13.3.2 三角形的外角 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 该同步练习以“三角形的外角”8个知识点为核心，构建“基础认知-性质应用-综合拓展”三阶分层，通过定义辨析、性质推理及生活情境问题，培养几何直观与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|外角定义、总数、外角和定理|以选择填空题为主，如外角定义辨析题，强化概念理解| |性质应用|外角性质1、2及角度计算|结合角平分线、折叠等情境，如性质1的角度计算题，培养推理意识| |综合拓展|转角/折线问题、内外角联动|联系手推车、潜望镜等生活实际，设计多步推理解答题，发展应用意识|

2026-2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训川练 第十三章三角形 13.3.2三角形的外角 课时目标 1. 理解三角形外角的定义，明确外角与内角的关系，掌握三角形外角和定理及外角性质， 能准确表述相关结论。 2.能熟练运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一性质进行角度 计算，规范几何推理的书写格式。 3. 能运用外角性质解决转角问题、折线问题及内角外角联动的求角问题，提升几何直观 与逻辑推理能力。 课时目录 知识点01：三角形外角的定义 知识点02：三角形外角的总数 知识点03：三角形外角和定理 知识点04：三角形外角性质1 知识点05：三角形外角性质2 1/17 知识点06：利用外角性质求角度 知识点07：转角问题、折线问题中的外角应用 知识点08：内角与外角联合同步求角 知识点01：三角形外角的定义 三角形的一边与一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 几何表示：在△ABC中，延长BC至D,则∠ACD是△ABC的一个外角。一个外角与相邻 的内角互为邻补角（和为180°），且外角与相邻内角共用一条边（如∠ACD与∠ACB共 用边AC)。 1.(25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，延长BC至点D,若∠A=48°，∠B=53° 则∠ACD的度数为() D A.91° B.101° C.136 D.126° 2.(25-26七年级下·四川达州期末)如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，F是AE延长线上一点， 且FD⊥BC于点D,∠B=28°，∠F=18°，则∠BAC=() A.88° B.85 C659 D.72° 3.(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知BC∥EF, ∠A=20°，∠ADE=70°.则∠C的度数为() 2/17 A.30° B.45 C.50° D.55 4.(25-26七年级下河北承德期末)如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F, ∠DFE=120°，∠ACB=80°，则∠BDC的度数为() D B A.100° B.95° C.90° D.85° 知识点02：三角形外角的总数 每个三角形有6个外角，每个项点处各有2个外角（互为对顶角）。 在研究和应用时，通常每个项点只取1个外角（即每个顶点处取一个与内角不相邻的外 角)，此时一个三角形共有3个外角（每个顶点各1个）。 5.(25-26七年级下河南周口·期未)如图，两个直角三角板的直角顶点A,D分别在斜边EF,BC上， 且EF∥BC,∠F=30°，∠C=45°，则∠1的度数是() E A D A.60° B.75° C.90° D.95 6.(25-26七年级下·河南周口·期末)如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△AB'C,且点B刚好落在AB 上.若∠A=30°，∠BCA=40°，则∠ABA等于() 3/17 B A.35 B.40° C.95° D.65° 7.(25-26八年级下陕西咸阳期未)一副三角板按如图所示位置放置，己知∠A=∠DFE=90°，∠B=45°， ∠D=30°，则∠AGE的度数是() D B A.100° B.105 C.95° D.110° 8.(25-26七年级下·浙江杭州期末)如图，己知MN∥P№，点B在直线MN上，点C在直线P№上，点A 在直线MN上方，点E在DB的延长线上.若∠ABD:∠DBN=4:l,∠ACE:LECP=4:I,∠A=a,则 ∠E=() D M C A.a B.36°+ C.90°-a D.144°-4 知识点03：三角形外角和定理 三角形的外角和等于360°。 推导：在△ABC中，取三个外角∠1、∠2、∠3（分别对应顶点A、B、C),则∠1=180° -∠A,∠2=180°-∠B,∠3=180°-∠C,故∠1+∠2+∠3=3×180°-（∠A+∠B+ ∠C)=540°-180°=360°。 注意：外角和是针对每个顶点取一个外角而言的，若取6个外角，则总和为720°。 4/17 9.(25-26七年级下河南周口期末)如图所示，已知∠A=28°，∠BCD=60°，则∠B的度数为() D A.32° B.42° C.53° D.64° 10.(25-26七年级下山东菏泽期末)用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A,B在直线上， ∠CAD=∠EBF=90°∠C=45°∠F=30°A E D F CDAB ,点， ，在同一条直线上，当 时，则 ∠ABE的度数为() A.5° B.10 C.15o D.20° 11.(25-26八年级下四川成都期末)如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分 线，则∠ADB的度数是() A.80° B.92 C102° D.112° 12.(25-26七年级下·山东烟台期末)如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的 两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°. 当AD∥BC时，∠ADE的大小为() 5/17 A.15° B.20° C.25° D.35° 知识点04：三角形外角性质1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 几何表示：在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD=∠A十∠B。 推导依据：三角形内角和为180°（∠A十∠B+∠ACB=180),且∠ACD与∠ACB互为 邻补角（∠ACD+∠ACB=180°），故∠ACD=∠A十∠B。 该性质是外角最核心的应用，使用时需明确“不相邻的两个内角”。 13.(25-26七年级下河南周口期末)如图，在△ABC和△BDE中，AC与DE相交于点F.若∠B=90°， ∠A=20°，∠D=45°，则∠AEF+∠DCF的度数为() B E AF D A.230° B.240° C.245° D.250° 14.(25-26七年级下吉林期末)如图，∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分∠EAC,∠ABC, ∠ACF,有以下结论：①ADI‖BC;②∠ACB=∠ADB:③2∠ADB=∠ACB:④ ∠DCF=)(∠BAC+∠ACB).其中，正确的有 (填序号) D B 15.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，∠B=35°，AD平分△ABC的外角∠CAE交 BC的延长线于点D,若∠DAE=60°，则∠ACD的度数为 E >D C 16.(25-26七年级下·湖南益阳期末)空竹在我国有悠久的历史，抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目， 6/17 被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”.在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出 数学问题：如图，AB川CD,∠E=24°，∠ECD=104°，则∠A=。. 图1 图2 知识点05：三角形外角性质2 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 几何表示：在△ABC中，∠ACD是外角，则∠ACD>∠A,∠ACD>∠B。 推导依据：由∠ACD=∠A十∠B,且∠A、∠B均为正数，故∠ACD必然大于∠A和 ∠B。 注意：该性质仅适用于“不相邻”的内角，外角与相邻内角是互补关系，不存在大小比 较。 17.(25-26七年级下河北承德期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，点D是△ABC边上的一 个动点，点E是边AB上一定点，连接DE.当DE与△ABC的边垂直时，∠AED的度数为 B 18.(25-26七年级下山东日照期末)如图，己知ABI‖CD,∠D=100°，EF平分∠BED,点G是CD上 的一个定点，点P是直线EF上的一个动点，设LEPG=a,∠PGD=B,则点P在运动过程中，a与 的关系可能是： 7/17 ①a-B=50°；②a+B=50°；③a+B=130°：④a-B=130°. E B 19.(25-26七年级下吉林长春期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D,点F是边 AC的中点，AE平分∠BAC分别交CD、CB于点G、点E,连接BF.给出下面四个结论：① SAABF SACBF AC·BC=AB·CD ；② :@∠HGC>∠4EB:0<BcD=2ZB 。上述结论中，正确结 论的序号有」 C E G D B 20.(25-26七年级下·湖南衡阳期末)如图，己知△ABC的内角∠A=a,分别作内角∠ABC与外角 ∠4CD的平分线，两条平分线交于点“：作 A.∠ABC∠ACD 和 的平分线交于点，，以此类推得到 点4，则 A0的大小为一· A B 知识点06：利田外角性质求鱼度 直接应用外角性质∠ACD=∠A+∠B进行角度计算，步骤： 识别目标外角及与它不相邻的两个内角； 代入已知角度，列方程求解未知角。 示例：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，求外角∠ACD的度数。 8/17 解：∠ACD=∠A十∠B=40°十60°=100°。若己知外角和不相邻的一个内角，可反求另 个内角，如∠ACD=110°，∠A=40°，则∠B=∠ACD-∠A=70°。 21.(25-26七年级下·黑龙江牡丹江期末)如图，AB‖CD,点Q、点E在AB上，点P、点F在CD上， ∠BEP=2∠EP ,点M在4B与D之间，连接M.M.EM与PO交于点G.且MPB,W 是∠MrC内部的一条射线，满足∠NC-AMC,已知M水/N,MH平分∠BMF·下列结论正 确的是() B G M N K H PD ①∠Er0:∠Pg:②∠B0P-4MK,®∠A0P-∠B0r-∠Am:Q 2∠EGP-5∠NFC=4∠HMK: A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 22.(25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)若平面内两个角∠A、∠B的两边一边互相平行，另一边互 相垂直，且∠A=55°，则∠B= 23.(25-26七年级下辽宁丹东期末)将一副三角板如图所示摆放，∠A=30°，∠D=45°，若三角板 ABC保持不动，将三角板DEF绕点B以每秒I0°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒0<1<I8),当 斜边DF与三角板ABC的一条边平行时，所有满足条件的t为. 秒 E 24.(25-26七年级下·山东聊城期末)某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第 三个内角的数量关系”进行了探究： 9/17 B M B 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,∠A=62°，则∠BPC= (2)如图2，△ABC的内角，∠ACB的平分线与△ABC的外角，∠ABD的平分线交于点E,其中 ∠A=58°，求∠BEC的度数： B)如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点O,其中∠A=a.求 ∠BOC= (用表示)； 知识点07：转角问题、折线问题中的外鱼应里 转角问题（如光线反射、行走路线）：利用“外角等于不相邻两内角和”转化角度关系。 示例：光线AO照射到平面镜OB上，反射光线为OC,∠AOB=30°，求反射角∠BOC。 解：入射角等于反射角，即∠AOB=∠BOC,而∠AOC是△AOB的外角，∠AOC= 1 ∠AOB+∠BOC=2∠BOC,故∠BOC=2∠AOC(需结合具体图形分析，此处为简化示 例)。 折线问题（如锯齿形折线）：通过作平行线或构造外角，将分散的内角转化为外角关系求 和。 25.(25-26八年级下·海南省直辖县级单位期末)如图是一款手推车的平面示意图，其中AB‖CD, ∠1=24°，∠2=104°，则∠3的度数为() 10117 A.138° B.128 C1089 D.100 26.(25-26八年级下·山东潍坊期末)如图，在四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC的延长线于点F, DE平分∠ADC交CB的延长线于点E,AF与DE交于点P,∠I与∠2互余，下列说法：①AB∥CD: ②AF⊥DE:③若∠ABE=100°，则∠2=40°：④若∠ABC=2∠E,则∠1=∠F,正确的是() E 2 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 27.(25-26七年级下湖南长沙期末)如图，己知，AB‖CD,∠A=20°，∠E=30°，则∠C的度数为 B D 28.(25-26七年级下·山东潍坊期末)图1是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以 及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，AB,CD代表两块平面镜摆放 的位置.镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线.ME是进入潜望镜的光线，它与入射 镜筒壁平行，与直管壁BG垂直，FN是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等 于反射角的原理，即∠1=∠2，∠3=∠4， 11/17 -M 入射镜筒 直管 反射镜筒D D 图1 图2 ()若AB‖CD,请判断ME与FN的位置关系，并说明理由： (②)若光线EF与直管壁BG平行，求∠GAB的度数： B)如图2，调整平面镜AB,CD的角度，设∠GAB=a(a>45°)，∠CDK=B,若在直管壁LC处 放置一块平面镜，当光线经过镜面E处反射后照射到直管右壁LC时，经平面镜上的点H处反射到平 面镜CD上的点F处，这样经过三次反射后，离开潜望镜的光线FW与入射光线ME的夹角为2O°，请 直接写出此时a与P的数量关系. 知识点08：内鱼与外角联给同步求鱼 结合三角形内角和定理（∠A十∠B十∠C=180)与外角性质（∠ACD=∠A十∠B)进行 联动计算。 常见题型： 己知两内角求外角： 己知外角和一个内角求另一个内角： 已知内角和外角的关系（如外角是内角的2倍），列方程求解。 示例：在△ABC中，∠ACD是外角，且∠ACD=2∠A,∠B=40°，求∠A。解：由 ∠ACD=∠A+∠B得2∠A=∠A+40°，解得∠A=40°。 29.(25-26八年级下山东烟台期末)一副三角板按图所示方式叠放，且AB∥DE,∠C=∠E=90° ∠A=60°，∠D=45°，则∠1的度数是() 12117 A.60° B.65 C.70° D.75° 30.(25-26六年级下山东烟台期末)如图，已知AB∥CD,点E在AB上，点F在AB和CD之间，点 H在CD下方，∠HEF=2LAEF;点G在CD上，点I在FG的延长线上，∠HGI=2∠DGI.设 ∠H=a,则∠F的度数用含的式子表示为 A 31,(25-26八年级下陕西渭南期末)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB边于点D,点F是AC边 上一点，延长CD至点E,连接EF交AB于点M,∠ADE=∠A+∠E」 I)求证：EF∥BC: (2)若∠AMF=∠ADE,∠A=60°，求∠B的度数. 32.(25-26七年级下河南南阳期末)在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点D在直线BC上（点D不与 端点B,C重合)· D D E 图① 图② 备用图 (I)如图①，当点D在线段BC上时，连接AD,作∠ADE=4O°，DE交线段AC于点E. ①若∠BDA=1I0°，则∠EDC=_°，∠BAD=: ②当点D在线段BC上运动时，试猜想∠BAD与∠EDC的数量关系，并说明理由： (②)如图②，当点D在CB的延长线上时，连接AD,作∠ADE=40°，DE交直线AC于点E,若 ∠BAD=I5°，请直接写出∠AED的度数， 课时训练 13117 一、选择题 1.(25-26八年级下广东揭阳期末)体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2）， 如果∠1=120°，则∠2的度数是() 6⊙ 侧压腿式 ● 图1 图2 A.20° B.30 C.40° D.120° 2.(25-26七年级下河南周口期末)如图，将一副三角尺叠在一起，则∠的度数是() 30 459 A.30° B.45° C.75° D.85° 3.(2425八年级上河北邢台期末)下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容. 已知：如图，∠BEC=∠B+∠C. A 求证： D ABCD 证明：延长BE交※于点F, 则∠BEC=Q+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)· 又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=▲. 故BICD,@ (二相等，两直线平行). 则回答正确的是(） A.⊙代表∠FECB.@代表同位角C.▲代表∠EFCD.※代表AB 14117 4.(25-26七年级下·福建泉州期末)商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台， 避免迷路.如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图.已知：BG与CF交于点P, ZABG∠EF0=2EFC∠CPG=120,JOB'LOF,若ZPCD+∠ 则∠匹的大小为() D AB-80 2B+80° B. C.3 B-909 D.3B+90° 二、填空题 5.(25-26七年级下·浙江绍兴期末)如图，将一个含30°角的三角尺置于一组平行线（‖b)上，若 ∠1=50°，则∠2的度数是- 30 a b 6.(25-26七年级下重庆期末)如图，在△ABC中，∠A=50°，点D在BC的延长线上，∠ACD=95°，则 ∠B=°. D 7.(25-26七年级下河南周口期末)三角形的一个外角等于100°，与它不相邻的一个内角为40°，则另 一个不相邻内角为. 8.(25-26七年级下·河南郑州期末)一副直角三角板按如图所示的方式摆放，当AC/BE时，∠BCD的度数 15117 为 9.(2026江苏盐城：模拟预测)如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触 直尺的两边，此时圆规的张角（∠3）为30°，若∠1=22°，则∠2的度数为」 913 三、解答题 10.(25-26七年级下·重庆南川期末)如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG 交于点H,ABICD,∠CED=∠GHD】 M A E H G (1)求证：∠C=∠EFG; (②)若∠EHF=75°，∠AEM=110°，求∠D的度数. 11.(25-26七年级下·山西吕梁期末)综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容，现有直线AB,CD,点M在直线AB上，点 N CD AB,CD PM,PN 在直线上，点是直线外一点，连接 ·请结合图形完成下列探究. 16117 A M B A M B A MB D D D 图1 图2 备用图 【初步探究】 I)如图1，若点P在直线AB的下方且在直线CD的上方，且满足∠AMP+∠CNP=∠MPN,请判断直 线AB与CD的位置关系，并写出完整的证明过程， 【深入思考】 2)如图2，在(1)的条件下，ME平分∠AMP,ME交NP的延长线于点E,NF平分∠DNP,NF交ME 的反向延长线于点F.当MP∥NF,∠F=25°时，请求出∠E的度数. 【拓展延伸】 B)在(1)的条件下，若点P在直线AB的上方且不在直线MN上，分别连接PM,PN,NF平分 ∠DNP,ME 平分 ∠AM ，两条角平分线所在直线相交于点F,请直接写出∠MPV与∠MN H 的数量关 系 17117 2026－2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训练 第十三章 三角形 13.3.2 三角形的外角 ▌课时目标 1. 理解三角形外角的定义，明确外角与内角的关系，掌握三角形外角和定理及外角性质，能准确表述相关结论。 2. 能熟练运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一性质进行角度计算，规范几何推理的书写格式。 3. 能运用外角性质解决转角问题、折线问题及内角外角联动的求角问题，提升几何直观与逻辑推理能力。 ▌课时目录 知识点01：三角形外角的定义 知识点02：三角形外角的总数 知识点03：三角形外角和定理 知识点04：三角形外角性质1 知识点05：三角形外角性质2 知识点06：利用外角性质求角度 知识点07：转角问题、折线问题中的外角应用 知识点08：内角与外角联合同步求角 ▌知识点01：三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 几何表示：在△ABC中，延长BC至D，则∠ACD是△ABC的一个外角。一个外角与相邻的内角互为邻补角（和为180°），且外角与相邻内角共用一条边（如∠ACD与∠ACB共用边AC）。 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，延长至点D，若，，则的度数为（     ） A．91° B．101° C．136° D．126° 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接求解即可． 【详解】解：是的一个外角， ． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ▌知识点02：三角形外角的总数 每个三角形有6个外角，每个顶点处各有2个外角（互为对顶角）。 在研究和应用时，通常每个顶点只取1个外角（即每个顶点处取一个与内角不相邻的外角），此时一个三角形共有3个外角（每个顶点各1个）。 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，两个直角三角板的直角顶点A，D分别在斜边，上，且，， ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将绕顶点C旋转得到，且点B刚好落在上．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转得，，，再结合等腰三角形和三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵绕顶点C旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，是的外角， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，点在直线上，点在直线上，点在直线上方，点在的延长线上．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，交于点，根据，可设设，，，，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出，再由即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点， ，， 设，，，， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即． ▌知识点03：三角形外角和定理 三角形的外角和等于360°。 推导：在△ABC中，取三个外角∠1、∠2、∠3（分别对应顶点A、B、C），则∠1＝180°－∠A，∠2＝180°－∠B，∠3＝180°－∠C，故∠1＋∠2＋∠3＝3×180°－（∠A＋∠B＋∠C）＝540°－180°＝360°。 注意：外角和是针对每个顶点取一个外角而言的，若取6个外角，则总和为720°。 9．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，是的一个外角， ∴ ∵， ∴. 10．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点，在直线上，，，，点，，，在同一条直线上，当时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出和的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， 是的外角， ． 故选：C． 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线得到，由三角形外角的性质即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 则． 12．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，利用平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ▌知识点04：三角形外角性质1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 几何表示：在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD＝∠A＋∠B。 推导依据：三角形内角和为180°（∠A＋∠B＋∠ACB＝180°），且∠ACD与∠ACB互为邻补角（∠ACD＋∠ACB＝180°），故∠ACD＝∠A＋∠B。 该性质是外角最核心的应用，使用时需明确“不相邻的两个内角”。 13．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质求出，的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 14．（25-26七年级下·吉林·期末）如图，，，，分别平分，，．有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有_______．（填序号） 【答案】 ①③④ 【分析】根据三角形外角的性质及角平分线的定义，结合，可推导角之间的数量关系；利用平行线的判定定理判断与的位置关系；利用平行线的性质及角平分线定义推导与的关系；利用三角形外角性质推导与、的关系即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②错误，③正确； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有①③④． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）空竹在我国有悠久的历史，抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则__________． 【答案】80 【分析】添加辅助线，延长交于点，先由三角形内角和求解的度数，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵，， ∴在中，有， ∴， ∵， ∴ ． ▌知识点05：三角形外角性质2 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 几何表示：在△ABC中，∠ACD是外角，则∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。 推导依据：由∠ACD＝∠A＋∠B，且∠A、∠B均为正数，故∠ACD必然大于∠A和∠B。 注意：该性质仅适用于“不相邻”的内角，外角与相邻内角是互补关系，不存在大小比较。 17．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【答案】或或 【分析】当点D在上时，，当点D在时，，求解即可； 【详解】解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； 18．（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】先根据平行线和角平分线的性质求出的度数，分点P在点E与之间、点P在下方、点P在点E上方三种情况讨论，利用三角形外角的定义建立、和的关系，据此判断即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 分情况讨论： （1）当点P在点E与之间时： 设与交于点， 是和的外角， ， ， ； （2）当点P在下方时： 如图，延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ； （3）当点P在点E上方时： ， 在四边形中，， ， ， 综上所述，点在运动过程中，与的关系可能是：①②③． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D，点F是边的中点，平分分别交于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②④ 【分析】①利用三角形中线的性质即可判断①；②运用等面积法即可判断②；利用三角形外角的性质以及作差法即可判断③；先利用同角的余角相等可得，再结合角平分线的定义即可判断④． 【详解】解：∵点F是边的中点， ∴，即①正确； ∵在中，，于点D， ∴，即，即②正确； ∵， ∴， ∵无法判断的正负， ∴无法判断的大小关系，即③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的结论有①②④． 20．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 【答案】/ 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，整理可得，同理可得，由此推出，即可求解． 【详解】解：与的平分线交于点， ， ， ， ， 同理可得， …… 以此类推， 的大小为． ▌知识点06：利用外角性质求角度 直接应用外角性质∠ACD＝∠A＋∠B进行角度计算，步骤： 1. 识别目标外角及与它不相邻的两个内角； 2. 代入已知角度，列方程求解未知角。 示例：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，求外角∠ACD的度数。 解：∠ACD＝∠A＋∠B＝40°＋60°＝100°。若已知外角和不相邻的一个内角，可反求另一个内角，如∠ACD＝110°，∠A＝40°，则∠B＝∠ACD－∠A＝70°。 21．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，，点Q、点E在上，点P、点F在上，，点M在与之间，连接，，与交于点G，且，是内部的一条射线，满足，已知，平分．下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④； A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】对顶角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等以及三角形外角的性质结合题目条件推导即可． 【详解】解：如图，点O在的延长线上， 设，， ， ， ，， ，， ，故①正确； ， ，， ， ， ，， ， ，故③正确； ， ， ，， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，结论①②③④都正确． 22．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若平面内两个角、的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且，则________． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况画出图形，利用平行线的性质与垂直的定义，结合角度的和差关系计算的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： (1) 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到钝角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， ； (2) 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到锐角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， 综上可知，或． 23．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况进行讨论，画出图形，根据平行线的性质以及角的和差进行求解． 【详解】解：①如图，当时，，过点作， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，交直线于点，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，过点作， ∴， ∴， ∴； 综上，所有满足条件的t为或或． 24．（25-26七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． ▌知识点07：转角问题、折线问题中的外角应用 转角问题（如光线反射、行走路线）：利用“外角等于不相邻两内角和”转化角度关系。 示例：光线AO照射到平面镜OB上，反射光线为OC，∠AOB＝30°，求反射角∠BOC。 解：入射角等于反射角，即∠AOB＝∠BOC，而∠AOC是△AOB的外角，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝2∠BOC，故∠BOC＝∠AOC（需结合具体图形分析，此处为简化示例）。 折线问题（如锯齿形折线）：通过作平行线或构造外角，将分散的内角转化为外角关系求和。 25．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 26．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ，， ∴， ∴①②正确， 若，则，题目中没告知与的位置关系， ∴无法求出的大小； 若， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴④正确． 27．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，，，，则的度数为________． 【答案】50°/50度 【分析】先设、交点为，利用三角形外角性质算出等于与的和，再根据两直线平行同位角相等，推出与度数相等，即可求出． 【详解】解：与交于点F， ∵，， ∴， ∵ ∴． 28．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）图1是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，即，． (1)若，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若光线与直管壁平行，求的度数； (3)如图2，调整平面镜，的角度，设（），，若在直管壁处放置一块平面镜，当光线经过镜面处反射后照射到直管右壁时，经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，这样经过三次反射后，离开潜望镜的光线与入射光线的夹角为，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1)，理由： ， ， ，， ， ； (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可得，即可推出； （2）根据题意可得，则，根据题意可得，则，根据，即可解答； （3）分两种情况讨论，即或，利用平行线的性质分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， ， 根据题意可得， ， ， ，即， 解得， ； （3）解：离开潜望镜的光线与入射光线的夹角为，与入射镜筒壁平行， 或， 当时， ， ， ， ， 如图，延长交于点,则可得, , , , ,即； 当时， ， ， ， ， 如图，延长交于点,则可得, , , , ,即，不符合题意， 综上，或. ▌知识点08：内角与外角联合同步求角 结合三角形内角和定理（∠A＋∠B＋∠C＝180°）与外角性质（∠ACD＝∠A＋∠B）进行联动计算。 常见题型： 1. 已知两内角求外角； 2. 已知外角和一个内角求另一个内角； 3. 已知内角和外角的关系（如外角是内角的2倍），列方程求解。 示例：在△ABC中，∠ACD是外角，且∠ACD＝2∠A，∠B＝40°，求∠A。解：由∠ACD＝∠A＋∠B得2∠A＝∠A＋40°，解得∠A＝40°。 29．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一副三角板按图所示方式叠放，且，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，利用平行线的性质可得，再根据三角形内角和求得，利用三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：如图，设与交于点， ， ， ，， ， ． 30．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，点在上，点在和之间，点在下方，；点在上，点在的延长线上，．设，则的度数用含的式子表示为________． 【答案】 【分析】过点作，利用平行线的性质与角之间的等量关系，利用等量代换求解即可． 【详解】解：过点作，设与的交点为， ， ∵， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 即． 31．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交边于点，点是边上一点，延长至点，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由三角形外角性质和角平分线的定义得到，继而得证结论． （2）根据平行线的性质得到，继而得到，根据三角形内角和定理得到，继而得到． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26七年级下·河南南阳·期末）在中，，点在直线上（点不与端点，重合）． (1)如图①，当点在线段上时，连接，作，交线段于点． ①若，则_°，_°； ②当点在线段上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当点在的延长线上时，连接，作，交直线于点，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② 理由：在中 ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， ∴． (2)或 【分析】（1）根据三角形内角和为和平角为证得，再利用三角形内角和为求解即可； （2）利用三角形的外角等于不相邻的两内角和与三角形内角和为求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②见答案． （2）解：当点在线段的延长线上，如图1所示， , ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； 当点在线段的延长线上，如图2所示， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：. 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征得出相关角的度数，利用平行线的性质将角进行转化，最后根据三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵两个三角尺的竖直直角边在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 已知：如图，． 求证：． 证明：延长交于点， 则（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又，得． 故（相等，两直线平行）． 则回答正确的是（     ） A．代表 B．代表同位角 C．代表 D．※代表 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质、平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：延长交于F， 则， 又，得， 故（内错角相等，两直线平行）． 代表，代表，代表，代表内错角， 选项说法正确，符合题意． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点，，，，，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，，根据题意得出，，，进而表示出，求得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：设，，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ 如图，延长交于点 ∵，， ∴， ∴ 二、填空题 5．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一个含角的三角尺置于一组平行线（）上，若，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】根据三角形外角的性质和对顶角的性质求出，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ ∵， ∴ 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形外角性质直接算出答案． 【详解】解：， ． 7．（25-26七年级下·河南周口·期末）三角形的一个外角等于，与它不相邻的一个内角为，则另一个不相邻内角为_______°． 【答案】60 【分析】根据题意结合三角形外角的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵三角形的一个外角等于，与它不相邻的一个内角为， ∴另一个不相邻内角为． 8．（25-26七年级下·河南郑州·期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当时,的度数为__________． 【答案】 /15度 【分析】根据平行线的性质可得，再结合三角板的角度特征和三角形外角的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为______． 【答案】/52度 【分析】利用，求解即可； 【详解】解：， ， ，，， ， ； 三、解答题 10．（25-26七年级下·重庆南川·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）根据得到，根据平行线的判定和性质得到，即可证明； （2）根据对顶角相等得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质求出，根据平行线的性质作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 (1)如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 (2)如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)． 证明如下：过点P作， （两直线平行，内错角相等）， ，且 ， （内错角相等，两直线平行）， 又， ． (2) (3)或 【分析】（1）过点P作，则，进而可得，则，再由平行的传递性即可； （2）由可得，进而可得，然后得到，再由求解． （3）分在线段上和在的延长线上两种情况进行讨论，结合角平分线的定义及平行线的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：设交于， ， （两直线平行，同位角相等）， 又平分， ，， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又平分， ， ； （3）解：当在线段上时， 又（2）知，， ， 又，，， ， 又，， , 即； 当在的延长线上时， 由知， 又，， ， 即 整理得； 综上，或． / 学科网（北京）股份有限公司 $