2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦“两条直线平行和垂直的判定”，通过基础概念辨析、综合运算到几何应用的三层设计，实现从单一知识点到问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|平行垂直判定概念、斜率公式直接应用|选择题1-6考查概念辨析（如第2题倾斜角与斜率关系）、简单参数计算，夯实基础| |能力提升|含参问题、特殊情况（斜率不存在）、综合辨析|多选题9-11（如第9题垂直斜率讨论）、填空题12-14（如第13题三角形高的应用），突破易错点| |综合应用|几何情境中的平行垂直应用|解答题15-16（如第16题直角梯形顶点确定），需完整推理与模型构建，发展几何直观|

 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B.- C.2 D.-2 2.下列说法正确的是(　　) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 3.已知，，，，则直线AB与直线CD（） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 以上都不正确 4.（2024-2025·湖南邵阳高二下期中）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（） A. B. C. D. 5.已知两点M(2，2)，N(-1，-2)，点P在y轴上，且∠MPN=90°，则点P的坐标为(　　) A.(0，) B.(0，-) C.(0，)或(0，-) D.(0，6)或(0，-6) 6.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 7.已知点A(-2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的坐标为(　　) A.(6，-4) B.(-2，4) C.(-4，-2) D.(6，-2) 8.小明同学喜欢折纸游戏，他将一张画了平面直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点M(2，0)与点N(-2，4)重合，点P(2 025，2 026)与Q(a，b)重合，则a+b等于(　　) A.4 048 B.4 049 C.4 050 D.4 051 二、多选题（共3小题） 9.已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.- C.a D.不存在 10.下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 11.以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A.kAB=- B.kBC=- C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形 D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形 三、填空题（共3小题） 12.已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　　　. 13.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,4)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝                  . 14.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|=5 m，宽|AB|=3 m，其中一条小路为AC，另一条小路为DM，M在BC上，若两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为　　　　m. 四、解答题（共2小题） 15.判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5)； (5)l1经过点A(-4，-3)，B(-2，-1)，l2经过点M(1，2)，N(3，4). 16.已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 学科网（北京）股份有限公司 $  2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B.- C.2 D.-2 【答案】B 【解析】由题意知，直线PQ的斜率存在， 由kPQ=kMN，即=， 得m=-.经检验知，m=-符合题意. 2.下列说法正确的是(　　) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 【答案】B 【解析】因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确. 3.已知，，，，则直线AB与直线CD（） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】由题意知，，， 同理可知，故不共线，两直线平行。 4.（2024-2025·湖南邵阳高二下期中）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由直线得斜率为, 因为直线与该直线垂直, 所以直线的斜率, 由得, 故. 故选:C. 5.已知两点M(2，2)，N(-1，-2)，点P在y轴上，且∠MPN=90°，则点P的坐标为(　　) A.(0，) B.(0，-) C.(0，)或(0，-) D.(0，6)或(0，-6) 【答案】C 【解析】设点P的坐标为(0，y0)， 则kPM=，kPN=， 因为∠MPN=90°，所以kPM·kPN=-1， 即·=-1， 解得y0=或y0=-，故点P的坐标为(0，)或(0，-). 6.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 【答案】D 【解析】设P(0，y)，因为l1∥l2，所以=2， 所以y=3，即P(0，3). 7.已知点A(-2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的坐标为(　　) A.(6，-4) B.(-2，4) C.(-4，-2) D.(6，-2) 【答案】D 【解析】设点C的坐标为(x，y)，kAH==0， ∵BC⊥AH，∴直线BC的斜率不存在，而点B的横坐标为6，则x=6，∵kBH==2， ∴kAC==-， ∴y=-2，∴点C的坐标为(6，-2). 8.小明同学喜欢折纸游戏，他将一张画了平面直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点M(2，0)与点N(-2，4)重合，点P(2 025，2 026)与Q(a，b)重合，则a+b等于(　　) A.4 048 B.4 049 C.4 050 D.4 051 【答案】D 【解析】因为点M(2，0)与点N(-2，4)重合， MN所在直线的斜率为kMN==-1， 由题意知，过点P(2 025，2 026)与Q(a，b)的直线与直线MN平行， 所以kPQ==kMN=-1，整理得a+b=4 051. 二、多选题（共3小题） 9.已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.- C.a D.不存在 【答案】BD 【解析】当a≠0时，由k1·k2=-1知，k2=-，当a=0时，l2的斜率不存在. 10.下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 【答案】ABD 【解析】A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行， 故两直线垂直； B中，l2过点P(1，1)，Q， kPQ=，故两条直线垂直； C中，kPQ=，故l1不与l2垂直； D中，l1过点M(1，0)，N(4，-5)，kMN=-， l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)， kPQ=，故两条直线垂直. 11.以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A.kAB=- B.kBC=- C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形 D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为A(-1，1)，B(2，-1)，所以kAB==-，所以A正确； 对于B，因为B(2，-1)，C(1，4)，所以kBC==-5≠-，所以B错误； 对于C，因为kAB=-，kAC==，所以kAB·kAC=-×=-1， 所以AB⊥AC，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确； 对于D，因为kAB=-，kBC=-5，所以kAB·kBC≠-1，所以D错误. 三、填空题（共3小题） 12.已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　　　. 【答案】0或1 【解析】当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m=-1时，直线MN的斜率不存在， 而直线AB的斜率存在， MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠-2，且m≠-1时， kAB==，kMN==.因为AB∥MN，所以kAB=kMN， 即=，解得m=0或m=1. 当m=0或1时，经检验，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 13.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,4)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝                  . 【答案】 【解析】由题意得AD⊥BC，则有kAD·kBC＝－1， 所以有·＝－1， 解得m＝. 14.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|=5 m，宽|AB|=3 m，其中一条小路为AC，另一条小路为DM，M在BC上，若两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为　　　　m. 【答案】 【解析】以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，3)，D(5，3)，C(5，0)， 设M(x，0)，0<x<5. 由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在， 由于AC与DM互相垂直， 所以kAC·kDM=-1， 即·=-1， 解得x=， 所以BM的长为 m. 四、解答题（共2小题） 15.判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5)； (5)l1经过点A(-4，-3)，B(-2，-1)，l2经过点M(1，2)，N(3，4). 【答案】(1)k1==1，k2==， k1≠k2，l1与l2不平行. (2)k1=1，k2==1，k1=k2， 故l1∥l2或l1与l2重合. (3)k1==-1，k2==-1， 则有k1=k2.又kAM==-2≠-1， 则A，B，M三点不共线.故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. (5)k1==1，k2==1， 则有k1=k2.又kAM==1， 则A，B，M三点共线，故l1与l2重合，不平行. 16.已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 【答案】设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示， 由于kAB=3，kBC=0， ∴kAB·kBC=0≠-1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若CD是直角梯形的直角腰， 则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在， 从而有x=3. 又kAD=kBC，∴=0，即y=3， 此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3，3). (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD=，kCD=， ∴解得x=，y=， ∴D点坐标为. 综上，D点坐标为(3，3)或. 学科网（北京）股份有限公司 $