2.1.2　两条直线平行和垂直的判定同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三级分层设计，以“基础巩固—能力提升—素养创新”为路径，覆盖直线平行垂直判定的概念理解、运算应用及综合探究，培养数学推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|平行垂直的斜率关系、两点式斜率计算|以选择填空为主，直接应用判定定理，如倾斜角求斜率（第1题）、垂直斜率乘积（第3题）| |B级|综合几何情境（垂心、直角顶点、距离最值）|结合三角形、动态直线等情境，如垂心坐标求解（第10题）、坐标轴上直角顶点个数（第11题）| |C级|动态几何与多知识融合（旋转、垂直平分线）|跨情境综合应用，需多步推理，如直线旋转后与垂直平分线平行求参数（第14题）|

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 A级　必备知识基础练 1.已知直线l1的倾斜角为30°,直线l1∥l2,则直线l2的斜率为(　　) A. B.- C. D.- 2.已知直线l1经过A(-3,4),B(-8,-1)两点,直线l2的倾斜角为135°,那么l1与l2(　　) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 3.若直线l1过点(1,1),(2,-1),直线l2过点(2,1),(x,3),且l1⊥l2,则x=(　　) A.1 B.-2 C.6 D.-1 4.(2026广东高二期中)已知A(3,1),B(-2,2),若点C在y轴负半轴上,且∠ACB=,则点C的纵坐标为(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 5.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,若直线l2过点A(2,3),B(5,n),则n=　　　　　. 6.已知A(0,-1),B(-2a,0),C(1,1),D(2,4),若直线AB与直线CD垂直,则a的值为　　　　　. 7.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,则点D的坐标为　　　　　. 8.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为　　　. 9.(2026陕西商洛高二期中)已知直线l经过点M(1,m),N(-1,2). (1)若直线l1的斜率为1,且l∥l1,求实数m的值; (2)若直线l2的一个方向向量的坐标为(-1,2),且l⊥l2,求实数m的值. B级　关键能力提升练 10.已知点A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是△ABC的垂心,则点C的坐标为(　　) A.(6,2) B.(-2,2) C.(-4,-2) D.(6,-2) 11.已知两点A(-1,3),B(3,1),当点C在坐标轴上时,若∠ACB=90°,则满足题意的点C的个数为　　　　　.  12.设动直线l经过定点A(-1,1),则当点B(2,-1)到直线l的距离最大时,直线l的斜率为　　　　　.  13.已知直线l1过点A(0,1),直线l1与直线l2:y=x的交点B在第一象限,点O为坐标原点.若△OAB为钝角三角形,则直线l1的斜率的取值范围是　　　　　　　　　　.  C级　学科素养创新练 14.已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求实数m的值. 答案 1.C　因为直线l1的倾斜角为30°,所以=tan 30°=. 又l1∥l2,所以.故选C. 2.A　∵直线l1经过A(-3,4),B(-8,-1)两点,∴直线l1的斜率为k1==1. ∵直线l2的倾斜角为135°, ∴直线l2的斜率k2=tan 135°=-1,则k1k2=-1,∴l1⊥l2.故选A. 3.C　由题意可知,直线l1的斜率为k1==-2,直线l2的斜率为k2=. ∵l1⊥l2,∴k1·k2=(-2)×=-1,解得x=6.故选C. 4.A　设点C(0,a),a<0,则直线AC,BC的斜率必存在,分别为kAC=,kBC=. 因为∠ACB=,得kAC·kBC==-1, 即a2-3a-4=0,解得a=4或a=-1. 而a<0,所以a=-1,故点C的纵坐标为-1.故选A. 5.6　因为直线l1的倾斜角为45°,所以=1. 又直线l1∥l2,则=1,解得n=6. 6.　由题得kCD==3,kAB=. ∵AB⊥CD,∴kAB·kCD=-×3=-1,解得a=. 7.(10,-6)　设点D的坐标为(x,y),由已知得,直线AB的斜率kAB=1,直线CD的斜率kCD=,直线CB的斜率kCB=-,直线AD的斜率kAD=. 因为AB⊥CD,且AD∥BC,所以kAB·kCD=-1,且kAD=kBC,则解得 所以点D的坐标为(10,-6). 8.(3,4)　设顶点D的坐标为(x,y), ∵AB∥DC,AD∥BC,∴解得 ∴点D的坐标为(3,4). 9.解 (1)∵直线l经过点M(1,m),N(-1,2), ∴其斜率k=. ∵l1的斜率为1,且l∥l1,∴=1,解得m=4. (2)由题知,直线l2的斜率k2==-2.又直线l的斜率k=,l⊥l2,∴×(-2)=-1,解得m=3. 10.D　设点C的坐标为(x,y), ∵直线AH的斜率kAH==0,∴BC⊥AH. 又点B的横坐标为6,则x=6. ∵直线BH的斜率kBH==2,∴直线AC的斜率kAC==-, ∴y=-2,故点C的坐标为(6,-2).故选D. 11.3　①若点C在x轴上,设点C(a,0),因为∠ACB=90°,则AC⊥BC,可得kAC·kBC=-1,即=-1,得a=0或a=2,故点C的坐标为(0,0)或(2,0). ②若C在y轴上,设点C(0,b),因为∠ACB=90°, 则AC⊥BC,可得kAC·kBC==-1,得b=0或b=4,故点C的坐标为(0,0)或(0,4). 综上可得,点C的坐标为(0,0)或(2,0)或(0,4),共3个. 12.　当直线AB⊥l时,点B到直线l的距离最大, 此时直线AB的斜率为=-. 设此时直线l的斜率为k,则-k=-1,得k=, 所以直线l的斜率为. 13.(-∞,-1)∪(0,1)　当△OAB为直角三角形时,OB⊥BA或OA⊥BA,此时l1的斜率k=-1或0.如图,当k=0时,l1与l2交于点B1;当k=-1时,l1与l2交于点B2. 当l1从直线AB2开始,绕点A顺时针旋转到y轴之间时,△OAB为钝角三角形,此时k<-1;记过点A且与l2平行的直线为l3,当l1从直线AB1开始,绕点A逆时针旋转到直线l3之间时,△OAB为钝角三角形,此时0<k<1. 综上,k∈(-∞,-1)∪(0,1). 14.解 易知直线l1的倾斜角为30°+30°=60°, ∴直线l1的斜率k1=tan 60°=. 当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2. 当m≠1时,直线AB的斜率kAB=, ∴线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=. ∵l1与l2平行,∴k1=k2,即,解得m=4+. 综上,实数m的值为4+. 5 学科网（北京）股份有限公司 $