第13章 三角形 全章综合训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本单元卷系统覆盖人教版八年级上册三角形全章9大知识点，通过基础辨析、综合计算与实际应用梯度设计，适配单元复习，强化几何直观与逻辑推理核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|8|三角形分类（题1）、三边关系（题5）|结合坐标系（题2）、生活情境（题4）考查抽象能力| |填空|8|等腰三角形分类（题9）、内角和计算（题19）|设置易错点检验（题7）、面积转化（题15）| |解答|4|几何证明（题29）、实际方案设计（题33）|融合光反射（题35）、建筑模型（题36），体现应用意识与推理能力|

2026-2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训练 第十三章 三角形 全章综合训练 ▌课时目标 1. 系统梳理三角形的概念、分类、边角关系及重要线段的核心知识，形成完整的知识网络，能准确辨析易混概念与易错点。 2. 能综合运用三边关系、内角和定理、外角性质及直角三角形特性解决复杂的几何计算与证明问题，规范几何说理与证明的书写格式。 3. 能运用三角形相关知识解决等腰三角形分类讨论、边长取值范围、实际测量与方案设计等综合问题，提升几何直观与逻辑推理能力。 ▌课时目录 知识点01：三角形概念与分类的综合辨析 知识点02：三边关系与边长取值范围的综合应用 知识点03：等腰三角形边长分类讨论综合 知识点04：三角形重要线段的综合识别与面积计算 知识点05：三角形内角和与角关系的综合计算 知识点06：直角三角形性质的综合应用 知识点07：内角与外角的综合求角 知识点08：三角形边、角、重要线段的几何说理与证明 知识点09：三角形与实际问题、方案设计的综合 ▌知识点01：三角形概念与分类的综合辨析 综合辨析需关注： 1. 定义三要素：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接； 2. 分类标准：按角分（锐角、直角、钝角三角形），按边分（不等边、等腰、等边三角形），注意等边三角形是特殊的等腰三角形，二者为从属关系而非并列； 3. 核心要素：边（三边关系）、角（内角和180°）、顶点，能从图形中准确识别各要素。 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． ▌知识点02：三边关系与边长取值范围的综合应用 核心应用： 1. 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 2. 已知两边求第三边范围：若两边长为m、n（m≥n），则第三边x满足m－n＜x＜m＋n； 3. 实际应用：判断三条线段能否构成三角形（只需验证较短两边之和大于最长边），解决围栏、路径设计等长度约束问题。 注意：求周长时需先确定符合条件的边长组合。 5．（25-26七年级下·河北·期末）有两根木棒长分别为、，要选第三根木棒与它们围成三角形，则第三根木棒的长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三根木棒长为 由题意得 ， 即 选项中只有符合该范围 6．（25-26七年级下·广东佛山·期末）三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系可得， ， 观察选项，只有满足， 因此第三边的长可能为． 7．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知，，是的三边长，且，满足，则的值不可能是（     ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【分析】本题先利用非负数的性质求出边长a和b的值，再根据三角形三边关系得到c的取值范围，即可判断出不符合范围的选项． 【详解】解：∵，且， ∴，，解得，， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得，即， ∵不在的范围内， ∴c的值不可能是11． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为1，，4， ∴，即， ∴， ∴． ▌知识点03：等腰三角形边长分类讨论综合 等腰三角形存在“腰”和“底”的不确定性，需分两类讨论且每类结果必须检验： 1. 若已知边为腰长，则另一腰长等于已知边，底边长为周长减去两倍腰长，检验是否满足“两腰之和大于底边”； 2. 若已知边为底边长，则腰长为（周长－底边长）÷2，检验是否满足“腰长＋底边长＞腰长”。 易错点：忽略检验导致出现“三边为3、3、6”等无效组合。 9．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 10．（25-26七年级下·上海闵行·期末）已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 11．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为，再利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， ∴它的周长为． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 【答案】等腰三角形三边长分别为，， 【分析】设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个等腰三角形三边长分别为，，． ▌知识点04：三角形重要线段的综合识别与面积计算 综合识别： 1. 中线：连接顶点与对边中点，平分对边，且分三角形为面积相等的两部分（S△ABD＝S△ACD）； 2. 角平分线：平分内角，角平分线上的点到角两边距离相等； 3. 高：垂直于对边，位置因三角形类型而异（锐角三角形在内部，直角三角形两高为直角边，钝角三角形一条高在内部）。 面积计算：利用中线性质快速求面积（如重心分中线为2:1，分三角形面积为1:2:3），结合底和高的长度计算。 13．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 【答案】C 【分析】连接，利用三角形中线将三角形面积平分，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ，，，，分别为五边形各边中点， ,，，， 图中阴影部分的总面积是15， ， 五边形的面积是． 14．（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，在中，点D、E、F分别是中点，若面积为1，则面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 15．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________． 【答案】 4 【分析】先根据三角形中线的性质得，进而求出，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是的中线， ∴． ∵， ∴， 解得． 16．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上的点且，连接，若的面积为1，则四边形的面积为________． 【答案】2 【分析】连接，根据E是边上的点且，求出，再结合D是的中点，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵E是边上的点且， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． ▌知识点05：三角形内角和与角关系的综合计算 综合计算： 1. 内角和定理：∠A＋∠B＋∠C＝180°，直角三角形两锐角互余（∠A＋∠B＝90°）； 2. 角关系转化：已知倍分（∠A＝2∠B）、和差（∠A＋∠B＝∠C）关系时，列方程求解； 3. 与外角联动：利用外角等于不相邻两内角和，结合内角和定理求未知角。 示例：在△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，求∠A。 解：设∠C＝x，则∠A＝3x，∠B＝1.5x，3x＋1.5x＋x＝180°，x≈32.8°，∠A≈98.1°。 17．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：①当时， 如图，延长交于F， ∵， ∴， ， ∴； ②当时，如图， 此时与重合， ∴； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，； 综上：α可能取的值为15或45或60或135和105． 18．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，再利用角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，利用垂线的定义结合三角形内角和定理求出的度数，从而利用角之间的关系求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点G， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 【答案】/度 【分析】根据等腰三角形的性质，底角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在等腰中，顶角， 则底角， 设，则， 根据三角形内角和定理得， 即， ， 解得， 即． 20．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）在中，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：在中，，， 又， 所以 解得． ▌知识点06：直角三角形性质与斜边中线的综合应用 综合应用： 1. 性质：两锐角互余； 2. 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形； 3. 计算：结合互余关系求锐角度数。 注意：斜边中线性质是直角三角形的专属性质，使用时需先确认三角形为直角三角形。 21．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，中，平分，于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后在Rt中利用直角三角形两锐角互余求出的度数，最后根据计算即可 【详解】解：， 平分 ． 22．（2026·山西长治·三模）日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用邻补角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵点在一条竖直直线上， ， ， ， ∵水面 水平，竖直直线垂直于水面， ， ∴， ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从发出的， ∴点在同一直线上， 又∵点在同一直线上， ∴ 和是对顶角， ． 23．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 24．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【答案】/度 【分析】根据比大，并结合它们互余可求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． ▌知识点07：内角与外角的综合求角 综合应用： 1. 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个不相邻的内角； 2. 外角和定理：三角形外角和等于360°； 3. 联动求角：已知内角和外角的关系（如外角是内角的2倍），列方程求解； 4. 复杂图形：在折线、转角问题中，通过构造外角将分散的内角转化为外角关系求和。 示例：求五角星的一个尖角（∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E），利用外角性质转化为两个三角形的内角和减去一个平角。 25．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，的角平分线、交于点．若，则的大小为______度． 【答案】 【分析】根据的角平分线交于点O，可得，再由三角形的外角的性质以及三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：∵的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据三角形内角和，角的平分线，三角形外角性质求解即可； （2）根据三角形的面积，中线的性质，求解即可； 【详解】（1）解：在中 ， 是的角平分线 是的外角 ； （2）解：是的高，， ， 是的中线， ． 27．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，． (1)判断是否平分，并说明理由； (2)如图2，的平分线交于点，，求的度数． 【答案】(1)解：平分，理由如下： ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴平分 (2) 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得，，结合为的平分线，，进而证得平分； （2）由平分，平分，可证得，利用三角形内角和定理即可解得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，平分，即， ∵平分，即， 又∵， ∴， 在中，， ∴． 28．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 【答案】(1) (2) 证明：过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可． （2）根据平行线性质计算即可． （3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， 如图， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴． ▌知识点08：三角形边、角、重要线段的几何说理与证明 几何说理步骤： 1. 明确已知条件（如D是BC中点、∠C＝90°）； 2. 调用相关性质（中线平分对边、直角三角形两锐角互余）； 3. 规范书写：先写“∵…”，再写“∴…”，每一步需有依据（如“∵D是BC中点，∴BD＝DC”）。 示例：已知Rt△ABC中∠C＝90°，D为AB中点，求证CD＝AB。 证明：延长CD至E使DE＝CD，连接AE、BE，证四边形ACBE为矩形（或证△ADC≌△BDE），得AB＝CE，故CD＝CE＝AB。 29．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，点D，E，F分别是的边，，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2)证明：， 又，， ∴， 解得：， ， ． 【分析】（1）由平行线的性质进行证明即可； （2）由三角形内角和定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 30．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在中，点D、E、F分别在线段上，连接和． (1)如图1，若，求证：． (2)把下列解题过程补充完整，并在括号内填写相应的依据． 如图2，，垂足为F，且， 求证： 证明：∵（已知） ∴（_ ）， ∴（_ ）， ∵（已知）， ∴（_）； ∴（_）． ∴_（_ ）． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2)垂线的定义；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】（1）根据三角形外角的性质和角的和差关系证明即可； （2）根据平行线的性质与判定定理，直角三角形的性质和余角的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 31．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 32．（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则，，之间的数量关系是． 【答案】(1)证明：如图1中，过E作． ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3)或． 【分析】（1）如图1中，过E作．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ； （3）解：如图，设交于． 当点N在内部时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ． 当点在直线的下方时， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上所述：或． ▌知识点09：三角形与实际问题、方案设计的综合 实际应用： 1. 测量问题：利用三角形三边关系估算不可达距离（如湖宽、河宽），利用稳定性设计固定结构； 2. 方案设计：用给定长度的木条围三角形框架，判断能否围成及可能的边长组合； 3. 优化问题：在周长一定的条件下，设计面积最大的三角形（等腰三角形）。 解题关键：将实际问题转化为三角形模型，结合三边关系、面积公式等求解，注意结果的合理性（如边长为正整数）。 33．（2025·福建泉州·模拟预测）【问题情境】 如图1，学校有一块三角形空地是学生的生活实践用地，其中，米，米，米．点在边上，点在边上，米，米，在范围内种植西红柿． 思考探究： (1)种植西红柿的面积为______平方米． (2)方案设计： 现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米（C为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植西红柿的面积相同． ①小兰认为可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案． 如图2，在边上选取一点G，在边上选取点H，当时，即可使种植玉米的面积与种植西红柿的面积相同，求此时的长． ②小敏认为还有其他全等情况也可以符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中的长为______米．（点G在边上，点H在边上） (3)小琦认为还有别的方案，请你帮小琦设计出一种符合要求的方案，画出你的设计草图，并说明理由．（写出一种方案即可） 【答案】(1)6 (2)①1米；②6 (3) 设计方案为：如图3，选取的中点P，连接，选取的中点Q，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地； 理由是：，米，米， （平方米）， ∵P是的中点， （平方米）， ∵Q是的中点， （平方米）， ， ∴此方案符合条件． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可； （2）①当时，米，进而可求出的长；②当时，米，进而可求出的长； （3）根据三角形的中线平分三角形的面积设计方案，并根据此性质说明理由即可． 【详解】（1）解：，米，米， ∴种植西红柿的面积（平方米）； 故答案为：6； （2）解：①， 米， （米）； ②当时，则米， （米）； 故答案为：6； （3）略 34．（25-26七年级下·山西长治·期末）为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持： (1)如图1，在中，，，平分，平分，两条角平分线交于点P，求的度数； (2)如图2，在中，和的外角平分线相交于点D，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出相关角的度数，然后利用三角形内角和定理求解； （2）根据三角形内角和定理得出，利用角平分线得出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：∵，，平分，平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵和的外角平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴． 35．（25-26七年级下·福建泉州·期末）光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 如图2，小明画出了汽车驾驶室与右侧后视镜的示意图，汽车驾驶室用长方形表示，司机位于车内左前方的点处，，右侧后视镜用线段表示，后视镜与形成的可在和之间调节，即，司机观察车右侧后视镜的视角的度数为，点为线段上一点，且点为入射点，反射光线为，我们把称为司机观察车右侧的“可见视野”． (1)若，则________； (2)若，求图2中入射角的度数； (3)能否调节的度数，使得“可见视野”等于？若能，求出的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)70 (2) (3)解：不能，理由如下： 若，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴不能调节的度数，使得“可见视野”等于． 【分析】（1）根据反射角等于入射角解答即可； （2）先求出，则可得的度数，再根据垂直的定义求解即可； （3）先求出，则可得，再求出的度数，然后求出的度数，结合的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：由反射角等于入射角可知，． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：略． 36．（25-26六年级下·山东威海·期中）骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面上的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】根据已知易得，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【详解】解：厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为底边长时，两腰长均为6， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形周长为； ②当3为腰长时，底边长为6， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 因此三角形的周长为15． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系可得：， 即， 则只有选项A符合． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，为休闲公园，拟从顶点向路边修一条小路，使两块绿地和的面积相等，供老年人分区休憩聊天，则小路是的（     ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵从顶点向路边修一条小路，使两块绿地和的面积相等， ∴小路是的中线． 5．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得当时，线段最短，如图， ， ，，， ， ． 6．（25-26七年级下·河北承德·期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①三角形的中线、角平分线、高线都是直线 ②任意一个三角形的内角和都是 ③三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形 ④三角形的一个外角一定大于它的内角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的基础概念，只需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可，用到三角形相关定义、内角和定理、分类标准和外角性质等初中知识点． 【详解】解：逐个判断说法正误： ①三角形的中线、角平分线、高线都是线段，不是直线，故①错误； ②根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和都是，故②正确； ③三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等边三角形是按边分类的结果，故③错误； ④当三角形的内角为钝角或直角时，它对应的外角不大于该内角，故④错误； ∴正确的说法只有1个． 7．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 8．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 二、填空题 9．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则________． 【答案】 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 【详解】解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 10．（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）在中，，在中，，两个三角形如图所示放置，使点与点重合，且边与边重合．现将绕点逆时针旋转，使得边与边相交于点．则在旋转过程中，当边恰好与边平行时，的度数为______． 【答案】/30度 【分析】先画出图形，再根据平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，， ∵ ∴ ∵ ∴． 11．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解． 【详解】已知等腰中，，且． 若是顶角，则，所以，符合； 若是底角，当是顶角时，，所以，符合； 当是顶角时，，与矛盾，故舍去． 综上，的度数为或． 12．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知等腰三角形的周长是，如果其中一条边长为，那么底边长为_______． 【答案】 【分析】分两种情况：当底边长为时，当腰长为时，并结合三角形三边关系判断即可得出结果． 【详解】解：∵等腰三角形的周长是，其中一条边长为， ∴当底边长为时，腰长为，此时三边长分别为，，，由可得满足三角形三边关系，符合题意； 当腰长为时，底边长为，此时三边长分别为，，，由可得不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，那么底边长为． 13．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先根据和化简，得到与的关系式，再利用三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：，， ， ， ， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，可得，代入已知条件得，整理得， 拆分为不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 验证： ， ，恒成立， 因此， 代入， 可得． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，此时即为边上的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据“垂线段最短”可知，当点与点重合时，线段的长度最小，最小值为的长， ，， ， ，解得 线段的最小长度为． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 【答案】80 【分析】根据三角形外角的性质得到，再由邻补角互补可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 三、解答题 17．（26-27八年级上·全国·开学考试）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 18．（25-26七年级下·吉林松原·期末）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数． (1)小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：过点作 （_____________________________） __________ __________ (2)【问题迁移】如图2，已知，点，，是线段，内部三点，请直接写出，，，，之间的数量关系； (3)【联想拓展】如图3，已知，若点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；； (2) (3)解：，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ， ． 又， ． 【分析】（1）利用平行线的性质和角的等量代换求解； （2）分别过点作，利用两直线平行，内错角相等和角的等量代换求解； （3）过点作，利用平行线的性质与三角形的外角等于不相邻的两内角之和求解． 【详解】（1）解：过点作， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， ； （2）解：如图所示，分别过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ， ∴， 即． （3）解：见答案 19．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点，．在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． (1)求的度数； 解：（已知）， __________． （__________）， （已知）， ___________________（等量代换）． (2)求的度数． 解：， （__________）． （已知）， ___________________（等量代换）． 【答案】(1)；三角形外角等于不相邻两内角和；；； (2)等式性质；；； 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据三角形外角等于不相邻两内角和得到，即可求解； （2）根据三角形外角等于不相邻两内角和得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)①；② 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； （2）略 （3）解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学)八年级上册课时同步训川练 第十三章三角形全章综合训练 课时目标 系统梳理三角形的概念、分类、边角关系及重要线段的核心知识，形成完整的知识网 络，能准确辨析易混概念与易错点。 2. 能综合运用三边关系、内角和定理、外角性质及直角三角形特性解决复杂的几何计算 与证明问题，规范几何说理与证明的书写格式。 3 能运用三角形相关知识解决等腰三角形分类讨论、边长取值范围、实际测量与方案设 计等综合问题，提升几何直观与逻辑推理能力。 课时目录 知识点O1:三角形概念与分类的综合辨析 知识点02：三边关系与边长取值范围的综合应用 知识点03：等腰三角形边长分类讨论综合 知识点04：三角形重要线段的综合识别与面积计算 知识点05：三角形内角和与角关系的综合计算 知识点06：直角三角形性质的综合应用 1/19 知识点07：内角与外角的综合求角 知识点08：三角形边、角、重要线段的几何说理与证明 知识点O9:三角形与实际问题、方案设计的综合 知识点01：三角形概念与分类的综合辨析 综合辨析需关注： 定义三要素：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接； 分类标准：按角分（锐角、直角、钝角三角形），按边分（不等边、等腰、等边三角 形)，注意等边三角形是特殊的等腰三角形，二者为从属关系而非并列； 核心要素：边（三边关系）、角（内角和180°）、顶点，能从图形中准确识别各要素。 ·(25-26八年级上四川凉山期末)观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是() 2.(25-26八年级下·上海期中)在平面直角坐标系中，有 D(0,3)E(0,-2)F(6-2）,则aDEF是 () A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3。(256七年级下全国课后作业)若A1C的三边长a,b,c满足a-b+b-=0,则4M8C的形状 是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.无法确定 4.(25-26八年级上安徽合肥·期末)如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你 能判断它是什么三角形吗？你的判断是() 2/19 A,锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D,以上都有可能 知识点02：三边关系与边长取值范围的综合应里 核心应用： 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边： 已知两边求第三边范围：若两边长为、n(m≥n)，则第三边x满足一n<x<十： 实际应用：判断三条线段能否构成三角形（只需验证较短两边之和大于最长边），解决围 栏、路径设计等长度约束问题。 注意：求周长时需先确定符合条件的边长组合。 5.(25-26七年级下·河北期末)有两根木棒长分别为4cm、6cm,要选第三根木棒与它们围成三角形， 则第三根木棒的长可能为() A.2cm B.9cm C.10cm D.11cm 6.(25-26七年级下广东佛山期末)三角形一边长为2，另一边长为6，它的第三边的长可能是() A.1 B.3 C.7 D.11 7(25-26七年级下河北承德期末)已知a,b,c是△MBC的=边长，且4，b满足la-3+(b-5=0 则c的值不可能是() A.3 B.5 C.7 D.11 8 (25-26七年级下·宁夏银川期末)己知三角形的三边长分别为1,4,4，则化 a-2+a-6的结果 为一 知识点03：等腰三角形边长分类过论综台 等腰三角形存在“腰”和“底”的不确定性，需分两类讨论且每类结果必须检验： 若已知边为腰长，则另一腰长等于已知边，底边长为周长减去两倍腰长，检验是否满足 “两腰之和大于底边”； 若已知边为底边长，则腰长为（周长一底边长）÷2，检验是否满足“腰长十底边长>腰 3/19 长”。 易错点：忽略检验导致出现“三边为3、3、6”等无效组合。 .(25-26八年级上·河南周口阶段检测)若等腰三角形的一个腰长为5cm,底边长为6cm,则它的周长 为() A.16cm B 17cm C.18cm D.16cm或17cm 10.(25-26七年级下·上海闵行期末)己知等腰三角形的底边和腰长分别为12cm和15cm,那么这个三 角形的周长为 cm 11.(25-26七年级下·福建泉州期末)如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为 12.(25-26七年级下·辽宁大连期末)用一条长为24cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长 的2倍，求这个等腰三角形各边的长度， 知识点04：三鱼形重要线段的综合识别与面积计算 综合识别： 中线：连接顶点与对边中点，平分对边，且分三角形为面积相等的两部分(SABD= SAACD): 角平分线：平分内角，角平分线上的点到角两边距离相等； 高：垂直于对边，位置因三角形类型而异（锐角三角形在内部，直角三角形两高为直角 边，钝角三角形一条高在内部)。 面积计算：利用中线性质快速求面积（如重心分中线为2：1，分三角形面积为1：2：3），结 合底和高的长度计算。 13.(25-26七年级下辽宁本溪期末)如图，五边形ABCDE各边中点分别为M,N,P,Q,R,连接 MR NR PR OR ABCDE ,图中阴影部分的总面积是15，则五边形 的面积是() R 4/19 A.5 B.8 C.30 D.45 14.(25-26七年级下河北邢台期末)如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BCAD、CE中点，若 △DEF面积为1，则△ABC面积为() 9 A.5 B.6 C.7 D.8 15.(25-26七年级下山西临汾期末)如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC,垂 足为点R,若5=48，BD=6,则F= 16.(25-26七年级下山东烟台期末)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB边上的点且 AB=号4B,连接DE·若。ADE的面积为L,则四边形BCDE的面积为 31 ■知识点05：三角形纳角和与角关系的综合计算 综合计算： 内角和定理：∠A+∠B+∠C=180°，直角三角形两锐角互余（∠A十∠B=90°）； 角关系转化：已知倍分（∠A=2LB)、和差（∠A十∠B=∠C)关系时，列方程求解； 与外角联动：利用外角等于不相邻两内角和，结合内角和定理求未知角。 5/19 示例：在△ABC中，∠A=2LB=3∠C,求∠A。 解：设∠C=x,则∠A=3x,∠B=1.5x,3x十1.5x十x=180°，x≈32.8°，∠A≈98.1°。 17.(25-26七年级下广东汕头期末)一副直角三角尺叠放如图所示，现将含45°的三角尺ADE固定不动， 将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动 (0<a<180) ,使两块三角尺至少有一组边互相平行， 则a的可能取值为() 山山山 D B A A.15或45B.45或135 C.60或105 D.以上都有可能 18.(25-26八年级下·广东深圳期末)如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC,CF⊥BE交AD于点F,若 ∠EBC=25°，则∠DCF的度数为() E D A.45° B.55° C.65° D.75 19.(25-26八年级下·广东深圳期末)已知△ABC是等腰三角形，顶角∠A=80°，则底角∠B=」 20.(25-26八年级上福建莆田阶段检测)在△ABC中，已知∠B=60°，∠C=∠A+30°，求∠A的度数. 知识点06：直鱼三鱼形性质与斜边中线的综合应里 综合应用： 性质：两锐角互余； 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形： 计算：结合互余关系求锐角度数。 注意：斜边中线性质是直角三角形的专属性质，使用时需先确认三角形为直角三角形。 21.(25-26七年级下四川乐山期末)如图，△ABC中，AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D.若∠B=36°」 ∠C=72°，则∠DAE的度数为() 6/19 E D A.9° B.18° C.27 D.36° 22.(2026山西长治三模)日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些.如图，眼睛看到的 点'实际是在更深处的池底点A处（点A,A,0在一条竖直直线上），若∠I=132°，则∠2的度数为 () 眼睛 B人 空气 -D A.48° B.46 C.44° D.42° 23.(2026四川凉山中考真题)如图，AD∥CB,CA1BA,若∠C=30°，则∠DAB=() D A.40° B.60° C.70° D.150° 24.(25-26七年级下江苏南京期末)如图，在直角三角形ABC与直角三角形ACE中，∠B=50°， ∠BCD比∠ACE大20°，则LEAD= B 知识点07：内鱼与外角的综合求鱼 综合应用： 7/19 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个不相邻的 内角： 外角和定理：三角形外角和等于360°： 联动求角：己知内角和外角的关系（如外角是内角的2倍），列方程求解： 复杂图形：在折线、转角问题中，通过构造外角将分散的内角转化为外角关系求和。 示例：求五角星的一个尖角（∠A十∠B十∠C+∠D十∠E),利用外角性质转化为两个三 角形的内角和减去一个平角。 25.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，△ABC的角平分线BD、CE交于点0.若∠A=80°，则 ∠BOE的大小为度. E B 26.(25-26七年级下·河北承德期末)如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC 的中线. I)若∠BAC=100°，∠ACB=60°，求∠AEC的度数： (2)若BC=9,AD=4,求△BAF的面积. 27.(25-26七年级下·河北石家庄期末)如图，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的平分线， CD在∠ACE的内部，与BD交于点D,∠A=2∠D. 图1 图2 )判断CD是否平分∠ACE,并说明理由； (2)如图2，∠ACB的平分线C0交BD于点O,∠D=48°，求∠D0C的度数. 8/19 28.(25-26七年级下河北邯郸期末)如图，己知直线MWlP吧，点B为直线P№上一定点，点C为直线 MN上的一个动点，连接BC.在直线MN、PO之间找点A使∠ABC=90°，∠ACB=30°，设 ∠ABP=a∠ACM=B M C C M P B (1)当a=40°时，求B的度数. (2)a与B有怎样的数量关系？并给出证明.」 3)设∠CAB的角平分线AE与MN交于点E,当∠AEM=20°时，求a. 知识点08：三角形边，角、重要线段的几何说理与证明 几何说理步骤： 明确己知条件（如D是BC中点、∠C=90°）： 调用相关性质（中线平分对边、直角三角形两锐角互余）； 规范书写：先写“…”，再写“…”，每一步需有依据（如“，D是BC中点，BD =DC”)。 1 示例：已知Rt△ABC中∠C=90°，D为AB中点，求证CD=2AB。 证明：延长CD至E使DE=CD,连接AE、BE,证四边形ACBE为矩形（或证 11 △ADC△BDE),得AB=CE,故CD=2CE=2AB。 9/19 29.(25-26七年级下四川泸州期中)如图，点D,E,F分别是△ABC的边BC,AC,AB上的点， DF∥AC DEI AB 且 A (I)求证：∠A=∠FDE; 2)若∠A=3∠B,∠C=∠B+30°，求证：AB1AC. 30.(25-26八年级下辽宁大连期末)在△ABC中，点D、E、F分别在线段AC、BCBD上，连接 BD,DE EF 和 D D H B 图1 图2 I)如图1，若∠DEF=∠C,求证：∠BEF=∠CDE (2)把下列解题过程补充完整，并在括号内填写相应的依据 如图2，EF⊥BD,垂足为F,且∠ABD+∠DEF=90°， 求证：∠ABE+∠DEB=180° 证明：，EF⊥BD(已知) ∠EFD=90°()， ∠DEF+∠EDF=90°(_)， :∠ABD+LDEF=90°（已知）， 10119 .∠ABD=∠BDE(_): :DE AB () .∠BED+-=180°(-). 31.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，AD,AF分别是△ABC的中线和高，CE平分∠ACD交AD 于点E. (I)若∠CED=49°，∠CAF=56°，求∠ADC的度数： 2)若DE:AE=3:4,△ABD的面积是42，求△ACE的面积. 32.(25-26七年级下四川达州期末)已知alb,点A,B在直线a上，点C,D在直线b上，且 AD⊥BC于E. B D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠ABC+∠ADC=90°： 2)如图2，BF平分∠ABC交AD于点P,DG平分∠ADC交BC于点G,求∠AFB+∠CGD的度数： B)如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI,N为∠IPB的角平分线上一点，且 ∠NCD)∠BCN,则∠CP:∠Pv:∠CNP之同的数量关系是. 知识点09：三角形与实际问题、方秦设计的综合 实际应用： 测量问题：利用三角形三边关系估算不可达距离（如湖宽、河宽），利用稳定性设计固定 结构： 方案设计：用给定长度的木条围三角形框架，判断能否围成及可能的边长组合； 11/19 优化问题：在周长一定的条件下，设计面积最大的三角形（等腰三角形）。 解题关键：将实际问题转化为三角形模型，结合三边关系、面积公式等求解，注意结果的 合理性（如边长为正整数）。 33.(2025福建泉州模拟预测)【问题情境】 如图1，学校有一块三角形空地是学生的生活实践用地，其中∠B=90°，AB=6米，BC=8米， AC=10米.点D在边AB上，点E在边BC上，BD=4米，BE=3米，在△BED范围内种植西红柿. A A E B EG 图1 图2 思考探究： (1)种植西红柿的面积为平方米. (2)方案设计： 现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米(C为种植玉米三角形空地的一个顶点)，其面 积与种植西红柿的面积相同 ①小兰认为可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案. 如图2，在边BC上选取一点G,在边AC上选取点H,当△HGC≌△EBD时，即可使种植玉米的面积 与种植西红柿的面积相同，求此时EG的长， ②小敏认为还有其他全等情况也可以符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中AH的长 为米.（点G在边BC上，点H在边AC上） )小琦认为还有别的方案，请你帮小琦设计出一种符合要求的方案，画出你的设计草图，并说明理由. (写出一种方案即可) 34.(25-26七年级下·山西长治期末)为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形 休闲广场△ABC上进行景观升级.设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与 外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局.请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提 供数据支持： 12119 B D (1) (2) (I)如图1，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB，,两条角平分线 交于点P,求∠BPC的度数； (②)如图2，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D,若∠BDC=40°，求∠A的度数. 35,(25-26七年级下·福建泉州期末)光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等 于入射角，且法线与平面镜垂直，垂足为入射点)· 法线 入射光线 反射光线 M B H 入射角返射角 法线 入射点 平面镜 图1 图2 如图2，小明画出了汽车驾驶室与右侧后视镜的示意图，汽车驾驶室用长方形ABCD表示，司机位于 车内左前方的点O处，OM∥BC,右侧后视镜用线段BE表示，后视镜BE与BC形成的∠CBE可在 70°和80°之间调节，即70°≤∠CBE≤80°，司机观察车右侧后视镜的视角∠M0H的度数为80°，点H 为线段BE上一点，且点H为入射点，反射光线为HF,我们把∠OHF称为司机观察车右侧的“可见 视野”. (1)若∠OHG=70°，则∠GHF= (2)若∠CBE=75°，求图2中入射角∠0HG的度数： B)能否调节∠CBE的度数，使得“可见视野”∠OHF等于150°？若能，求出∠CBE的度数；若不能， 请说明理由。 36.(25-26六年级下·山东威海·期中)骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放 在水平地面上的简易示意图，其中A,B,D,C,M五点均在同一平面内，AB,CD都与地面平行， ∠BCD=60°，∠BAC=52°.当AM与BC平行时，∠MAC的度数为多少？ 13119 D 全章训练 一、选择题 1.(25-26七年级下·河南南阳·期末)如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理 是() A.两点之间，线段最短 B.三角形任意两边之和大于第三边 C.垂线段最短 D.三角形具有稳定性 2.(25-26八年级下·广东深圳期末)已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是() A.12 B.15 C.9 D.6 3.(25-26七年级下·广东深圳期末)三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是() A.3 B.6 C.9 D.12 4.(25-26七年级下·河南南阳期末)如图，△ABC为休闲公园，拟从顶点A向路边BC修一条小路AD, 使两块绿地△ABD和△ADC的面积相等，供老年人分区休憩聊天，则小路AD是△ABC的() D A.高 B.角平分线 C.中线 D.不能确定 5.(25-26七年级下·河北秦皇岛期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5,BC=12, 点D是线段AB上的一个动点，则线段CD的最小值为() 14119 B 60 A.3 B.4 C.5 D.13 6.(25-26七年级下·河北承德期末)下列说法中正确的个数是() ①三角形的中线、角平分线、高线都是直线 ②任意一个三角形的内角和都是180° ③三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形 ④三角形的一个外角一定大于它的内角 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(25-26六年级下山东烟台期末)如图，直线CF∥DE,∠ACB=90°，∠A=30°.若∠1=16°，则 ∠2等于() A.44° B.40 C.38 D.34° 8.(25-26八年级上·浙江金华期末)如图，在△ABC中，∠C=70°，F在AB延长线上，∠CAB的角平 分线与∠CBF的角平分线交于点E,则∠E的度数为() C B A.30 B.35 C.40° D.45° 二、填空题 9.(25-26七年级下·上海金山期末)在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:6,则∠C-∠B= 10.(25-26七年级下·云南昭通阶段检测)在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，在△DEF中， 15119 ∠E=45°，∠DFE=90° AC DF 两个三角形如图所示放置，使点与点重合，且边与边重合.现将 △DEF绕点C逆时针旋转，使得边DF与边AB相交于点G,则在旋转过程中，当边EF恰好与边AB 平行时，∠ACG的度数为一 E C(F) D 11.(2026上海中考真题)在等腰三角形ABC(∠A≠∠B)中，∠A=80°，则∠B的度数为 12.(25-26七年级下·上海普陀·期末)已知等腰三角形的周长是16cm,如果其中一条边长为4cm,那么 底边长为cm. 1A.(256人午级上招定商日阶段检测)已如，a:6:c是AM®C的三条动长，记-（侣）+，共 中k为整数.若k=1,a=。b+2,c=1,则t的取值范围为 2 14,(25-26七年级下陕西威阳期末)如图，在△M8C中，点、C在直线上，且BC=2,-3 若动点P在直线！上，连接AP,则线段AP的最小长度为 15.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若∠3=100°，则 ∠2-∠1=°. 图① 图② 16.(25-26七年级下甘肃白银期中)如图，在△ABC中，已知∠A=60°，点O为△ABC内一点，且 16119 ∠B0C=140.其中B0平分∠MB0,C0平分∠4C0,B0.平分 AB0C0:平分 ∠ACO BO.平 AB0,C0.平 ∠ACOn ∠B0C=100°∠B02o2C= 分 ，…,以此类推，则 三、解答题 17.(26-27八年级上全国开学考试)已知△ABC的三边长为a,b,c,且a,b,c都是整数. (1)若a=2,b=5,且c为奇数，求△ABC的周长； ②)化简： a-c+b-b-c-a-a+b+c 18.(25-26七年级下·吉林松原期末)【问题解决】如图1，已知AB‖CD,∠PBA=36°，∠PDC=28°， 求∠BPD的度数. A A- --M >I D 图1 图2 图3 ()小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程。 解：过点P作PM∥AB .∠PBA=∠BPM=36°( AB∥CD .PMlI .∴.∠PDC= =28° .∠BPD=∠BPM+∠DPM=36°+28°=64° 2)【问题迁移】如图2，己知AB‖CD,点E,F,P是线段AB,CD内部三点，请直接写出B, 17119 ∠E,∠F,∠P,∠D之间的数量关系； B)【联想拓展】如图3，己知AB‖CD,若点P在AB的上方，则∠B,∠D,∠BPD之间有何数量关 系？并说明理由 19.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D,∠BCD=35° 在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）· E B D A (I)求∠EBC的度数； 解：·CD⊥AB(已知)， ∴.∠CDB= :∠EBC=∠CDB+∠BCD( ∠BCD=35°（已知）， ∴.∠EBC= 0+35°= ·(等量代换)· (2)求∠A的度数， 解：：∠EBC=∠A+∠ACB, .∠A=∠EBC-∠ACB( :∠ACB=90°（已知）， ∠A= 0-90°= 。(等量代换)· 20.(25-26七年级下·北京期末)已知点C在线段BD上，点A和点E在线段BD同侧，且 ∠B=∠D=∠ACE=a. 18119 图1 图2 图3 (1)若a=90°： ①如图1，∠A=70°，则∠ECD= ； ②如图2，分别作∠BAC、∠CED的角平分线并交于点P,则∠APE= (2)当点E在线段AD上时，求证：∠BAC=∠DCE.请在图3中完成下列证明过程： 证明：∠DCA=∠BAC+∠ 、 又∠B=∠ACE. .∠BAC=∠DCE B)分别作∠BAC,∠CED的角平分线AF,EG: ①若AF∥EG,则a= °； ②若直线AF与直线EG交于点P,直接写出∠APE的度数（用含C的代数式表示）. 19119