专题03 空间向量基本定理9种常见考法归类（42题）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底判断、向量表示、参数求解、正交分解及平行共面、数量积、垂直、距离、夹角等9类应用，构建从概念理解到实际解题的递进学习支架。 该资料通过42道典型题分类呈现，解题策略明确，如基底判断的共面分析、向量表示的三角形法则等。助力学生用数学眼光观察空间向量关系，用数学思维推理运算，用数学语言表达空间形式，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册考点通关 专题03 空间向量基本定理9种常见考法归类（42题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量基本定理基底的判断 题型二 用基底表示空间向量 题型三 利用空间向量基本定理求参数 题型四 空间向量的正交分解 题型五 用向量法证明平行、共面问题 题型六 用基底法求空间向量的数量积 题型七 用向量法解决立体几何的垂直问题 题型八 用向量法解决立体几何的距离问题 题型九 用向量法解决立体几何的夹角问题 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 3．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 题型一 空间向量基本定理基底的判断 解题策略：1.正确理解基底的概念 基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2.基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 注：(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 1．（2026高一·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 2．（2026高二·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 3．（2026高二·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 4．（2026高一·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 5．【多选】（2026高二·江苏徐州·期末）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 6．【多选】（2026高二·江苏苏州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 题型二 用基底表示空间向量 解题策略：用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 注：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 7．（2026高二·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 8．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 9．（2026高一·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 10．（2026高二·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 所以 . 11．（2026高二·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 12．（2026高二·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 题型三 利用空间向量基本定理求参数 13．（2026高二·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【分析】由正方体的结构特征，应用空间向量加减、数乘的几何意义得、，进而得到与的线性关系式，即可得. 【详解】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 14．（2026高二·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 15．（2026高二·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 16．（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 【答案】 【详解】， ，，． 17．（2026高二·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 知识点2 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型四 空间向量的正交分解 18．（2026高二·云南临沧·阶段检测）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是__________. 【答案】 【分析】依题意可得，即可得解. 【详解】向量在基底下的坐标是， ， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 19．（2026高二·宁夏银川·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 【答案】 【分析】由向量坐标的定义求解. 【详解】由向量坐标的定义可知，是空间的一个单位正交基底，． 故答案为： 20．（2026高二·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 故答案为：. 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 题型五 用向量法证明平行、共面问题 解题策略：证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 21．（2026高二·北京·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 【答案】/1.5 【分析】由空间向量基本定理即可求解. 【详解】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 故答案为： 22．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设， 则， 又， 且 ， 因为，，，四点共面， 所以， 即， 又因为，则， 即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 23．（2026高二·陕西铜川·阶段检测）如图，在四面体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任意一点，有． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）点共面的判定定理计算可得结论； （2）由线面平行的判定定理证明即可； （3）由向量的加法性质化简即可得出结论. 【详解】（1）连接，， 由共面向量定理的推论知四点共面． （2）分别为的中点，， ，， 又平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH． （3）， ，四边形为平行四边形． 又是和的交点， ，被点平分． ． 24．（2026高二·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 25．（2026高二·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 【答案】(1) 在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. (2)6. 【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证. （2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解. 【详解】（1）略 （2）依题意，， 而， 则， 因此， 所以的长度为6. 题型六 用基底法求空间向量的数量积 26．（2026高一·黑龙江·期末）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 27．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1） 利用及空间向量的数量积运算法则进行计算； （2）结合题干中的数量关系，把用、、向量的线性关系表达出来. 【详解】（1）由题意可知：，因为,,, 所以 （2）由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 题型七 用向量法解决立体几何垂直问题 28．（2026高一·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 29．（2026高二·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2) 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 30．（2026高一·陕西商洛·阶段检测）如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为． (1)以为基底表示向量、； (2)若，求证：； (3)若，求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量的加减法即可表示出结果； （2）由题意得到向量的模长，以及它们之间的夹角，由向量的数量积公式求得，然后求得，由数量积判断； （3）由（2）求得，然后求得，由向量的数量积公式求得. 【详解】（1）在正三棱柱中，，，， 则， . （2）由题意可知，，，， ，， ∴， 故. （3）， ， ， 故， 解得， 31．（2026高二·山西太原·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． (1)用向量表示向量，并求的模长； (2)用向量方法证明：． 【答案】(1)， (2) 由（1）得， ， ，． 【分析】（1）根据向量的线性运算表示，然后根据数量积的运算求出，可得； （2）用表示，然后根据数量积的运算证明即可. 【详解】（1）由题意得； ， . （2）略 32．（2026高二·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1) ， (2) 由（1）得， 所以，则； (3) 【分析】（1）由空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用数量积求长度. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为. 题型八 用向量法解决立体几何的距离问题 33．（2026高二·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 34．（2026高一·广东深圳·期末）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 35．（2026高二·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 36．（2026高二·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 37．（2026高二·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 38．（2026高三·辽宁·阶段检测）已知正四面体的棱长为，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，利用向量模的计算公式即可求解. 【详解】 如图所示，已知正四面体的棱长为， 则且， 所以，同理， ， 则，故C正确. 题型九 用向量法解决立体几何夹角问题 解题策略：利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 39．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 40．（2026高二·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 41．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为， 所以 ， ， 所以． 42．（2026高二·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过向量的线性运算进行表示； （2）通过向量的线性表示与模长公式计算线段，的长度，计算，再通过夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册考点通关 专题03 空间向量基本定理9种常见考法归类（42题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量基本定理基底的判断 题型二 用基底表示空间向量 题型三 利用空间向量基本定理求参数 题型四 空间向量的正交分解 题型五 用向量法证明平行、共面问题 题型六 用基底法求空间向量的数量积 题型七 用向量法解决立体几何的垂直问题 题型八 用向量法解决立体几何的距离问题 题型九 用向量法解决立体几何的夹角问题 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 3．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 题型一 空间向量基本定理基底的判断 解题策略：1.正确理解基底的概念 基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2.基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 注：(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 1．（2026高一·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2026高二·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 4．（2026高一·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．【多选】（2026高二·江苏徐州·期末）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．【多选】（2026高二·江苏苏州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 题型二 用基底表示空间向量 解题策略：用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 注：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 7．（2026高二·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 9．（2026高一·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A．B． C． D． 10．（2026高二·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026高二·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 12．（2026高二·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 题型三 利用空间向量基本定理求参数 13．（2026高二·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 14．（2026高二·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 15．（2026高二·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 16．（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 17．（2026高二·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 知识点2 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型四 空间向量的正交分解 18．（2026高二·云南临沧·阶段检测）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是__________. 19．（2026高二·宁夏银川·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 20．（2026高二·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 题型五 用向量法证明平行、共面问题 解题策略：证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 21．（2026高二·北京·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 22．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 23．（2026高二·陕西铜川·阶段检测）如图，在四面体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任意一点，有． 24．（2026高二·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 25．（2026高二·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 题型六 用基底法求空间向量的数量积 26．（2026高一·黑龙江·期末）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 27．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 题型七 用向量法解决立体几何垂直问题 28．（2026高一·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 29．（2026高二·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 30．（2026高一·陕西商洛·阶段检测）如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为． (1)以为基底表示向量、； (2)若，求证：； (3)若，求． 31．（2026高二·山西太原·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． (1)用向量表示向量，并求的模长； (2)用向量方法证明：． 32．（2026高二·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 题型八 用向量法解决立体几何的距离问题 33．（2026高二·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 34．（2026高一·广东深圳·期末）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 35．（2026高二·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 36．（2026高二·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 37．（2026高二·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    38．（2026高三·辽宁·阶段检测）已知正四面体的棱长为，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 题型九 用向量法解决立体几何夹角问题 解题策略：利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 39．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 40．（2026高二·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 41．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 42．（2026高二·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． $