在数轴上所表示的点的距离为8，则__________． 13．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若，，则的值为__________． 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算：______． 15．（25-26七年级上·全国·单元测试）如果，那么______． 16．（2024·浙江宁波·二模）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则___________． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）若，则______． 18．（24-25七年级上·四川德阳·阶段检测）拓展探索：有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，若a1＝﹣2，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，如：a2，…如此计算，则a2021＝________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24七年级上·辽宁营口·阶段检测）把下列各数填入它所属的集合内 ，，，，0， （1）整数集合{____________________……}； （2）分数集合{____________________……}； （3）非负数集合{____________________……}． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·广东肇庆·阶段检测）在数轴上把下列各数表示出来，并从小到大排列出来．，， ， （1）在数轴上表示上面各数． （2）并按从小到大的顺序用“ < ”把这些数连接起来． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·福建厦门·阶段检测）计算： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在小学，我们就学过用乘法分配律进行简便运算，如，用含字母的式子可以表示为，并且也可以反过来用． （1）计算：； （2）运用该运算律简便计算：． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·甘肃白银·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.8 有理数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 2 【知识点1】正数与负数 2 【知识点2】数轴 2 【知识点3】相反数 2 【知识点4】绝对值 2 【知识点5】有理数加法 3 【知识点6】有理数减法 3 【知识点7】有理数乘法 3 【知识点8】有理数除法 3 【知识点9】乘方概念 4 【知识点10】科学记数法 4 【知识点11】有理数加法法则 4 二.题型精析 4 【题型1】基础概念辨析（填空、选择必考） 4 【题型2】数轴、相反数、绝对值非负性综合 6 【题型3】有理数加减混合运算（简便运算） 9 【题型4】乘法分配律简算 11 【题型5】乘方计算，区分有无括号底数 13 【题型6】科学记数法互化 16 【题型7】有理数实际应用（24点与程序运算） 17 【题型8】有理数运算的应用 20 【题型9】有理数全综合混合运算（大题高频） 24 三.同步检测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 34 一.知识梳理与解读 【知识点1】正数与负数 1. 正数：大于0的数叫做正数，正数前面的“+”号可以省略不写。 2. 负数：在正数前面加上负号“−”的数叫做负数，负数小于0，负号不可省略。 3. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界数，属于整数。 4. 有理数的概念与分类 （1）按定义分类： （2）按正负性分类： 要点提示：有限小数、无限循环小数都属于分数。 【知识点2】数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.核心性质： ①数轴上右边的数总大于左边的数； ②正数在原点右侧，负数在原点左侧，原点代表数字0； ③任意一个有理数，都可以在数轴上找到唯一对应的点。 【知识点3】相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；a的相反数为-a，0的相反数是0。 2.几何意义：数轴上互为相反数的两个点，到原点的距离相等。 3.符号化简：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。 【知识点4】绝对值 1. 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 2. 绝对值代数性质（必考） 正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a； 负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a； 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0。 3. 核心非负性 任意有理数的绝对值一定是非负数，即|a|0。 绝对值最小的有理数是0。 【知识点5】有理数加法 1.同号两数相加：符号不变，绝对值相加； 2.异号两数相加：取绝对值较大数的符号，大绝对值减去小绝对值；互为相反数两数相加等于0； 3.一个数与0相加，仍等于本身。 运算律：加法交换律a+b=b+a；加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）。 【知识点6】有理数减法 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：a-b=a+（-b）。 【知识点7】有理数乘法 1.两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0结果为0。 2.多个有理数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；只要存在因数0，乘积就是0。 运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律（a+b）c=ac+bc（简算核心）。 【知识点8】有理数除法 1.法则1：除以一个不为0的数，等价于乘它的倒数 ，即：。 2.法则2：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0。 【要点提示】乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数。 【知识点9】乘方概念 求若干个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 式子： 各部分名称：为底数，为指数，读作“的次方”或“的次幂”。 【要点提示】（1） ：底数是，整体参与乘方运算；（2） ：底数是，先算，再取结果的相反数；（3）3. 分数乘方必须加括号：，分子分母分别乘方。 【知识点10】科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 核心规则：的值 = 原数的整数位数减1。 【知识点11】有理数加法法则 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左向右计算；存在括号，优先小括号，再中括号，最后大括号。 2.简算技巧：灵活运用运算律；分数计算优先乘法分配律；除法统一转化为乘法；分组凑整简化运算。 3.易错汇总：符号处理、区分乘方底数、分配律不要漏乘、去括号负号要变号。 二.题型精析 【题型1】基础概念辨析（填空、选择必考） 解题技巧：熟记有理数、相反数、绝对值、倒数定义，注意0的特殊性。 【例题1】（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）已知和互为相反数，和互为倒数，且的绝对值等于2． 求式子：的值． 解：与互为相反数，与互为倒数，且的绝对值等于2， _____，_____，_____（此行直接写结果） 则 =_______________（此行将上面的结果数据代入后写出来） =__________（此行写出最后结果） 【答案】0，1，，， 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，通过绝对值求一个数，代数式求值等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据相反数，倒数，通过绝对值求一个数，得出，，，然后代入求值即可． 解：与互为相反数，与互为倒数，且， ，， 则 故答案为：0，1，，，． 【变式1】（24-25七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键． 根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可解答． 解：有理数有：，，，0，共5个． 故选C． 【变式2】（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 解：， ， 故答案为：． 【变式3】（专题06绝对值、相反数、倒数-【微专题】2022-2023学年七年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版））七年级的李平、王丽特别喜欢思考和讨论数学问题．对于下面这道题，“若互为相反数，互为倒数，的绝对值是6，在有理数王国里既不是正数也不是负数，试求的值．”她们展开了如下讨论： 李平：我们由互为相反数可得与的和． 王丽：乘积是1的两个数互为倒数，所以可得与的积． 李平：绝对值是6的数有两个，… 请问：两位同学的说法有道理吗？请你写出这道题的解答过程． 【答案】有道理，见解析 【分析】根据相反数的定义、倒数定义、绝对值的定义以及有理数的分类可知，然后按和两种情况分别代入求值即可． 解：有道理．理由如下： ∵若互为相反数，互为倒数，的绝对值是6，在有理数王国里既不是正数也不是负数， ∴ ∴， 当时，原式， 当时，原式， 综上所述，的值为或5． 【点拨】本题主要考查了代数式求值、反数的定义、倒数定义、绝对值的定义以及有理数的分类等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【题型2】数轴、相反数、绝对值非负性综合 解题技巧：若干个绝对值相加等于0，则每一项绝对值均为0。 【例题2】（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）（1）填空：的绝对值是 ；的相反数是 ；的倒数是 ；绝对值最小的数是 ． （2）在下列数轴上表示你所填的（1）中的四个数．并把这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】（1），，，；（2）将各数用点在数轴上表示如下图： 【分析】（1）分别根据绝对值，相反数，倒数的定义解答即可； （2）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”连接起来即可． 解：（1）的绝对值是，的相反数是，的倒数是，绝对值最小的数是， 故答案为：，，，； （2）略 【点拨】本题主要考查了绝对值，相反数，倒数，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小等知识点，熟练掌握相关定义并能将所有的数正确的表示在数轴上是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（    ） A．符号相反的数互为相反数； B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； D．如果大于，那么的倒数小于的倒数． 【答案】C 【分析】本题考查相反数：“只有符号不同的两个数”，绝对值：“数轴上的点到原点的距离”，倒数：“乘积为1的两个数”，根据相反数，绝对值的意义，倒数的定义，逐一进行判断即可． 解：A、符号相反的数不一定是相反数，比如：和，选项错误，不符合题意； B、一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；选项错误，不符合题意； C、一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；选项正确，符合题意； D、如果大于，那么的倒数不一定小于的倒数，例如：，；选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）画一条数轴，并在数轴上表示：和它的相反数，及其倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的相反数，并把这些数由小到大用“”号连接起来：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了借助数轴比较有理数的大小、相反数、倒数、绝对值等知识点，在数轴上确定出各数的位置是解题的关键． 先依据相反数、倒数、绝对值的定义，求得需要表示的数字，再在数轴上表示，然后依据数轴上右边的数大于左边的数进行比较即可解答． 解：的相反数是；的倒数是；绝对值等于3的数为；最大的负整数是，它的相反数是1． 如图所示： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数且，x的绝对值为2，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查绝对值的非负性，相反数，倒数，已知字母的值，求代数式的值． （1）由绝对值的非负性，可得、的值，代入计算即可； （2）根据题意得出，再将其代入计算即可． （1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∴的值为． （2）解：∵、互为相反数，、互为倒数且，的绝对值为， ∴，，，， ∴或， ∴的值为． 【题型3】有理数加减混合运算（简便运算） 解题技巧：减法变加法，分组凑整，同符号合并。 【例题3】（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）8；（2）0；（3）． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．8或2 C．或2 D．8或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，． 的值为或， 故选：． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：___________． 【答案】0 解：． 【变式3】（24-25七年级上·福建漳州·阶段检测）计算： （1） ； （2）． （3）， （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）根据有理数加减法计算法则求解即可． （1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4】乘法分配律简算 解题技巧括号内为分数加减，优先分配律展开，规避复杂通分。 【例题4】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】3 【分析】逆用乘法的分配律进行运算即可． 解：原式 . 【点拨】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式1】（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算以及乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键．根据有理数乘法运算、乘法运算律逐项化简即可． 解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法交换律和结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，原运算不符合乘法分配律，错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）计算：_______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可． 解： ． 故答案为：2025． 【变式3】（25-26六年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）20；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数乘法法则，以及乘法交换律、结合律、分配律在有理数乘法运算中的应用，利用这些运算律可简化计算是解题的关键． （1）本题考查多个有理数的乘法运算，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再结合乘法结合律简化计算； （2）本题可利用乘法交换律和结合律，将能凑整的数结合在一起，简化多个有理数的乘法运算； （3）本题适合运用乘法分配律，把括号外的数分别与括号内的每一项相乘，再进行计算； （4）本题需要先将带分数变形为一个整数与一个分数的差，然后利用乘法分配律进行简便计算． （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【题型5】乘方计算，区分有无括号底数 解题技巧看清底数，先定符号，再算绝对值。 【例题5】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】（1）9；（2）9；（3）；（4） 【分析】本题主要考查有理数的乘方． （1）根据乘方的定义计算即可； （2）根据乘方的定义计算即可； （3）根据乘方的定义计算即可； （4）根据乘方的定义计算即可． （1）解：， 故答案为：9； （2）， 故答案为：9； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列各数：中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查正负数，先进行有理数的乘方，化简多重符号，去绝对值运算，再根据小于0的数为负数，进行判断即可． 解：， ∴负数有，共4个； 故选C． 【变式2】（2025·四川资阳·模拟预测）在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即____________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，代数式求值，掌握有理数的分类是解题的关键，注意0比较特殊，是整数，既不是正数也不是负数．根据整数，非负数的定义得出，，代入计算即可得到答案． 解：∵，，，， 整数有、，，，，共5个，即， 非负数有、，，，，，共6个，即， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （2）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案； （4）原式将分子进行立方运算即可得到答案； （5）根据的偶次方等于1可得结果． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【题型6】科学记数法互化 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数或还原用科学记数法表示的数． （1） ； （2） ； （3）亿 ； （4） ； （5） ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）120000；（5） 【分析】本题考查科学记数法—原数，科学记数法—表示较大的数，解题的关键是正确运算． （1）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （2）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （3）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （4）结合科学记数法所表示数的指数，再确定其小数点向右移动的数位即可得到原数； （5）结合科学记数法所表示数的指数，再确定其小数点向右移动的数位即可得到原数． （1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：亿； 故答案为： （4）解：； 故答案为：120000 （5）解：． 故答案为： 【变式1】（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·广西玉林·期末）一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 【答案】5280 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=5.28，指数n等于3，所以，需要把5.28的小数点向右移动3位，就得到原数了． 解：=， 故答案为：5280． 【点拨】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将的小数点向右移动4位即可； （2）将的小数点向右移动5位即可； （3）将扩大倍即可． 解：（1） （2） （3） 【点拨】本题主要考查科学记数法，将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【题型7】有理数实际应用（24点与程序运算） 【例题7】（23-24七年级上·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入吋，求输出的值为多少？ （2）若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【答案】（1）；（2）（答案不唯一，符合要求即可） 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键． （1）由题意知，，由，可知，计算求解即可； （2）由题意知，，当时，，可知，进而可知，符合要求． （1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴输出的值为； （2）解：由题意知，， 当时，，且， ∴， ∴符合条件． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 根据所给数值转换机列式计算即可， 解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得∶ ， 第二次：把代入运算程序得∶ ， ∴输出的结果y为7， 故选：A． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； （2）善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】（1），（答案不唯一）；（2）① 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． （1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 【题型8】有理数运算的应用 解题技巧严格遵循运算顺序，分步演算，杜绝跳步。 【例题8】（24-25八年级下·四川广安·阶段检测）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． （1）该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． （2）若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】（1）五；39；（2）填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）米，下降了，下降了0.8米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可； （2）根据题意，列出算式，填表即可； （3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可． （1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米 （2），，； （3）上一星期日的水位为（米）． （米）， 所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）食品店一周内各天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：元）：，，，，，，．则该店这一周的盈亏情况是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用有理数的加法求出已知各数的和即可求出一周总的盈亏情况． 解：， 该食品店这一周的盈亏情况是盈285元， 故选：A． 【点拨】此题主要考查了正数和负数及有理数加法在实际生活中的应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则． 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是______米． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 根据题意依次算出每一天剩余木棍的长度，观察规律即可求得第5天截取后木棍剩余的长度． 解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米 …… ∴第五天截取后剩：米． 故答案为：2． 【变式3】（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） （1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． （2）阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【答案】（1），，，，；（2），过程如下： 设①， 则②， ，得， 即. 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. （1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）略 【题型9】有理数全综合混合运算（大题高频） 解题技巧严格遵循运算顺序，分步演算，杜绝跳步。 【例题9】（2025七年级上·陕西西安·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）19；（2） 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律，结合有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后根据有理数加减运算法则计算即可； （2）根据乘法分配律，结合有理数混合运算法则，先算乘方，和绝对值，再算乘除，有括号的先算括号里面的数，最后根据有理数加减运算法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列算式中，①；②；③，④；⑤：⑥；计算结果是负数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，有理数的混合运算，根据有理数的乘方，以及有理数的混合运算的运算方法，判断出计算结果是负数的有几个即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：①； ②； ③； ④ ， ∴； ⑤ ， ∴； ⑥ ， ∴， ∴计算结果是负数的有4个：， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方，再计算括号内的减法，然后计算乘法，除法，最后计算减法即可得． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： （1）；（写出过程，结果用幂表示） （2）_______．（结果用幂表示） 【答案】（1），令，①则，②－①得，即；（2） 【分析】本题考查有理数的乘方运算．理解并掌握题干中的计算方法，是解题的关键． （1）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题； （2）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题． 解：（1）略 （2）解：令，① 则，② ②－①得， ∴ ∴． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 3．（2024·山东济南·中考真题） 截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 解：． 故选：B． 4．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 解： 故选：B． 5．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解． 解：， 故选：D． 【点拨】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值，比较有理数的大小．先化简多重符号、绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”比较大小即可． 解：A．，错误，不合题意； B．，错误，不合题意； C．，错误，不合题意； dD．，即，正确，符合题意； 故选：D． 8．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，掌握分类讨论思想是解题的关键．根据绝对值的性质求得，的值，进而根据差的绝对值等于它的相反数，得到，进而判断，的值，再代入代数式求解即可． 解：，， ，， ， ， ， ，或，， 或． 故的值为或． 故选：D ． 9．（24-25七年级上·河北唐山·阶段检测）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了数轴，及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键． 根据数轴上点的位置得出两个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解． 解：根据数轴上点的位置得：， ，，， 即①②④正确，③错误， ∴结论中正确的个数是3． 故选：C． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）在下列给出的五个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（   ） ①；②；③；④；⑤． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法法则，掌握有理数乘法法则成为解题的关键． 先分析已有等式呈现的有理数乘法法则，结合选项发现所缺算式即可解答． 解：②和④可反映异号两数相乘以及交换律仍然成立； ③⑤可反映正数、负数与0的积仍为0； ①反映两正数相乘的运算法则； 综上，发现缺少两负数相乘的运算法则，即A选项符合题意． 故选A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）我国东汉时期的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”．若规定收入100元为“元”，那么“元”表示______． 【答案】支出了80元 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键． 根据正负数的定义，正数表示收入，则负数表示相反意义的量，即支出． 解：规定收入100元为“元”， “元”表示与收入相反的意义，即支出了80元， 故答案为：支出了80元． 12．（24-25七年级上·福建宁德·期中）若一个正数x与它的相反数在数轴上所表示的点的距离为8，则__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一个数与其相反数到原点的距离相等，则可求出正数x到原点的距离，据此可得答案． 解：∵一个正数x与它的相反数在数轴上所表示的点的距离为8， ∴正数x到原点的距离为4， ∴， 故答案为：4． 13．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若，，则的值为__________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的意义是关键；由题意可求得x与y的值，再代入计算即可． 解：∵，， ∴； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为3或5． 故答案为：3或5． 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将除法化为乘法，再计算乘法即可． 解： ． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·全国·单元测试）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算法则是解题关键．由题意可得，进而求解即可． 解：， ， ， 故答案为：． 16．（2024·浙江宁波·二模）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则___________． 【答案】0 【分析】根据题意，[1.7]中不大于1.7的最大整数为1，（-1.7）中不小于-1.7的最小整数为-1，则可解答 解：依题意：[1.7]=1，（-1.7）=-1 ∴ 故答案为：0 【点拨】此题主要考查有理数大小的比较，读懂题意，即可解答． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据非负性求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（24-25七年级上·四川德阳·阶段检测）拓展探索：有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，若a1＝﹣2，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，如：a2，…如此计算，则a2021＝________． 【答案】 【分析】根据题意求出，，由此可以发现-2，，三个数循环出现，即可得到，，，由此进行求解即可． 解：由题意得：， ∴， ∴可知-2，，三个数循环出现， ∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键在于能够根据数字的变化找到规律进行求解． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24七年级上·辽宁营口·阶段检测）把下列各数填入它所属的集合内 ，，，，0， （1）整数集合{____________________……}； （2）分数集合{____________________……}； （3）非负数集合{____________________……}． 【答案】（1），，0；（2），，；（3），，0 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义． （1）根据整数的定义进行判断即可； （2）根据分数的定义进行判断即可； （3）根据非负数的含义进行判断即可． （1）解：整数集合{，，0……}； 故答案为：，，0； （2）解：分数集合{，，……}； 故答案为：，，； （3）解：非负数集合{，，0……}． 故答案为：，，0． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·广东肇庆·阶段检测）在数轴上把下列各数表示出来，并从小到大排列出来．，， ， （1）在数轴上表示上面各数． （2）并按从小到大的顺序用“ < ”把这些数连接起来． 【答案】（1）如图： （2） 【分析】此题考查化简多重符号，有理数的大小比较，数轴上点表示有理数， （1）先化简多重符号，计算绝对值，再在数轴上表示各数； （2）将数轴上各点表示的数从左到右用“<”连接即可． （1）解：，， （2）解: ． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·福建厦门·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数加减中的简便运算，掌握有理数的加减运算法则是解题关键． （1）利用有理数加法的交换律计算即可得； （2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． （1）解：； （2）解：． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在小学，我们就学过用乘法分配律进行简便运算，如，用含字母的式子可以表示为，并且也可以反过来用． （1）计算：； （2）运用该运算律简便计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数简便运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据乘法运算律将原式整理为，再进行中括号内的运算，然后进行乘法运算即可； （2）首先将原式整理为，再根据乘法运算律进行运算，然后根据有理数乘法和加法运算法则求解即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·甘肃白银·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 解：（）猜想并写出：， 故答案为：； （）原式 ； （）原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $