第十四章全等三角形单元综合训练 2026-2027学年人教版八年级上册

**基本信息** 以全等三角形判定与性质为核心，通过基础应用、综合证明及实际问题，系统构建“判定-性质-迁移”的解题方法体系，强化几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定与性质|选择1-6、填空13-15|SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定，对应边/角相等性质|从概念到判定定理推导，再到性质直接应用| |性质应用与计算|选择7-12、填空16-18|折叠转化、角平分线性质、中线性质|结合几何直观，将性质与图形变换、角度计算融合| |综合证明与探究|解答19-21、23-24|辅助线添加（截长补短、对称）、全等构造|从简单证明到复杂探究，培养推理能力与创新意识| |实际应用与作图|解答22|全等建模（中点构造全等）、尺规作图|联系现实问题，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

第十四章全等三角形单元训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，是的中线，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，交于点E，若，，则中线的长是（   ） A．12 B．7 C．13 D．10 2．下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，已知，再添加一个条件使，以下条件不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，若，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 6．如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 8．如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．5 11．如图，的延长线分别交于点，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是______． 14．如图，中，平分，于点，交于点，如果，，那么________．    15．如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是________． 16．如图，在中，是的平分线，是的边上的中线，如果的面积是，则的面积是___________． 17．如图，在中，，，，则________． 18．如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为和，那么______________．（用的代数式表示） 三、解答题 19．如图所示，已知在中，平分，于点E，，交于点F，若，求的长． 20．如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 21．用尺规作图．如图，以点B为顶点，射线为一边，在外再作一个角，使其等于． 22．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小圣想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，小圣测得C，D之间的距离为，请你帮小圣求出锥形瓶底面的内径的长． 23．如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 24．如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十四章全等三角形单元训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C C A B C C 题号 11 12 答案 C D 1．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，根据线段的和差关系可得的长，再求出的长，进而可求出中线的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了全等直角三角形的判定， 根据直角三角形全等的判定定理逐个解答即可． 【详解】解：因为两个锐角对应相等，没有边的参与，这两个三角形不全等，所以①不符合题意； 因为两条直角边对应相等，根据“边角边”可知这两个直角三角形全等，所以②符合题意； 因为斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可知这两个直角三角形全等，所以③符合题意； 因为一锐角和斜边对应相等，根据“角角边”可知这两个直角三角形全等，所以④符合题意； 因为一锐角和一直角边对应相等，根据“角角边或角边角”可知这两个直角三角形全等，所以⑤符合题意． 所以符合题意的有4个． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查的是添加条件判定全等三角形，根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， A．当时，利用可以判定； B．当时，利用可以判定； C．当时，不可以判定； D．当时，利用可以判定； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 所以不是的平分线； ∵， ∴， ∴． 则A，B，D正确，C不正确． 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 7．A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，由折叠的性质得到，，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据，求出，再根据三角形全等证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，由题意得出点到两边的距离相等，从而得出射线是的角平分线，即，求出，即可得出答案，熟练掌握角平分线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：于点，且，到射线的最小距离为4， 点到两边的距离相等， 射线是的角平分线， ， ， ， ， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与图形性质，角平分线等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短路径问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 11．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角和定理的运用，根据三角形全等的性质可得，根据三角形的外角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是，的外角， ∴， ∴， 故选：C． 12．D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义，等腰三角形的性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 由题意得：平分，所以，再结合，得，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后用平角的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 13．14 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴； 故答案为：14． 14．4 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 首先得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：4． 15． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，通过证明三角形全等得到对应角相等，再根据直角三角形的性质以及角之间的关系求出的度数即可. 【详解】解：， 是直角三角形 在和中 又 故答案为： ． 16．10 【分析】根据角平分线的性质作辅助线，，得出，再由三角形的面积先求出，然后再根据三角形的中线的性质即可解决本题． 【详解】解：如图所示，过点D作于点M，于点N， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角平分线上的点到角的两边的距离相等． 17． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等，则腰上的高相等，分两种情况讨论：这两个三角形都是锐角或钝角三角形；两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，分别求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等， ∴腰上的高相等， 可分两种情况讨论： ①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，如下图， 则有，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ， 即有； 此时两个等腰三角形全等，不符合题意； ②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，如下图， 则有，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 此时两个等腰三角形不全等，符合题意． 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，等角对等边的性质，首先由角平分线的性质得出，再由平行线的性质得出，再由已知条件得出，再由等角对等边得出，进而求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质， （1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论； （2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度． 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图， ，，， ， ， ． ，， ． ，， ， ， ． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， ． ，， ， ， ∵， ∴， ． 21． 解：如图所示，即为所求； 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交于E、F，再以F为圆心，以的长为半径交圆B于点G，作射线，则即为所求． 【详解】略 22．锥形瓶内部底面的内径的长是 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．根据定理和全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意，得，． ∵与是对顶角， ∴． ∴． ∴． 即锥形瓶内部底面的内径的长是． 23．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意可证，得到，即可得到结论． 【详解】证明：是的中点， ， ，， ， 在和中，   ， ， 平分． 24．10 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 如图，作于，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $