13.2.2三角形的中线、角平分线、高七大题型 练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以“一例三练”为核心，覆盖三角形中线、角平分线、高七大题型，通过基础巩固、变式拓展、综合应用三阶分层设计，实现从单一知识点到跨情境问题解决的知识深化路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|中线求长度、角平分线直接求值等单一性质应用|紧扣教材定义，以选择、填空为主，强化概念理解与符号语言转化，培养抽象能力| |变式拓展|中线分面积、重心位置判断等性质叠加应用|通过图形变式（如锐角/直角/钝角三角形）和条件增加，发展几何直观与推理意识| |综合应用|等体积法求值、高的位置分类讨论等跨知识点综合|结合动态问题（如动点）和实际情境（如机翼平衡），提升空间观念与创新意识|

13.2.2三角形的中线、角平分线、高七大题型 一例三练（学生版） （2026年7月） 【题型1 利用三角形的中线求长度】 3 【题型2 利用三角形的中线求面积】 4 【题型3 与重心有关的问题】 5 【题型4 与角平分线有关的求值】 7 【题型5 与角平分线有关的计算和证明】 8 【题型6 依据高的位置分类讨论求角度】 9 【题型7 等体积法求值】 10 知识点1 三角形的中线 1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 三条中线都在三角形内部，所以三角形的重心在三角形内部.，中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是顶点所对的边的中点. 2.符号语言: ① AD是△ABC的边BC上的中线 ② D是边BC的中点; ③ 3.三角形中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积。 4.延伸：以下两个三角形中，（1）D、E （1）D、E、F 分别为边BC 的三等分点和四等分点类似的有： （1） （2） （1） （2） 知识点2 三角形的角平分线 1.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.这个交点称为三角形的内心。 2.符号语言: ① AD是△ABC的角平分线; . ② AD平分∠BAC交BC于点D ③ ∠BAD＝∠∠BAC. 知识点3 三角形的高线 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 3.符号语言: ① AD是△ABC的边BC上的高 ② AD⊥BC于点D. 注意：高线一般与三角形的面积相关。 【题型1 利用三角形的中线求长度】 【例1】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【变式1-1】如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 【变式1-2】如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的周长是12，那么AC﹣AB＝　 　 ． 【变式1-3】如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　 　 ． 【题型2 利用三角形的中线求面积】 【例2】如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　 　 ． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是48，则△ABE的面积是　 　 ． 【变式2-2】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　 　 ． 【变式2-3】如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2024次后得到的△A2026B2026C2026的面积为（　　） 【题型3 与重心有关的问题】 【例3】如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（　　） A．线段FG上 B．线段DC上 C．线段EF上 D．线段DE上 【变式3-1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式3-2】在一次飞行器的展览中需要在将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（　　）的交点处． A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【变式3-3】用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【题型4 与角平分线有关的求值】 【例4】若AD是△ABC的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是（　　） A．AD平分∠BAC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝CD D．∠BAC＝2∠BAD 【变式4-1】如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，连接OA，OB，OC，作△AOB的一条角平分线AD．若∠BAC＝α，则∠1+∠2的度数为（　　） A． B． C．160° D． 【变式4-2】如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 　 　 ． 【变式4-3】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 【题型5 与角平分线有关的计算和证明】 【例5】如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，EF∥BD交AC于点F．求证：EF平分∠CED． 【变式5-1】如图，D是△ABC中边AB上的一点，连接CD，． （1）CD是△ABC的 　 　 ；（填“高线”“中线”或“角平分线”） （2）若∠ACB＝90°，∠A＝65°，求∠BDC的度数． 【变式5-2】如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是边AC上一点，连接DE，若∠ADE＝40°，求证：DE∥AB． 【变式5-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点作． 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在（2）条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【题型6 依据高的位置分类讨论求角度】 【例6】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 【变式6-1】有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【变式6-2】在中，，是边上的高且，则的度数是　 ． 【变式6-3】已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°） 【题型7 等体积法求值】 【例7】在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上任意一点，连结AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边BC上时，请画出△ABC中AC边上的高BG； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想DE，DF，BG之间的数量关系为 ；为了说明DE，DF，BG之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵S△ABC＝S△ABD +S△ACD， ∴ 　 　 ． ∵AB＝AC，∴ ． 【运用】（3）如图②，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在CB的延长线上时，请直接写出DE、DF、BG之间的数量关系． 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【变式7-2】如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 【变式7-3】如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    13.2.2三角形的中线、角平分线、高七大题型 一例三练（教师版） （2026年7月） 【题型1 利用三角形的中线求长度】 14 【题型2 利用三角形的中线求面积】 17 【题型3 与重心有关的问题】 20 【题型4 与角平分线有关的求值】 22 【题型5 与角平分线有关的计算和证明】 25 【题型6 依据高的位置分类讨论求角度】 29 【题型7 等体积法求值】 32 知识点1 三角形的中线 1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 三条中线都在三角形内部，所以三角形的重心在三角形内部.，中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是顶点所对的边的中点. 2.符号语言: ① AD是△ABC的边BC上的中线 ② D是边BC的中点; ③ 3.三角形中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积。 4.延伸：以下两个三角形中，（1）D、E （1）D、E、F 分别为边BC 的三等分点和四等分点类似的有： （1） （2） （1） （2） 知识点2 三角形的角平分线 1.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.这个交点称为三角形的内心。 2.符号语言: ① AD是△ABC的角平分线; . ② AD平分∠BAC交BC于点D ③ ∠BAD＝∠∠BAC. 知识点3 三角形的高线 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 3.符号语言: ① AD是△ABC的边BC上的高 ② AD⊥BC于点D. 注意：高线一般与三角形的面积相关。 【题型1 利用三角形的中线求长度】 【例1】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CDBC， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC， ∵△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm， ∴28﹣6＝22cm．即△ACD周长为22cm， 故选：C． 【变式1-1】如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 【答案】A 【分析】由于BD是AC边上中线，所以AD＝CD，所以△ABD的周长比△ADC的周长多的部分等于AB﹣BC，再根据AB＝5cm即可得出BC的长． 【解答】解：∵BD是AC边上中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝AB﹣BC， ∵△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，且AB＝5cm． ∴5﹣BC＝2，即BC＝3cm． 故选：A． 【变式1-2】如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的周长是12，那么AC﹣AB＝　2　 ． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差． 【解答】解：∵AD是△ABC的一条中线， ∴BD＝DC（三角形中线定理）． ∵△ABD的周长为10，△ACD的周长为12， ∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝12﹣10， AC+AD+CD﹣AB﹣AD﹣BD＝2， 即AC﹣AB＝2， 所以AC﹣AB的值为2， 故答案为：2． 【变式1-3】如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　　 ． 【答案】2 【分析】由AP是△ABC的中线可得P是BC的中点，得；由AQ是△ABP的中线得． 【解答】解：∵AP是△ABC的中线， ∴P是BC的中点， ∴， ∵BC＝8， ∴BPBC8＝4； 又AQ是△ABP的中线， ∴BQBP4＝2． 故答案为：2． 【题型2 利用三角形的中线求面积】 【例2】如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　 　 ． 【答案】1 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵S△ABC＝2， ∴S△ACD＝1， 故答案为：1． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是48，则△ABE的面积是　 　 ． 【答案】12 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【解答】解：∵在△ABC中，AD是BC上的中线， 根据中线的性质可得： S△ABD＝S△ACDS△ABC， 同理S△ABE＝S△BEDS△ABD， ∴S△ABES△ABC， ∵△ABC的面积是12， ∴S△ABE48＝12． 故答案为：12． 【变式2-2】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　 　 ． 【答案】 【分析】连接AE，BF，CD，根据三角形面积公式、三角形的中线的性质解答即可． 【解答】解：如图，连接AE，BF，CD， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点， ∴AD＝DF，BE＝ED， ∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE， 同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形， ∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的， ∵△ABC的面积为10， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【变式2-3】如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2024次后得到的△A2026B2026C2026的面积为（　　） A．72026 B．52026 C．62025 D．42025 【答案】A 【分析】先作出辅助线，然后利用等底等高可知7个小三角形的面积相等，推出，依次往下类推可得出△A2026B2026C2026的面积＝72026S△ABC，据此即可解答． 【解答】解：连接AB1、BC1、CA1， ∵△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等， ∴， ∴， ∴△A2026B2026C2026的面积＝72026S△ABC， ∵S△ABC＝1， ∴△A2026B2026C2026的面积72026． 故选：A． 【题型3 与重心有关的问题】 【例3】如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（　　） A．线段FG上 B．线段DC上 C．线段EF上 D．线段DE上 【答案】B 【解答】解： ∵三角形三条中线的交点是三角形的重心， ∴△ABC的重心在线段DC上． 故选：B． 【变式3-1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】设AD所在的格线与BC交于点M，CD所在的格线交AB于点N，设正方形网格中的小正方形的边长为1，由此得AM，CN是△ABC的中线，再根据三角形重心的定义即可得出答案． 【解答】解：设AD所在的格线与BC交于点M，CD所在的格线交AB于点N，如图所示： 设正方形网格中的小正方形的边长为1， ∴AM，CN是△ABC的中线， 又∵AM与CN的交点为D， ∴点D是△ABC的重心． 故选：A． 【变式3-2】在一次飞行器的展览中需要在将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（　　）的交点处． A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【答案】B 【分析】根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【解答】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【变式3-3】用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】A 【分析】支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【解答】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【题型4 与角平分线有关的求值】 【例4】若AD是△ABC的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是（　　） A．AD平分∠BAC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝CD D．∠BAC＝2∠BAD 【答案】C 【分析】根据三角形的角平分线的定义进行判断即可． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠BAC＝2∠BAD，故选项A，B，D正确； 不能得到BD＝CD，故选项C错误． 故选：C． 【变式4-1】如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，连接OA，OB，OC，作△AOB的一条角平分线AD．若∠BAC＝α，则∠1+∠2的度数为（　　） A． B． C．160° D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定义可得，，从而可求出∠1+∠2． 【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠BAC＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵BO是∠ABC 的平分线，CO是∠ACB 的平分线， ∴，， ∴， ∵∠OCB+∠OBC+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣（∠OCB+∠OBC）＝180°﹣（90°）＝90°， ∵AO是∠BAC和平分线， ∴， ∵AD是∠BAO的平分线， ∴α， ∴， 故选：A． 【变式4-2】如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 　 　 ． 【答案】112.5° 【分析】根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝BD，DE是△ABD的中线， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴∠BED＝90°， ∵BF是△BDE的角平分线， ∴∠EBF∠EBD＝22.5°， ∴∠BFD＝∠BED+∠EBF＝90°+22.5°＝112.5°， 故答案为：112.5°． 【变式4-3】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 【答案】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE∠BAC，而∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30° ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90° ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE∠BAC＝45°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90° ∴在△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15° 【题型5 与角平分线有关的计算和证明】 【例5】如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，EF∥BD交AC于点F．求证：EF平分∠CED． 【答案】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质可得∠ABD＝∠EDB，即可得出∠DBE＝∠EDB，进而根据平行线的性质可得∠DEF＝∠BDE，∠FEC＝∠DBE，即可得出∠DEF＝∠FEC，即EF平分∠CED． 【解答】证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD（角平分线的性质）， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠EDB（两直线平行，内错角相等）， ∴∠DBE＝∠EDB（等量代换）， ∵EF∥BD， ∴∠DEF＝∠BDE，∠FEC＝∠DBE， ∴∠DEF＝∠FEC， ∴EF平分∠CED． 【变式5-1】如图，D是△ABC中边AB上的一点，连接CD，． （1）CD是△ABC的 　 　 ；（填“高线”“中线”或“角平分线”） （2）若∠ACB＝90°，∠A＝65°，求∠BDC的度数． 【答案】（1）由三角形的角平分线的定义，即可得到答案； （2）由三角形的外角性质得到∠BDC＝∠A+∠ACD＝110°． 【解答】解：（1）∵∠ACD∠ACB， ∴CD是△ABC的角平分线， 故答案为：角平分线． （2）∵∠ACD∠ACB，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝45°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝45°+65°＝110°． 【变式5-2】如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是边AC上一点，连接DE，若∠ADE＝40°，求证：DE∥AB． 【答案】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的性质求出∠BAD的度数，根据平行线的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°， ∴∠BAC＝180°﹣46°﹣54°＝80°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝40°． ∵∠ADE＝∠BAD＝40°． ∴DE∥AB． 【变式5-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点作． 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在（2）条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1），过程见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，平行公理及推论，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定进行证明即可； （2）过点作，根据平行的性质进行计算即可； （3）在（2）条件下，根据的平分线和的平分线交于点，即可求出答案． 【详解】解（1）如图①，过点作， ， ， ， ， ， ， 即； （2）过点作， ， ， ， ， ； （3） 的平分线和的平分线交于点， ， ， 过点作， ， ， ， ， ． 【题型6 依据高的位置分类讨论求角度】 【例6】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 【答案】90°或50° 【分析】分高AD在△ABC的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】当高AD在△ABC的内部时，如图1， ∵∠BAD＝70°，∠CAD＝20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°； 当高AD在△ABC的外部时，如图2， ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°﹣20°=50°， 综上，∠BAC的度数为90°或50°． 【变式6-1】有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，高的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质即可得到答案．根据题意画出图形进行计算即可． 【详解】解：① ， 是边上的高，的平分线与边交于点F， ，乙同学正确， ② ， 是边上的高，的平分线与边交于点F， ，丙同学正确． 故选B． 【变式6-2】在中，，是边上的高且，则的度数是 【答案】或 【分析】此题考查了三角形内角和，三角形的高的含义.根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可． 【详解】解：如图所示，当高在内部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． 如图所示，当高在外部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式6-3】已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°） 【答案】或 【分析】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键； 分两种情况：为锐角与为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可． 【详解】解：当为锐角时，如图，设三角形的两条高交于点O， 则，， ∴， ∴； 当为钝角时，如图，设三角形的两条高所在的直线交于点O， 则，， ∴； 故答案为：或． 【题型7 等体积法求值】 【例7】在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上任意一点，连结AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边BC上时，请画出△ABC中AC边上的高BG； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想DE，DF，BG之间的数量关系为 ；为了说明DE，DF，BG之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵S△ABC＝S△ABD +S△ACD， ∴ 　 　 ． ∵AB＝AC，∴ ． 【运用】（3）如图②，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在CB的延长线上时，请直接写出DE、DF、BG之间的数量关系． 【分析】（1）过点B作BE⊥AC交AC于一点E，即可作答． （2）BG＝DE+DF，根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （3）同理得，因为点D为BC中点，所以，结合AB＝AC，化简得BG＝2DE，即可作答． （4）同理结合面积之间的关系列式化简，DF＝DE+BG，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，AC边上的高BG如图①1所示： （2）BG＝DE+DF； 证明：∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴， ∵AB＝AC， ∴BG＝DE+DF， 故答案为：BG＝DE+DF，S△ABD，，BG＝DE+DF； （3）过点B作BG⊥AC交AC于一点G，如图②： ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴， ∵点D为BC中点， ∴， ∵AB＝AC， ∴DE＝DF； ∵，AB＝AC， ∴BG＝DE+DF， ∴BG＝2DE， （4）过点B作BG⊥AC交AC于一点G，如图③： ∵S△ADC＝S△ADB+S△ACB， ∴， ∵AB＝AC， ∴DF×AC＝DE×AC+BG×AC， 则DF＝DE+BG， 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：作于点， 如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 【变式7-2】如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定取最大值时，取最小值，并掌握垂线段最短的性质． 根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，即 化简可得： 解得， 则取最大值时，取最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， ∴的最大值为． 故答案为：10． 【变式7-3】如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：6． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $