精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高三上学期2月月考数学试题

2025—2026学年度上学期2023级 2月月考数学试题 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 考试时间：2026年2月2日15:00—17:00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算复数的模即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解对数不等式，化简集合B，再求交集即可. 【详解】对数函数的定义域为，不等式， 因为底数大于1，为单调递增的函数，可得，因此，集合， 根据交集运算，得. 故选：A. 3. 若直线与直线平行，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两直线方程化为斜截式，根据两直线平行时斜率相等且截距不相等的性质列方程求解的值. 【详解】直线，斜率，截距， 直线，斜率，截距， 因为两直线平行，所以斜率相等且截距不相等，即且， 由得，此时，满足平行条件. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式计算即可. 【详解】， 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据导数的运算可得，代入可得，即可求解. 【详解】令，则， 所以，所以. 故选：D. 6. 设函数，则“的值域为”是“存在实数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简得，其中， ，再根据判断充分性，利用两角和差公式以及恒成立求出判断必要性. 【详解】， 其中， 若的值域为，则， 则，其中， 故存在实数，使得，故充分性成立； 若存在实数，使得， 则对定义域中任意恒成立， 则，则， 此时的值域为，故必要性成立， 故“的值域为”是“存在实数，使得”的充要条件. 故选：C 7. 已知抛物线的准线为，为上的一点，于点，直线与圆相切于点，若，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义得到，再根据切线的性质得到，最后利用列式求解即可. 【详解】 由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆的圆心，半径， 设，则， ，根据抛物线的定义可得， 又直线与圆相切于点，， 又， 又，，即， 把代入，得，解得. 故选：B. 8. 三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，由题易知为三棱锥的外接球球心，且外接球半径为，再根据球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，转化为求点到平面ABC的距离，最后根据即可求得答案. 【详解】如图，取中点，连接， 因为三棱锥中，， 所以与均为直角三角形，且为公共斜边， 所以，即点为三棱锥的外接球球心，半径为， 设点到平面ABC的距离，球心到平面ABC的距离 所以球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，即， 因为二面角的平面角为锐角， 所以点到平面ABC的距离，当且仅当时等号成立， 所以球心到平面ABC的距离， 即三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 10. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，结合排列组合知识依次计算总的样本点数，事件，，，包含的样本点数，依次判断选项即可. 【详解】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题， 则总的样本点总数为：， 对于A选项，甲可能同时体验两个主题，所以事件与不对立，故A错误； 对于B，事件“甲体验指尖非遗”，分两种情况： 当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，所以样本点数为：， 当甲选两个主题，其中一个是“指尖非遗”时，则甲从剩下3个选一个主题，则剩余的2主题分配给乙，丙，所以样本点数为：， 所以事件包含的样本点数为， 故，故B正确； 同理，， 对于C，事件表示甲选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论： 当甲选2个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，此时的样本点数为：， 当甲只选“指尖非遗”，乙选2个主题，其中一个是“舌尖非遗”，此时的样本点数为：， 当甲只选“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，此时样本点数为：1， 所以事件包含的样本点数为：，所以， 由于， 所以与不独立，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD 11. 已知集合，用表示集合的元素个数，定义：，，；，，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分析可知，，，，，，进而可得，，即可判断AB；令，则，利用放缩法判断C；可得，，进而判断D. 【详解】因为，则，， 可知，，且，，，， 则，可得， 则，可得， 即，，可得，故AB正确； 对于C：因为， 令，则， 又因为， 当，则， 则， 可得， 所以，故C错误； 对于D：因为， 则， 又因为，则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意结合指数运算性质可得. 【详解】因为，且.所以当时，满足题意. 所以满足条件的一个函数解析式. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足：，．若，则_____________；若，则的最大值为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】写出的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算，列出关于的方程组，用表示，①代入，即可求出答案；②表示出，并化为的形式，即可求得最大值. 【详解】由题可知，. 所以. 所以. ①将代入，可得 ② ，其中，是锐角. 因为，所以，所以 所以当时，取得最大值 ，取得最大值 ，即的最大值为. 故答案为：①，②. 14. 已知椭圆的左焦点为，点，若以A，F为焦点的双曲线与椭圆交于点，则双曲线的离心率的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知双曲线右支与椭圆C不相交，结合椭圆、双曲线定义可得，，进而可得双曲线的离心率的最大值. 【详解】设椭圆C的半长轴长、半焦距长分别为，双曲线E的半实轴长、半焦距长分别为， 则， 可知椭圆C的左焦点为，右焦点为， 且，即， 因为，， 则，且线段的中垂线为双曲线E的一条对称轴， 可知双曲线E的右支与椭圆不相交， 因为，可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 即，则双曲线E的离心率，所以双曲线的离心率的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数基本关系可得； （2）直接由余弦定理解三角形可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，即， 再由及基本关系式得，得或， 因为，所以（舍去），即. 故. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 再由余弦定理，且，， 得，，解得或. 当时，，此时，为直角三角形，符合题意； 当时，，此时，为钝角三角形，符合题意； 故或. 16. 已知等差数列的前项和为，且为等差数列． （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由题设得，即， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以， 因为，所以，所以，即证． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，代入数据直接计算可得答案； （2）利用等差数列的性质可得，利用错位相减法求出，即证． 【小问1详解】 因为等差数列中，，又， 所以，即①， 因为为等差数列，所以， 令时，，即，则②， 结合①②，解出，则， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 略 17. 已知函数，. （1）求的单调区间和极小值； （2）证明：当时，. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为，极小值为1； （2） 证明：当时，令， 求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，则，在上单调递增， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值. （2）根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为. 【小问2详解】 略. 18. 已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为. （1）求的方程； （2）已知过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，. （ⅰ）记线段的中点的轨迹为曲线，请求出的方程，并说明的形状； （ⅱ）若点，在上，且，.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①在上；②；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）（ⅰ），双曲线；（ⅱ）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据右焦点坐标，双曲线的渐近线方程以及的关系求出双曲线的方程； （2）（ⅰ）设直线，分别与两条渐近线联立，求出，用中点坐标公式表示，得到的关系式，根据方程的形式判断轨迹形状； （ⅱ）设直线方程为，翻译条件：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；进而证明. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，所以， 因为渐近线方程为，所以，即， 由，得，所以. 所以双曲线的方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点， 设直线的斜率为，则，； 将与联立，解得； 与联立，解得； 求中点的坐标：，； 当时，，此时，， 消去参数，可得的方程为，除去，； 当时，即原点， 综上，的方程为，即， 这是一个以为中心，实轴为2，虚轴为的双曲线; （ⅱ）由已知得直线的斜率存在且不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在， 则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点， 此时由对称性可知、关于轴对称，从而，已知不符，同理可得直线斜率不为， 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为，直线方程为， 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为，联立消去并化简整理得：， 设，，线段中点为，则，， 设，则条件③等价于， 移项并利用平方差公式整理得： ， ，即，即； 由题意知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以由，， 所以， 所以直线的斜率， 直线，即， 代入双曲线的方程，即， 得：， 解得的横坐标：， 同理：， 所以，，∴， 所以条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③： 由①②解得：，所以，所以③成立； 选①③推②： 由①③解得：，，所以，所以②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，所以， 所以，所以①成立. 19. 如图1，直三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，且 . 图2所示的多面体 ，可视为将图1中的 在其平面内绕其中心逆时针旋转 后，记为 ，并重新连接 ，，，，， 得到. （1）如图2，证明：，，， 四点共面； （2）求多面体 的体积； （3）若点 在多面体 的棱 上，求 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求出此时点 在 上的位置. 【答案】（1）如图所示，取的中心记为，取的中心记为，以为坐标原点，过作的平行线为轴，过作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是边长为2的等边三角形，是由绕逆时针旋转得到的. ，， ，， 所以四点共面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系后利用向量证明即可. （2）多面体是由两个全等的四棱锥组成的，先用向量证明是矩形并求出其面积 ，然后求出点到平面的距离，然后利用体积公式计算答案. （3）先设出点的位置，然后利用向量，用参数表示出线面角的正弦值，再利用导数求解最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 四边形是矩形，. 设平面的法向量，则 ，令，则. . 所以点到平面的距离. 所以多面体的体积. 【小问3详解】 设 . . . 设平面的法向量. 则，令，则. . 记与平面所成的角为，则. 即. 记 则. 故在上单调递增，在上单调递减. 因此. 所以与平面所成角的正弦值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期2023级 2月月考数学试题 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 考试时间：2026年2月2日15:00—17:00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 6. 设函数，则“的值域为”是“存在实数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知抛物线的准线为，为上的一点，于点，直线与圆相切于点，若，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 或 8. 三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 10. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 11. 已知集合，用表示集合的元素个数，定义：，，；，，.则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足：，．若，则_____________；若，则的最大值为_____________． 14. 已知椭圆的左焦点为，点，若以A，F为焦点的双曲线与椭圆交于点，则双曲线的离心率的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若，求. 16. 已知等差数列的前项和为，且为等差数列． （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 17. 已知函数，. （1）求的单调区间和极小值； （2）证明：当时，. 18. 已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为. （1）求的方程； （2）已知过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，. （ⅰ）记线段的中点的轨迹为曲线，请求出的方程，并说明的形状； （ⅱ）若点，在上，且，.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①在上；②；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 19. 如图1，直三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，且 . 图2所示的多面体 ，可视为将图1中的 在其平面内绕其中心逆时针旋转 后，记为 ，并重新连接 ，，，，， 得到. （1）如图2，证明：，，， 四点共面； （2）求多面体 的体积； （3）若点 在多面体 的棱 上，求 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求出此时点 在 上的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $