第2章 锐角的正弦、余弦、正切（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 新教材湘教版锐角三角函数单元拔尖卷，23题覆盖三角函数定义、解直角三角形及几何综合，结合非遗窗花、风电测量等真实情境，梯度设计适配单元复习，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数定义、方位角应用|网格图（第5题）、折叠问题（第10题）考查几何直观| |填空题|6/18|特殊角计算、图形旋转|体育看台坡度（第15题）体现模型意识| |解答题|7/72|测量高度距离、几何综合证明|风电基地风叶测算（第21题）融合空间观念与运算能力，非遗窗花折叠（第10题）渗透文化传承|

第2章 锐角的正弦、余弦、正切·拔尖卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·广东深圳·三模）如图，中，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昭通·模拟预测）在中，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 3．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 4．（2026·安徽安庆·二模）如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 5．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 6．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 8．如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 10．（2026·河北沧州·三模）某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（     ） A．第一次折叠后， B．第一次折叠后， C．第二次折叠后， D．第二次折叠后， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算：______． 12．如图，在矩形中，，，点E在上，F为延长线上一点，将沿翻折，点A恰好与点C重合，则的余弦值为_____． 13．如图所示，在中，，，D，E，F分别是，，边上的点，且，，则___． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______．    15．（2026·河北邢台·模拟预测）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为3m．则顶棚的处离地面的高度______m．（，，结果精确到0.1m） 16．在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，P是延长线上一点，连接，将绕点F顺时针旋转，得到，连接，如果，则_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 18．（8分）【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 19．（10分）（2026·安徽合肥·三模）如图，某高楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，其高度为130米，在楼底端点测得的仰角为，在高楼的顶端点测得的仰角为，，之间的距离为80米，、、在同一直线上，且，． (1)求高楼的高度； (2)求发射塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，，，） 20．（10分）如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为的中点，，，求的长． 21．（12分）（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 22．（12分）已知，点E是中点，点D是延长线上的一点，连接． (1)如图1，若，，，，则________． (2)如图2，过点C作交延长线于点F．若，，求证：． (3)如图3，若，是否存在实数m，使得当时，？若存在，请直接写出m的值（用含的式子表示）；若不存在，请说明理由． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，过点作轴交直线于点，过点作交轴于点，连结． (1) ， ．（用含的代数式表示） (2)当时，求的面积； (3)在坐标平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (4)作点关于直线的对称点，当点恰好落在轴上时，请直接写出的值 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 锐角的正弦、余弦、正切·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·广东深圳·三模）如图，中，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，确定，再根据正弦函数的定义进行计算即可. 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， . 2．（2026·云南昭通·模拟预测）在中，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】D 【分析】解题思路是作底边的高，利用锐角正弦定义和勾股定理求出底和高，代入面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴． 3．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可知，，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 4．（2026·安徽安庆·二模）如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，，再由题意确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由余弦函数求解即可 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 5．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 6．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 7．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 8．如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取线段的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得到，再利用勾股定理求解． 【详解】解：取线段的中点，连接， ， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 9．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据，，，求解即可； 【详解】解：，高交于点F， ，， ，， ，， , 故； 10．（2026·河北沧州·三模）某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（     ） A．第一次折叠后， B．第一次折叠后， C．第二次折叠后， D．第二次折叠后， 【答案】D 【分析】由菱形的性质求得菱形的边长，由折叠的性质即可判定A；过点E作于点M，设，则由折叠的性质得，，利用三角函数知识可求得，进而求得，利用勾股定理求得x的值，从而判定B；在中，由勾股定理求得，进而得，可判定C；由，得，从而，由折叠的性质可判定D． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 由勾股定理得， 第一次折叠后，，故选项A正确； 过点E作于点M，设， 则第一次折叠后，，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 即第一次折叠后，，故选项B正确； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即第二次折叠后，，故选项C正确； 在中，， ∴， ∴， 由两次折叠得， ∵， ∴，故选项D错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算：______． 【答案】7 【分析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简，再合并即可． 【详解】解： 12．如图，在矩形中，，，点E在上，F为延长线上一点，将沿翻折，点A恰好与点C重合，则的余弦值为_____． 【答案】 【分析】利用翻折性质得，，先后在和中用勾股定理列方程求出和，进而求出和，最后由余弦定义求． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 沿翻折，点与点重合， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 在中，， ， ． 13．如图所示，在中，，，D，E，F分别是，，边上的点，且，，则___． 【答案】 【分析】根据等边对等角得到，根据，得到，即可证明，得到，，因此．过点B作于点H，通过解直角三角形求出，再由“三线合一”求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 过点B作于点H， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 15．（2026·河北邢台·模拟预测）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为3m．则顶棚的处离地面的高度______m．（，，结果精确到0.1m） 【答案】 【分析】直接根据AC的坡度即可求出AB的值，然后构造直角三角形EGD，通过解直角三角形求出EG的长度，最后利用即可求解． 【详解】解：过点D作交EF于点G， ∵观众区的坡度为， ∴． ， ． ， ． ， ， ． 16．在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，P是延长线上一点，连接，将绕点F顺时针旋转，得到，连接，如果，则_____． 【答案】2 【分析】利用垂直平分线性质得 ，结合 得出；通过构造旋转全等三角形，将转化为，证明共线，从而将转化为线段的长；最后在等腰中计算与的关系，代入求值． 【详解】解：垂直平分， ． ， 在中，， ∴． 在下方作，且，连接， 绕点逆时针旋转得到， ． ， ，即． 在和中 ， ， ． ， ． 在延长线上， ， ． 在中，， ， ， 三点共线， ， ． 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用正切值和已知条件求出长度，根据勾股定理即可求出长度． （2）根据角平分线的性质定理即可求出的长度，以及，设参数，结合已知条件，利用勾股定理即可求出的长度，再根据正切值等于对边比邻边即可求出答案． 【详解】（1）解： 中，，，， ， ， ， 在中，． （2）解：过点作于点，如图所示， ，，平分， ， 又， ∴， ∴， 设， ，， 在中，， ， ， 中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切值，角平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握如何利用正切值求已知线段，或者是利用已知线段比求正切值，以及角平分线性质定理． 18．（8分）【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】(1)，证明： 如图，作于点E． 在中，， 在中，． ， ， ． (2) 【分析】（1）仿照图1的证明方法，首先构造直角三角形，即作于点E，在和中根据正弦的定义得到 ，，然后利用建立等量关系即可得解； （2）利用第（1）问探究的结论可知然后代入相关数据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ，即， 解得． 答：点A到点B的距离为． 19．（10分）（2026·安徽合肥·三模）如图，某高楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，其高度为130米，在楼底端点测得的仰角为，在高楼的顶端点测得的仰角为，，之间的距离为80米，、、在同一直线上，且，． (1)求高楼的高度； (2)求发射塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)高楼的高度约为178米 (2)发射塔的高度约为14米 【分析】过点作于，构造矩形与直角三角形： （1）利用的米、，求出与，结合米得到； （2）由矩形性质得，再在中利用求出，最后得到发射塔高度． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， 米， 米， 在中，， （米）， （米）， 高楼的高度约为178米． （2）解：过点作，垂足为， 在中，，米， （米）， 由（1）得：米， 在中，， （米）， 米， （米）， 发射塔的高度约为14米． 20．（10分）如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， ． ，， ． 四边形是菱形， ， ， ， ； (2)． 【分析】（1）根据矩形的性质得，，进而得出，再根据菱形的性质可证，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）连接，交于点，作交于点K，先根据菱形的性质得，，再说明四边形是平行四边形，可得，进而根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，，，根据三角函数及勾股定理求出，进而求出，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，即，根据勾股定理求出，根据题意得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：连接，交于点，作交于点K， 四边形是菱形， ，． 为中点， ． ， ，， 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形， ， ， ∵， ． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，​，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∴． 21．（12分）（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 22．（12分）已知，点E是中点，点D是延长线上的一点，连接． (1)如图1，若，，，，则________． (2)如图2，过点C作交延长线于点F．若，，求证：． (3)如图3，若，是否存在实数m，使得当时，？若存在，请直接写出m的值（用含的式子表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：连接， ∵， ∴，， ∵点E是中点， ∴， ∴， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ (3)存在， 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，结合题目条件可推得是等边三角形，则，根据点E是中点，可知，利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）连接，根据平行的性质可证得，从而推得，，然后根据平行的性质，推得，结合，得是等边三角形，从而推得，即可得证； （3）延长至点，使得，连接，，，则可得，从而推得，则，证明,即，过点作于，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是中点， ∴， 则， ∵， ∴， ∴； （2）详解见答案； （3）解:存在，； 延长至点，使得，过点作于，连接，，， ∵点E是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ，， ， （）， ， ． 【点睛】本题（3）问涉及倍长中线模型，根据中点条件构造“8”字全等． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，过点作轴交直线于点，过点作交轴于点，连结． (1) ， ．（用含的代数式表示） (2)当时，求的面积； (3)在坐标平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (4)作点关于直线的对称点，当点恰好落在轴上时，请直接写出的值 ． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 (4)或 【分析】（1）用待定系数法求出直线的解析式，根据直线的解析式求出点的坐标，利用点的坐标求出的长度，根据勾股定理求出的长度，再利用解直角三角形求出的长度； （2）当时，可得，，利用三角形的面积公式求解即可； （3）以点，，，为顶点的四边形是矩形时，分和两种情况求解； （4）作点关于直线的对称点，当点恰好落在轴上时，分点在下方和点在上方两种情况求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 点的坐标为，轴， 点的纵坐标是， 解方程， 可得：， 点的坐标是， ； 点，， ，，， ， ， 在中， ， ， ； （2）解：当时，，， ； （3）解：当时，如下图所示， ， ， ， 轴， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 解得：； 当时，如下图所示， 则有点与原点重合， 可得：， ， 解得：； 综上所述，当或时，以点，，，为顶点的四边形是矩形； （4）解：如下图所示， ， 由对称可知，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 解得：； 如下图所示， ， 由对称可知，， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 解得：； 综上所述，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $