专题03 空间向量的坐标表示及运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册暑期预习

专题03 空间向量的坐标表示及运算 一、空间直角坐标系 在空间选定点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴。 这时就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面. 空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系。即，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 二、空间中的坐标表示 1.空间坐标系中点的坐标表示 （1）空间中，任意一点的点坐标 在空间直角坐标系中， 为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z) 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. （2）特殊位置的点坐标 点所在位置 点的坐标 总结 坐标轴上 x轴 (x，0，0) 在哪个坐标轴上，对应坐标不为0，其余作为为0 y轴 (0，y，0) z轴 (0，0，z) 坐标面上 xOy平面 (x，y，0) 在哪个坐标面上，对应坐标不为0，其余作为为0 yOz平面 (0，y，z) xOz平面 (x，0，z) （3）空间中，线段中点、三角形重心的坐标 空间中三点,,，则: 线段AB的中点坐标为, △ABC的重心坐标为（） 2.空间中向量的坐标表示： （1）若，则 （2） 在空间直角坐标系中，给定向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作＝(x，y，z). 【考点一 空间中点的坐标表示】 【题型一 空间中点的坐标表示】 【归纳总结】空间中确定点坐标的方法 1.投影法（射影法）：先将点投到对应的坐标轴面，再过射影点向坐标轴做垂线，根据对应长度确定点坐标 2.特殊点坐标：如线段中点、三角形重心等，可以用对应坐标公式进行求解 已知空间中三点,,,则: 线段AB的中点坐标为（）,△ABC的重心坐标为（） 3.向量法：已知向量坐标可反推点坐标 （投影法） 1．在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别为点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【练习】已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为______． 【变式】如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线折成一个直二面角，现以为原点，以所在直线为轴，点置于在平面内建立空间直角坐标系，求，两点的坐标； 3．如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出四点的坐标； (2)求． 【变式】在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为______.    4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则= 【题型三 空间中向量的坐标】 5．已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    6．在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知点、，若，则点的坐标是__________. 7．如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．    【变式】在直三棱柱中，，，，D是的中点，F是CD的中点，点E在线段上，且.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求： （1） C，D，E，F，的坐标. （2）夹角的余弦值 8．在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 3. 空间中对称点的坐标特点 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 总结 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 【题型三 空间中点的对称问题】 【归纳总结】空间中点的特殊问题 1.关于坐标轴、坐标轴面的对称点：常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”结论． 2.关于一般的点、线、面对称，其根本原理是①对称点与原始点的连线与对称轴（平面）垂直②对称点与原始点的连线中点在对称轴（平面）上 9．（多选）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为 B．点关于xOy平面对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点到xOy平面的距离为4 【练习】（多选）在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 10．（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【练习】已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 三、空间向量的坐标运算 1、向量加减法、数乘、数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2、空间向量的平行和垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 规定：与任意空间向量平行或垂直 【考点二 空间向量的坐标运算】 【题型一 空间向量的加减、数乘、数量积运算】 11．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 12．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标. (3)    【题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示】 13．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 24．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 14．已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【练习】已知空间中三点. (1)若 且 求向量： (2)若点在平面内， 求m的值 四、空间中长度、夹角、投影的坐标表示 1、空间中两点间距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或 2、空间中向量的模长及两向量夹角的坐标计算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模长 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 3、 空间中向量的投影 【题型三 空间中长度、夹角、投影的坐标运算】 15．（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【变式】设，，，，且，，____ ． 16．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【变式】在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 17．已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 【变式】已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 18．已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量的坐标表示及运算 一、空间直角坐标系 在空间选定点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴。 这时就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面. 空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系。即，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 二、空间中的坐标表示 1.空间坐标系中点的坐标表示 （1）空间中，任意一点的点坐标 在空间直角坐标系中， 为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z) 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. （2）特殊位置的点坐标 点所在位置 点的坐标 总结 坐标轴上 x轴 (x，0，0) 在哪个坐标轴上，对应坐标不为0，其余作为为0 y轴 (0，y，0) z轴 (0，0，z) 坐标面上 xOy平面 (x，y，0) 在哪个坐标面上，对应坐标不为0，其余作为为0 yOz平面 (0，y，z) xOz平面 (x，0，z) （3）空间中，线段中点、三角形重心的坐标 空间中三点,,，则: 线段AB的中点坐标为, △ABC的重心坐标为（） 2.空间中向量的坐标表示： （1）若，则 （2） 在空间直角坐标系中，给定向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作＝(x，y，z). 【考点一 空间中点的坐标表示】 【题型一 空间中点的坐标表示】 【归纳总结】空间中确定点坐标的方法 1.投影法（射影法）：先将点投到对应的坐标轴面，再过射影点向坐标轴做垂线，根据对应长度确定点坐标 2.特殊点坐标：如线段中点、三角形重心等，可以用对应坐标公式进行求解 已知空间中三点,,,则: 线段AB的中点坐标为（）,△ABC的重心坐标为（） 3.向量法：已知向量坐标可反推点坐标 （投影法） 1．在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别为点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解. 【详解】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即， 点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即. 故选：D. 【练习】已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在坐标平面内的射影坐标运算即可得解. 【详解】解：∵点是点在坐标平面内的射影， ∴点的坐标为， 故选：A. 2．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为______． 【答案】. 【分析】连接，求出的大小，结合三角函数的定义可求得点的坐标. 【详解】连接，如下图所示： 因为，，则， 因为为的中点，则，故为等边三角形， 故，且， 故点，即点. 故答案为：. 【变式】如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线折成一个直二面角，现以为原点，以所在直线为轴，点置于在平面内建立空间直角坐标系，求，两点的坐标； 【答案】， 【分析】由于面面，从面引棱的垂线即为面的垂线，同理可得即为面的垂线，故只需求得，，，的长度即可． 【详解】解：如图，由于面面，从面引棱的垂线即为面的垂线，同理可得即为面的垂线 矩形中，，， 在直角三角形与直角三角形中，由射影定理知 ，即，得 ，即得 由勾股定理可解得，故 故在空间坐标系中，得，两点的坐标为， 3．如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出四点的坐标； (2)求． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标； （2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果. 【详解】（1），， 则，，，， ，为中点，. （2）由（1）得：，， . 【变式】在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为______.    【答案】 【分析】根据给定的空间直角坐标系，求出的坐标即可得解. 【详解】依题意，，则， 则点，而点， 所以PD的中点M的坐标为. 故答案为： 4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用三角形的重心坐标公式即可得出． 【详解】的重心坐标为，，． 的重心坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的重心坐标公式，属于基础题． 【变式】如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则= 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究点线距离即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则， 因为为的重心，，所以， 所以，则 【题型三 空间中向量的坐标】 5．已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【答案】答案见解析 【分析】根据空间坐标系分别写出对应点的坐标，再利用向量的坐标运算法则即可得出结果. 【详解】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 6．在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再根据即可求解. 【详解】由题得， 故. 又， 则， 故点坐标为． 故选:A. 【变式】已知点、，若，则点的坐标是__________. 【答案】 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标. 【详解】设，由可得， 则，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 7．如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，分析可得，利用空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】由题意，点、， 是线段上的点，且，则， 设点，则，即，解得， 故点的坐标为. 故选：A. 【变式】在直三棱柱中，，，，D是的中点，F是CD的中点，点E在线段上，且.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求： （1） C，D，E，F，的坐标. （2）夹角的余弦值 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据题意，求得的坐标，结合中点公式和，求得的坐标，即可得到答案. （2）由（1）得和的坐标，结合夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题设中的空间直角坐标系，可得，， 因为为的中点，可得，即， 又因为点在线段上，且，可得， 设，可得， 可得，所以. （2） 由（1）得， ∴解：向量， 所以== 8．在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 【答案】答案见解析 【分析】取的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE，两两垂直，则以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标. 【详解】解：取的中点E，连接OE， 在矩形中，是中点，所以，则， 由题可知平面，所以OD，OE，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz， 因为，且，所以， 则O，E，A，D四点共面，平面xOz， x轴，z轴，， ，，，. 3. 空间中对称点的坐标特点 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 总结 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) 关于谁对称，对应坐标不变，其余坐标互为相反数 y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 【题型三 空间中点的对称问题】 【归纳总结】空间中点的特殊问题 1.关于坐标轴、坐标轴面的对称点：常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”结论． 2.关于一般的点、线、面对称，其根本原理是①对称点与原始点的连线与对称轴（平面）垂直②对称点与原始点的连线中点在对称轴（平面）上 9．（多选）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为 B．点关于xOy平面对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点到xOy平面的距离为4 【答案】BCD 【分析】根据空间中点的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：点关于x轴对称的点的坐标为，故A错误； 选项B：点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 选项C：点关于原点对称的点的坐标为，故C正确； 选项D：点N到xOy平面的距离为4，故D正确. 故选：BCD 【练习】（多选）在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 【答案】AC 【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分. 【详解】A选项，点与点关于轴对称，A正确； B选项，点关于轴的对称点是，B错误； C选项，点与点关于平面对称，C正确； D选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分，D错误． 故选：AC． 10．（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 【练习】已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题与关于点对称问题直接求解. 【详解】设点关于平面对称的点为，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反，故点； 设点关于点对称的点为，则点为线段的中点，故有：，解得，即. 故选：A. 三、空间向量的坐标运算 1、向量加减法、数乘、数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2、空间向量的平行和垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 规定：与任意空间向量平行或垂直 【考点二 空间向量的坐标运算】 【题型一 空间向量的加减、数乘、数量积运算】 11．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 【变式】已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法运算和数量积坐标公式求解. 【详解】，，， . 故选：B. 12．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标. (3)    【答案】(1)，，. (2) ， (3)39 【分析】（1）先明确有关点的坐标，再利用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标. （2）利用空间向量坐标的线性运算求解. （3）利用空间向量坐标的数量积运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，，，. 所以， ， . （2） ， . （3）==0+12+27=39 【题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示】 13．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 24．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 14．已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 【练习】已知空间中三点. (1)若 且 求向量： (2)若点在平面内， 求m的值 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用向量共线的充要条件结合模长的坐标表示计算即可； （2）利用空间向量共面定理建立方程组计算即可. 【详解】（1）易知，因为， 所以， 因为，所以，得， 所以向量或； （2）因为点在平面上，故存在实数使得， 又，， 所以，解得. 故. 四、空间中长度、夹角、投影的坐标表示 1、空间中两点间距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或 2、空间中向量的模长及两向量夹角的坐标计算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模长 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 3、 空间中向量的投影 【题型三 空间中长度、夹角、投影的坐标运算】 15．（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 【变式】设，，，，且，，____ ． 【答案】 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得 ， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 16．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 【变式】在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 17．已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】首先判断与不共线，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 若，则，所以，方程组无解，所以与不共线， 又向量与的夹角为锐角，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式】已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由与的夹角为钝角，得到且与不共线，结合数量积的运算和共线定理，可判定【详解】向量，， 若与的夹角为钝角，可得且与不共线， 由，解得， 设，可得，解得， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为 18．已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，再利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 【变式】如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】 【分析】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，写出，的坐标，然后代入投影向量公式可得到正确答案. 【详解】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系, 由，，是的中点，得： ，，， 故， 故， 故= 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $