第2章 锐角的正弦，余弦，正切 单元测试 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 湘教版九上锐角三角函数单元卷，120分钟120分，覆盖正弦、余弦、正切核心知识，通过基础计算、实际应用及创新题型，培养数学抽象、几何直观与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|特殊角三角函数值、三角函数性质、网格问题|结合网格构造（第6题）、分类讨论（第10题），考查几何直观| |填空题|6题/18分|三角形类型判断、网格交点计算、构造法应用|原创网格交点问题（第14题），强化数学思维| |解答题|8题/72分|实际测量（旗杆/飞机高度）、研学活动（飞檐翘角）、正弦定理拓展|融合文化传承（第22题）与生活实践，发展应用意识与推理能力|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试一锐角的正弦，余弦，正切 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：湘教版2024九年级上册第2章一锐角的正弦，余弦，正切 一、选择题（共30分） 1,(本题3分)计算0s60°+、3 -tan60° 3 的值为() 3 5 7 V3+2 A.2 B.6 c.2 D.2 2.(本题3分)如果a是锐角，且sina 5,那么sin(90°-a)的值等于() 9 4 16 A.25 B.5 C.5 D.25 3.(本题3分)在RIAABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则cosA的值() A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 4.(本题3分)如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC=6米，∠ACB=52°，则AB的长为() A B 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 6 A.6c0s520米 B.6sin52米 C.cos52°米 D.sin52°米 5.(本题3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=C,则下列选项错误的是() 6 C A.sinA=a B.cosB=a C.tan= 6 D.tanB=b (热点·表格题·原创)6.（本题3分）在5×l0的网格中，点A,B,C均是网格线的交点，则tn∠BAC= () 2v5 B.z 5 A.5 C.2 D.5 1 cosa< V2 7.(本题3分)若锐角α满足2 2,则锐角a的度数可能为() A.30° B.40° C.50° D.70° 8.(本题3分)如图是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为() 2√2 110 B45· 2 A.2c0s65 B.2sin65' C. 2 c0s65 D.sin65 (热点·数形结合·原创)9.（本题3分）在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠B和 ∠C均为锐角，若c.cosB=b.cosC,则△ABC是() 学科网知识店铺苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D,等腰直角三角形 (数学思想·分类讨论·改编)10.（本题3分）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6 ,若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为() 25 43 B.6或 c.2545 n25n45 A.6或 或 D.6或或 二、填空题（共18分） 三角形. 12.(本题3分)如图，已知点A,B,C在3×3的正方形网格的格点上，则sin∠BAC+cos2∠BAC的值为 B (本题3分)如图，AD是△ABC的中线，a6二5，CosC、V 2,AC=√2.则BC的长为一 B (数学思维·构造·原创)14.（本题3分)在如图所示的小正方形网格中，A、B、CD均为小正方形 的顶点，线段AB和CD相交于点O,则sin∠AOC的值为 学科网知识店铺苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 15.(本题3分)如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45° 从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°，若CD=EF=1.7m,则旗杆AB的高度是m (精确到0.1m).《参考数据： V3≈1.732 A D 16.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别为AB,AC边上的点，且 3 ∠B=2∠ADE,AE=BD,若BC=6,tanM= 4,则BD的长为— 6 ■ E 三、解答题（共72分） 17.(本题6分)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,BC=4,求sinB,cosB,tanB的值. B 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 18.(本题6分)如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上的一点，AC=4,tan ZADC=2. 1)求DC的长. (②)若BD-CD=2,求sinB的值. 3sin230°-tan245°+(tan43°+sin56)° 19.(本题8分)计算： 20.(本题8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)若∠B=60°，a=4,求b的值： 2)a=1b= 3,求∠和C的值. 21.(本题10分)如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看 见飞机A的仰角为30°，已知斜坡CF的坡度：i=13,铅垂高度DG=40米（点E,G,C,B在同一水 平线上).（结果保留根号）· FD30° H ■ EG B (I)求此时甲、乙两市民的距离CD; (②)求飞机此时距离地面的高度AB 22.(本题10分)“飞檐翘角”是中国特有的建筑结构，既便于采光，又利于排水，为了解某古建筑 “飞檐翘角”中起翘点与飞檐最高点之间的距离，研学小组制定了如下活动方案： 活动主题 测量“飞檐翘角”中起翘点与飞檐最高点之间的距离 图示与说明 实物图 示意图 说明：点A是 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 起翘点，点B 最高点B A 是飞檐最高 超品起翘点4 2 点，CD表示 激光测距仪的 D 高度 测量方法与 调整激光测距仪，从点C处测得CB=5.5米；继续调整激光测距仪从点C 数据 处测得CA=5米；两次测量方向的夹角∠ACB=16.3° 请根据以上数据，求该古建筑“飞檐翘角”的起翘点A与飞檐最高点B之间的距离（结果精确到01米， sin16.3°≈0.28cos16.3°≈0.965≈2.24 参考数据： (拓展·正弦定理·原创)23.（本题12分）【问题背景】如图1，在锐角三角形ABC中，∠A,∠B, ,sinC= ∠C的对边分别是a:6:c过A作DLC于点D:则mB-0. b,即AD=c-sinB b a ab 4AD=b-sinC,于是e.sin B=b-sinC,即sinBsinC,同理有sinCsinA:sinA sin B,所以 a b sin A sin B sinC· B D 图1 【简单应用】如图2，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若∠A=45°，∠B=30°， a=10 图2 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ (1)根据以上条件结合材料中的结论，求b的值； (②)求△ABC的面积。 【综合应用】 3)在某次巡逻中，如图3，甲船在C处测得岛A在甲船的北偏西30°的方向上，随后以40nmil/h的速度 按北偏东30°的方向航行，一个半小时后到达B处，此时又测得岛A在北偏西75°的方向上，求此时甲船距 岛4的距离1B.(结果精确到0.01V6≈2.49， 北 E 75 东 30° 30 图3 24.(本题12分)如图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方 形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图， 保留必要的作图痕迹. A B A B A B 图① 图② 图③ (I)在图①中，作△ABC的中线AD: ②)在图②中，在BC上找一点五，连接4E,使得 =2S.4CE ⑧)在图③中，在4C上找一点卫，连接B那，使m∠PsV付 5.学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—锐角的正弦，余弦，正切 细目表 题号 难度 知识点 一、选择题 1 容易 特殊角三角函数值的混合运算 2 容易 求角的正弦值 3 容易 求角的余弦值 4 容易 其他问题（解直角三角形的应用） 5 容易 正弦的概念辨析,余弦的概念辨析,正切的概念辨析 6 适中（原创） 勾股定理与网格问题,在网格中判断直角三角形,求角的正切值 7 适中 根据三角函数值判断锐角的取值范围 8 适中 解直角三角形的相关计算 9 适中（原创） 等腰三角形的定义,由特殊角的三角函数值判断三角形形状,线段垂直平分线的性质 10 困难（改编） 解直角三角形的相关计算,根据等角对等边证明边相等,等边三角形的判定和性质 二、填空题 11 容易 绝对值非负性,等边三角形的判定,根据特殊角三角函数值求角的度数 12 容易 求角的正弦值,在网格中判断直角三角形,求角的余弦值 13 容易 解直角三角形的相关计算 14 适中（原创） 勾股定理与网格问题,解直角三角形的相关计算,求角的正弦值 15 适中 解直角三角形的相关计算,仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 16 困难 解直角三角形的相关计算,用勾股定理解三角形 三、解答题 17 容易 求角的正弦值,求角的余弦值,求角的正切值,用勾股定理解三角形 18 容易 求角的正弦值,已知正切值求边长,用勾股定理解三角形 19 容易 零指数幂,特殊角三角函数值的混合运算 20 容易 求角的正切值,用勾股定理解三角形 21 容易 根据矩形的性质与判定求线段长,已知正切值求边长,坡度坡比问题(解直角三角形的应用）,特殊三角形的三角函数,用勾股定理解三角形,仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 22 适中 用勾股定理解三角形,其他问题（解直角三角形的应用） 23 适中（原创） 求角的正弦值,已知正弦值求边长 24 困难 勾股定理与网格问题,解直角三角形的相关计算,由平行截线求相关线段的长或比值,利用矩形的性质证明,格点作图题,利用平行四边形的判定与性质求解 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—锐角的正弦，余弦，正切 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：湘教版2024九年级上册第2章—锐角的正弦，余弦，正切 一、选择题（共30分） 1．（本题3分）计算的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算．直接代入已知三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 2．（本题3分）如果是锐角，且，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形；如图，中，，，设，则，根据勾股定理可得，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图，在，，，则 ∵ 设，则 ∴ ∴ 故选：C． 3．（本题3分）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 4．（本题3分）如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义得，由此可得出答案． 【详解】解：在中，米，， ， （米）． 故选：B． 5．（本题3分）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． （热点·表格题·原创）6．（本题3分）在的网格中，点均是网格线的交点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求角的正切值，连接，利用勾股定理可求出的长，利用勾股定理的逆定理可证明，据此根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（本题3分）若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 8．（本题3分）如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，构造直角三角形，准确理解相关概念是解题的关键．延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D，先在中，求出的长度，再在中，求出的长度． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． 故选：C． （热点·数形结合·原创）9．（本题3分）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． （数学思想·分类讨论·改编）10．（本题3分）在中，，有一个锐角为60°，，若点P在直线上（不与点A、C重合），且，则的长为（    ） A．6或 B．6或 C．或 D．6或或 【答案】D 【分析】根据点P在直线上的不同位置，，利用特殊角的三角函数进行求解． 【详解】如图1： 当时，，与矛盾； 如图2： 当时，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图3： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 如图4： 当时，， ∵， ∴， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线上的不同位置． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）在中，若，则是_______三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，等边三角形的判定， 根据绝对值和完全平方数非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 12．（本题3分）如图，已知点A，B，C在的正方形网格的格点上，则的值为______． 【答案】1 【分析】连接，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，结合三角函数解答即可． 本题主要考查了勾股定理与网格，求正弦值，余弦函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设小正方形的边长为1，根据题意，得， ，， 由， 故是直角三角形， 故 故答案为：1． 13．（本题3分）如图，是的中线，，，．则的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握构造直角三角形，余弦、正切值的计算方法是解题的关键． 根据题意，过点作于点，构造直角三角形，在中，运用余弦的计算方法可得，再运用勾股定理可得，在中，运用正切值的计算方法可得，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为： ． （数学思维·构造·原创）14．（本题3分）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得即可解答． 【详解】解：如图标记格点，连接，， 设小正方形的边长均为， 由勾股定理可知，， ， 中，， 中，， ， ， ，， ， ． 15．（本题3分）如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是______（精确到）．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 延长交于G，则，设，根据观测的角度和直角三角形的边角关系用x来表示和，进而表示出，根据点C和点E的距离列出方程并求解可得的长度，再根据和的长度确定的长度，即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，延长交于G，则．设， ∵在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从点E处测得旗杆顶B的仰角为， ∴，． ∴， ∵点E与点C相距， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理． 作，交于点F，过点E作于点G，则，可得，从而得到，再由角平分线的性质可得，设，则，可得，即可求解． 【详解】解：作，交于点F，过点E作，垂足为点G， 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． 设， 则． ∴． ∵， ∴． 即． 解得：． ∴． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 18．（本题6分）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 19．（本题8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，零指数幂，先根据特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可求解． 【详解】解： 20．（本题8分）在中，，，，分别是，，的对边． (1)若，，求的值； (2)，，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据，，得，解答即可； （2）根据，，，求，利用勾股定理计算的值即可． 本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握三角函数计算是解题的关键. 【详解】（1）解：∵，，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 21．（本题10分）如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡度：，铅垂高度米（点，，，同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 【答案】(1)米 (2)飞机距离地面的高度为米 【分析】（1）根据题意可得：，然后根据已知斜坡CD的坡度为，可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得；米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义用表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义用求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答， 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 斜坡的坡度，铅垂高度米， ， 米． ， （米）； （2），，, 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ． 设米，则米， 米． 在中，， 解得．经检验是方程的解， 米． 答：飞机距离地面的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，考查了勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角三角函数值等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22．（本题10分）“飞檐翘角”是中国特有的建筑结构，既便于采光，又利于排水，为了解某古建筑“飞檐翘角”中起翘点与飞檐最高点之间的距离，研学小组制定了如下活动方案： 活动主题 测量“飞檐翘角”中起翘点与飞檐最高点之间的距离 图示与说明 实物图 示意图 说明：点是起翘点，点是飞檐最高点，表示激光测距仪的高度． 测量方法与数据 调整激光测距仪，从点处测得米；继续调整激光测距仪从点处测得米；两次测量方向的夹角． … 请根据以上数据，求该古建筑“飞檐翘角”的起翘点与飞檐最高点之间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：，，）． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理，在中，利用的余弦可以求出，利用的正弦可以求出，根据线段之间的关系即可求出，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作，交于点， 在中， ，， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理， 可得：米， 答：该古建筑“飞檐翘角”中起翘点与飞檐最高点之间的距离约为米． （拓展·正弦定理·原创）23．（本题12分）【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题目总结出的结论，代入数值计算即可； （2）先求得的长，然后根据三角形的面积公式，即可； （3）利用题目中总结出的正结论代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得． （2）解：过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意可得，，，； 由题意得， ∴ ． 答： ． 24．（本题12分）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 学科网（北京）股份有限公司 $