专题2.8 有理数章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+31个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

该初中数学有理数章节复习讲义通过思维导图和知识梳理表格系统构建知识体系，涵盖正负数、数轴、绝对值、有理数运算等核心内容，重点归纳知识要点并标注常见易错点，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于31个题型讲练设计，如“数轴上的规律探究”培养推理意识，“算24点”提升应用意识，结合中考真题和分层训练，基础学生可夯实运算能力，优秀学生能深化抽象思维，助力教师实施精准教学与学生自主高效复习。

专题2.8 有理数章节复习『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+31个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 3 题型讲练 5 题型一 正负数的实际应用 5 题型二 有理数的分类 7 题型三 带“非”字的有理数 8 题型四 利用数轴比较有理数的大小 10 题型五 数轴上两点之间的距离 12 题型六 数轴上点的平移（动点问题） 13 题型七 数轴上找原点 15 题型八 数轴上整点覆盖问题 17 题型九 数轴上的规律探究 18 题型十 绝对值的几何意义 19 题型十一 绝对值非负性 20 题型十二 有理数大小比较的实际应用 23 题型十三 相反数的应用 24 题型十四 化简多重符号 25 题型十五 有理数的加减混合运算 25 题型十六 有理数加减中的简便运算 27 题型十七 有理数加减混合运算的应用 28 题型十八 有理数乘除混合运算 30 题型十九 有理数乘除中的简便运算 32 题型二十 有理数四则混合运算 33 题型二十一 有理数四则混合运算的实际应用 34 题型二十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 36 题型二十三 数轴上的翻折 37 题型二十四 有理数的乘方运算 39 题型二十五 有理数乘方逆运算 39 题型二十六 乘方运算的符号规律 40 题型二十七 乘方的应用 42 题型二十八 用科学记数法 44 题型二十九 程序流程图与有理数计算 45 题型三十 算“24”点 46 题型三十一 含乘方的有理数混合运算 47 中考真题演练 48 难度分层训练 51 【基础夯实】 51 【培优拔高】 53 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 题型一 正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【思路引导】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）把所给的行程数据相加分析即可； （2）运算出总路程，再运算油费即可； （3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【思路引导】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【规范解答】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 题型二 有理数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）； 0.3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【思路引导】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 【规范解答】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 【变式训练】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【答案】正数集合：，，，，；负数集合：，，，，；整数集合：，，，，，；分数集合：，，，，；自然数集合：6，0，， 【思路引导】本题考查了有理数的分类，正确理解有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类求解即可． 【规范解答】解：正数集合： ，，，，，； 负数集合： ，，，，，； 整数集合： ，，，，，，； 分数集合： ，，，，，； 自然数集合：6，0，，，． 题型三 带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________ ； (2)分数集合：_____________________________ ； (3)非负有理数集合：_____________________________ ． 【答案】(1)、0、 (2)、、、、 (3)、、0、、 【思路引导】本题考查了有理数的分类，绝对值的性质及有理数的乘方，熟练掌握整数、分数、非负有理数的定义是解题的关键． （1）去绝对值，计算乘方后，根据整数的定义解答即可； （2）计算，根据分数的定义解答即可； （3）根据非负有理数的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 那么整数集合： 、0、 ， 故答案为：、0、； （2）解：， 分数集合： 、、、、 ， 故答案为：、、、、； （3）解：非负有理数集合： 、、0、、 ， 故答案为：、、0、、． 【变式训练】（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负整数：{ …}； (4)有理数：{ …}． 【答案】(1)6，，0； (2)，，，，，； (3)6，0； (4)6，，，，，0，，，． 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据非负整数的定义作答即可； （4）根据有理数的定义作答即可． 【规范解答】（1）解：整数：{6，，0…}； 故答案为：6，，0； （2）解：分数：{，，，，，…}； 故答案为：，，，，，； （3）解：非负整数：{6，0…}； 故答案为：6，0； （4）解：有理数：{6，，，，，0，，，…}． 故答案为：6，，，，，0，，，． 题型四 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【思路引导】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 【变式训练】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）已知有理数：，2.5，，0，． (1)画出数轴； (2)把上面的有理数在数轴上表示出来，并用“<”连接． 【答案】(1)见详解 (2)在数轴上表示见详解， 【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴三要素画出数轴即可； （2）先把数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【规范解答】（1）解：数轴如下； （2）解：将各数在数轴上表示如图所示： 由图可知：． 题型五 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【规范解答】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2)见解析 (3)B点表示的数为4，见解析 【思路引导】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【规范解答】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）如图即为所求， （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 如图，在数轴上标出原点O． 题型六 数轴上点的平移（动点问题） 【典例精讲】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【思路引导】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【规范解答】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 【变式训练】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【思路引导】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 题型七 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)点 (2) 【思路引导】本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键． （1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置． （2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可． 【规范解答】（1）解：， 两个数之间的距离小于3， ， 原点不在两个数之间，也不在两个数的左边， 即该数轴的原点是点； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ． 【变式训练】（25-26七年级上·河北衡水·阶段检测）(1)在图1中，用无刻度的直尺和圆规作图：反向延长线段到点，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若为的中点，点在直线上，且，； ①求线段的长； ②直接写出的长：________； (3)若点A，B，C在数轴上的位置如图2所示，它们表示的数分别为a，b，，请用无刻度的直尺和圆规确定原点（用点表示）的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 (3)见解析 【思路引导】本题考查了作线段，线段的和差计算、数轴上两点距离，找原点； （1）反向延长线段，在的延长线段上截取，即为所求作； （2）①求出，由为中点，得，故； ②根据点的位置分两种情况求解即可； （3）在上截取，交数轴于点，则点即为所求 【规范解答】（1）解：（1）反向延长线段，在的延长线段上截取，如图； （2）如图： ①，， ， 为中点， ， ， 线段的长度为； ②当在线段上时， ，， ， 由①知， ； 当在延长线上时，同理可得， ； 综上所述，的长度为或； 故答案为：或． （3）如图，在上截取，交数轴于点，则点即为所求 ∵A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，，则， ∴， ∴， ∴， ∵表示的数为， ∴表示的数为，即为原点 题型八 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这条数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数是（    ）． A．2023或2024 B．2024或2025 C．2025或2026 D．2026或2027 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了在数轴上表示有理数，分两种情况：当线段起点在整点时覆盖2026个数，当线段起点不在整点时覆盖2025个点，可得答案． 【规范解答】解：当线段的起点在整点时盖住个整点； 当线段的起点不在整点时盖住个整点， 所以答案为或． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【答案】2017或2018 【思路引导】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【规范解答】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 题型九 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【规范解答】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【思路引导】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【规范解答】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 题型十 绝对值的几何意义 【典例精讲】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【思路引导】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【规范解答】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 【变式训练】已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】(1)原点 (2)图见解析 (3) 【思路引导】（1）根据绝对值的定义可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的数轴； （3）根据（2）中的数轴可以解答本题． 【规范解答】（1）解：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值； （2）解：如图，点A、B、C、D即为所求； （3）解：由数轴可得，． 题型十一 绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，再代入计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 代入可得， 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【思路引导】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 题型十二 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南安阳·期中）重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【答案】(1)；． (2)在A网店购买较为合算 【思路引导】本题考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是根据优惠方案列出对应的表达式． （1）A网店：买x个铅球,送了条跳绳，付款为元，化简得；B网店：铅球和跳绳都按定价90%付款，付款为元，化简得元． （2）将分别代入A、B网店的表达式，计算后比较大小． 【规范解答】（1）解： A网店：元， B网店： 元， 故答案为：；． （2）解：当时， A网店付款：（元）， B网店付款：（ 元）， 因为， 答：在A网店购买较为合算． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期中）下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，通过比较四个地区海拔数值的大小，找出最小值，即可确定海拔最低的地区，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ， ∴ 海拔最低的地区是死海， 故选：A． 题型十三 相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【规范解答】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）关于的方程与的解互为相反数，则的值为________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的解法及相反数的概念，熟练掌握一元一次方程的求解步骤并利用相反数的性质确定方程的解是解题的关键． 先求出方程的解，根据解互为相反数，得到方程的解，代入后解关于的方程即可． 【规范解答】解：解方程，得． ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为． 将代入，得，即， 解得， 故答案为：． 题型十四 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）比较大小：______．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＜ 【思路引导】本题主要考查了相反数、绝对值、有理数大小比较等知识点，正确运用相反数、绝对值化简成为解题的关键．先运用相反数、绝对值化简，然后再比较大小即可． 【规范解答】解：，． ，． 故答案为：＜ 【变式训练】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“”连接各数． ，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析，． 【思路引导】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值，化简多重符号，利用绝对值的意义，相反数的意义化简后，然后在数轴上表示各数，最后利用数轴上右边的总比左边的大，用“”连接起来即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：，，， 在数轴上对应的点表示如下： 用“”连接各数如下： ． 题型十五 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 【变式训练】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型十六 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】计算： 【答案】 【思路引导】运用加法交换律和结合律，将分母相同的带分数分组计算，简化运算过程． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)9 (3) (4)9 【思路引导】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 题型十七 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【思路引导】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【规范解答】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 【变式训练】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】(1)，， (2)少万人 【思路引导】分别计算出各天的人数即可求解． 【规范解答】（1）解：∵日：； 日：； 日：； ∴； ∴月日的客流量比月日的客流量少万人； 日：； 日：； 日：； 日：； 日：； ∵， ∴日的客流量最多，日的客流量最少； 故答案为：， （2）解：∵， ∴月日的客流量比月日的客流量少万人． 题型十八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【思路引导】（1）先计算乘法，再计算除法即可得出结果； （2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出结果； （3）根据有理数的乘法运算律计算即可得出结果； （4）将带分数化为假分数，再计算乘法即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 题型十九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【规范解答】解：的倒数为， ， 所以． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算 【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【规范解答】解： ． 题型二十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)26 (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【规范解答】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 题型二十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·自主招生）（多选）俊俊家距离学校1200米，原计划6点50分出发，7点10分可以到达学校．现在还是按照原时间离开家，则下列说法正确的是（   ） A．每分钟走60米 B．若每分钟比原来多走20米，则比原计划提前5分到达学校 C．若每分钟比原来少走20米，则比原计划推迟10分到达学校 D．若他刚出门发现正在下雨，返回家中拿雨伞，总共耽误5分钟．若要7点20分可以到达学校，则他每分钟至少多走30米． 【答案】ABC 【思路引导】先计算原计划的用时和原速度，再根据各选项给出的条件分别计算，验证结论是否正确． 【规范解答】解：A、∵原计划6点50分出发，7点10分到达， （分钟）， ∴原速度（米分钟）， ∴该选项正确； B、新速度（米分钟）， 新用时（分钟）， ∴提前时间为（分钟）， ∴该选项正确； C、新速度（米分钟）， 新用时（分钟）， ∴推迟时间为（分钟）， ∴该选项正确； D、耽误5分钟后，可用走路时间为（分钟）， ∴所需速度（米分钟）， ∵， ∴不需要多走， ∴该选项错误． 【变式训练】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 【答案】(1)王先生最后能回到出发点1楼 (2)王先生乘坐电梯期间共用时14分钟 【规范解答】（1）解： ， 计算结果为，表示王先生相对于出发点没有楼层变化，因此最后回到出发点1楼， 所以王先生最后能回到出发点1楼． （2）解：（秒）． （分钟）． 答：王先生乘坐电梯期间共用时14分钟． 题型二十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【思路引导】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【规范解答】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 【变式训练】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】根据数轴上有理数的位置，，计算判断即可． 【规范解答】解：根据图示，可得， ∴；，， 故，， 由是一个负数，根据两个负数比较，绝对值大的反而小， 得； 题型二十三 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【规范解答】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 【变式训练】（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；1；9 (2)点D表示的数是5 (3)的值不是定值 【思路引导】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，多项式的系数和次数， 对于（1），根据最小的正整数是1求出b，再根据三次项系数为0，一次项系数为9求出a，c； 对于（2），先求出，再结合点B表示的数解答； 对于（3），先设运动的时间为，再表示点A，B，C表示的数，然后表示出，最后求和即可解答． 【规范解答】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， 解得； 故答案为：； （2）解：因为点A，C表示的数分别为，9， 所以线段的中点表示的数为， 所以线段的中点表示的数也为3． 因为点B表示的数是1， 所以点D表示的数是5； （3）解：的值不是定值． 理由如下： 设运动的时间为，则点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 所以， 当时，，不是定值； 当时，． 所以不是定值． 题型二十四 有理数的乘方运算 【典例精讲】比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【规范解答】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 【答案】数轴见解析， 【规范解答】解：， 在数轴上表示各数如下： ∴由数轴可得． 题型二十五 有理数乘方逆运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【规范解答】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出a和b的可能值，再分4种情况讨论，结合找出符合题意的情况，从而计算的值即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ①当，时，，符合题意，此时； ②当，时，，不符合题意，舍去； ③当，时，，不符合题意，舍去； ④当，时，，符合题意，此时； ∴综上所述，． 故选：B． 题型二十六 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【答案】(1)①③；②； (2) (3) 【思路引导】此题主要考查代数式求值，涉及新定义，解题的关键是理解“偶代数式”、 “奇代数式”的定义并运用． （1）根据定义即可判定； （2）根据“偶代数式”和“奇代数式”的定义即可得到答案； （3）先证明是“奇代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，再证明是“偶代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和是，即可得到对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有② 故答案为：①③；②； （2）∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”， ∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为； （3）∵ ∴是“奇代数式”， ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0， ∵， ∴是“偶代数式” ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是， ∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是， 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【思路引导】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【规范解答】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 题型二十七 乘方的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【思路引导】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【规范解答】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 【变式训练】（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【答案】（1）12；（2）对应的生肖是蛇，见解析；（3）他的生日是八月18号，见解析 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、十进制数的定义以及计算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的计算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可； （3）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）对应的生肖是蛇．理由如下： 因为    所以对应的生肖是蛇． （3）他的生日是八月18号．理由如下： 因为     所以他的生日是八月18号． 题型二十八 用科学记数法 【典例精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期末）在如下结论中：①的底数是3；②若有理数互为相反数，，那么；③万用科学记数法表示为；④与一样大；⑤式子的最大值是2．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，科学记数法，绝对值的定义． 根据有理数的乘方，相反数的定义，科学记数法，绝对值的定义逐一判断五个结论即可． 【规范解答】解：①的底数是3，正确； ②与互为相反数且，则，，正确； ③万，正确； ④，，，错误； ⑤，，无最大值，错误； ∴正确结论有3个． 故选：B． 【变式训练】一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 【答案】5280 【思路引导】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=5.28，指数n等于3，所以，需要把5.28的小数点向右移动3位，就得到原数了． 【规范解答】=， 故答案为：5280． 【考点剖析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 题型二十九 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【思路引导】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把代入计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【规范解答】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 【变式训练】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图为一个“鱼形”计算程序．输入的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到． 例：若输入，则． (1)若得到，求输入的值及相应的值； (2)若输入值后得到的等于时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了列代数式与解一元一次方程的知识点，解题的关键点是根据计算程序的运算路线，正确列出和关于的代数式； （1）根据运算路线，列方程求出时，再求n的值即可； （2）根据运算路线，得到相应的一元一次方程，再计算即可； 【规范解答】（1）解：根据题意，得， ∴当时，则，解得； （2）解：由题意，得，且． ，解得． 题型三十 算“24”点 【典例精讲】．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【规范解答】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【答案】(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是 (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和，最大值是20 (3)（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． （1）取最大的整数和最小的负数相乘即可； （2）只有，且的绝对值最大，则为被除数，为除数； （3）根据有理数的运算法则作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是； （2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和， 最大值是； （3）解：（答案不唯一）． 题型三十一 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减； （2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·广西河池·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【思路引导】（1）将减法转化为加法，再进行有理数的加法运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【真题演练1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点分别表示数，且，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的加法、减法与乘法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 先根据题意可得，，则，再根据有理数的加法、减法与乘法、绝对值的性质逐项判断，即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得，， ， A、，故选项A为正数，符合题目要求； B、，故选项B为负数，不符合题目要求； C、，故选项C为负数，不符合题目要求； D、，故选项D为负数，不符合题目要求． 故选：A． 【真题演练2】（2024·辽宁锦州·中考真题）近年来，我国发展取得明显成效，截至2020年2月底，全国建设开通基站达16.4万个，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【规范解答】解：万， 故选：C． 【真题演练3】（2025·四川攀枝花·中考真题）银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（   ） A． B． C． D．1600000000 【答案】B 【思路引导】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为比原整数位数少1的整数进行表示即可． 【规范解答】解：16亿； 故选B． 【真题演练4】（2024·台湾·中考真题）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴和有理数的乘法运算法则，能根据数轴得出是解此题的关键．根据数轴得出，求出，，，，，，再根据有理数的乘法运算法则判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知，， ∴，，，，，， ∴，，，， ∴只有选项D正确，选项A、B、C都错误， 故选：D． 【真题演练5】（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了整数的因数分解，搞清完全数的定义是本题的关键．将每个数进行分解因数，然后根据完全数的定义进行判断即可 【规范解答】解∶ A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选∶C． 【基础夯实】 1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）2025年5月29日，我国天问二号探测器成功发射升空．7月1日，国家航天局发布了它在轨获取的地月影像图．拍摄时，探测器距离地球约590000公里，距离月球也约590000公里．将“590000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：． 2．（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 【规范解答】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 3．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【思路引导】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【规范解答】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【思路引导】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 【培优拔高】 1．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【思路引导】先根据数轴确定a，b，c，d的大致范围，再分别对①至⑤的结论进行判断，统计正确结论的个数． 【规范解答】解：由数轴可知：，，，， ①由可知①错误； ② 正数的绝对值大于负数的绝对值，故，②正确； ③ 为负，为正，异号相乘为负，故，③错误； ④ ，，故，④错误； ⑤ 在数轴上b比a偏右，则，故，⑤正确． 综上，正确的结论有②⑤，共2个．． 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【思路引导】直接根据图（2）作答即可． 【规范解答】解：由图（2）可知． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先算，再把除法转化为乘法，用； （2）先算中括号内为，再算，再把两个得数相加减即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【思路引导】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【规范解答】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【思路引导】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题2.8 有理数章节复习『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+31个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 3 题型讲练 5 题型一 正负数的实际应用 5 题型二 有理数的分类 6 题型三 带“非”字的有理数 7 题型四 利用数轴比较有理数的大小 7 题型五 数轴上两点之间的距离 8 题型六 数轴上点的平移（动点问题） 8 题型七 数轴上找原点 9 题型八 数轴上整点覆盖问题 10 题型九 数轴上的规律探究 10 题型十 绝对值的几何意义 10 题型十一 绝对值非负性 11 题型十二 有理数大小比较的实际应用 12 题型十三 相反数的应用 12 题型十四 化简多重符号 12 题型十五 有理数的加减混合运算 13 题型十六 有理数加减中的简便运算 13 题型十七 有理数加减混合运算的应用 14 题型十八 有理数乘除混合运算 15 题型十九 有理数乘除中的简便运算 16 题型二十 有理数四则混合运算 16 题型二十一 有理数四则混合运算的实际应用 17 题型二十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 17 题型二十三 数轴上的翻折 18 题型二十四 有理数的乘方运算 18 题型二十五 有理数乘方逆运算 19 题型二十六 乘方运算的符号规律 19 题型二十七 乘方的应用 20 题型二十八 用科学记数法 20 题型二十九 程序流程图与有理数计算 21 题型三十 算“24”点 21 题型三十一 含乘方的有理数混合运算 22 中考真题演练 22 难度分层训练 23 【基础夯实】 23 【培优拔高】 24 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 题型一 正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 题型二 有理数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________}； 分数集合：{_____________}； 负有理数集合：{_____________}； 有理数集合：{________________}． 【变式训练】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 题型三 带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________； (2)分数集合：____________________________ ； (3)非负有理数集合：_____________________________． 【变式训练】（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：_____________________________； (2)分数：_____________________________； (3)非负整数：_____________________________； (4)有理数：_____________________________； 题型四 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【变式训练】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）已知有理数：，2.5，，0，． (1)画出数轴； (2)把上面的有理数在数轴上表示出来，并用“<”连接． 题型五 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 题型六 数轴上点的平移（动点问题） 【典例精讲】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【变式训练】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 题型七 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【变式训练】（25-26七年级上·河北衡水·阶段检测）(1)在图1中，用无刻度的直尺和圆规作图：反向延长线段到点，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若为的中点，点在直线上，且，； ①求线段的长； ②直接写出的长：________； (3)若点A，B，C在数轴上的位置如图2所示，它们表示的数分别为a，b，，请用无刻度的直尺和圆规确定原点（用点表示）的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 题型八 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这条数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数是（    ）． A．2023或2024 B．2024或2025 C．2025或2026 D．2026或2027 【变式训练】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 题型九 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 题型十 绝对值的几何意义 【典例精讲】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【变式训练】已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 题型十一 绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【变式训练】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 题型十二 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南安阳·期中）重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期中）下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 题型十三 相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）关于的方程与的解互为相反数，则的值为________． 题型十四 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）比较大小：______．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【变式训练】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“”连接各数． ，，，，． 题型十五 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1) ； (2)． (2) (4) 【变式训练】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1) ； (2)． 题型十六 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】计算： 【变式训练】计算 (1) (2) (2) (4) 题型十七 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【变式训练】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 题型十八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】计算 (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】计算： (1)； (2)． 题型十九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算 题型二十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式训练】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·自主招生）（多选）俊俊家距离学校1200米，原计划6点50分出发，7点10分可以到达学校．现在还是按照原时间离开家，则下列说法正确的是（   ） A．每分钟走60米 B．若每分钟比原来多走20米，则比原计划提前5分到达学校 C．若每分钟比原来少走20米，则比原计划推迟10分到达学校 D．若他刚出门发现正在下雨，返回家中拿雨伞，总共耽误5分钟．若要7点20分可以到达学校，则他每分钟至少多走30米． 【变式训练】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 题型二十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【变式训练】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 题型二十三 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【变式训练】（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 题型二十四 有理数的乘方运算 【典例精讲】比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 题型二十五 有理数乘方逆运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 题型二十六 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【变式训练】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 题型二十七 乘方的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【变式训练】（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 题型二十八 用科学记数法 【典例精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期末）在如下结论中：①的底数是3；②若有理数互为相反数，，那么；③万用科学记数法表示为；④与一样大；⑤式子的最大值是2．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 题型二十九 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【变式训练】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图为一个“鱼形”计算程序．输入的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到． 例：若输入，则． (1)若得到，求输入的值及相应的值； (2)若输入值后得到的等于时，求的值． 题型三十 算“24”点 【典例精讲】．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【变式训练】（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 题型三十一 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 【变式训练】（25-26七年级上·广西河池·期末）计算： (1)； (2)． 【真题演练1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点分别表示数，且，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·辽宁锦州·中考真题）近年来，我国发展取得明显成效，截至2020年2月底，全国建设开通基站达16.4万个，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·四川攀枝花·中考真题）银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（   ） A． B． C． D．1600000000 【真题演练4】（2024·台湾·中考真题）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练5】（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【基础夯实】 1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）2025年5月29日，我国天问二号探测器成功发射升空．7月1日，国家航天局发布了它在轨获取的地月影像图．拍摄时，探测器距离地球约590000公里，距离月球也约590000公里．将“590000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 5．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【培优拔高】 1．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 5．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null