13.2.1 三角形的边 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形三边关系，以"基础概念→技能应用→综合拓展"分层设计，通过选择、填空、解答题梯度训练，强化推理能力与应用意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|三边关系定理及推论|以选择辨析线段能否组成三角形，强化几何直观| |技能应用|取值范围、周长计算、等腰三角形分类|通过分类讨论等腰三角形边长，培养推理能力| |综合拓展|实际问题与稳定性应用|结合池塘距离估计等情境题，发展应用意识|

2026-2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训练 第十三章 三角形 13.2.1 三角形的边 ▌课时目标 1. 理解三角形三边关系的核心内涵，能准确推导单条边长的取值范围，掌握已知两边求第三边范围的简便方法。 2. 能熟练计算三角形的周长，会对等腰三角形边长进行规范的分类讨论，避免漏解或错解。 3. 能运用三角形三边关系解决边长求解、周长计算及简单的实际问题，养成解题后检验几何合理性的习惯。 ▌课时目录 知识点01：三角形三边关系定理 知识点02：三边关系的推论 知识点03：三角形边长的取值范围 知识点04：已知两边求第三边的取值范围 知识点05：三角形周长的计算 知识点06：已知周长与两边关系求边长 知识点07：等腰三角形边长的分类讨论 知识点08：三角形的稳定性 ▌知识点01：三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边。 即若△ABC的三边分别为a、b、c，则满足a＋b＞c、a＋c＞b、b＋c＞a。 原理：两点之间线段最短，若两边之和不大于第三边，则无法首尾相接构成三角形。 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】选取每组中较短的两条线段求和，与最长线段比较，判断能否组成三角形. 【详解】解：A.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C.∵，∴能组成三角形，故符合题意； D.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意. 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不能组成三角形； B. ，不能组成三角形； C. ，不能组成三角形； D. ，能组成三角形． 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下面长度的三条线段不可以围成三角形的是（     ） A．三条线段一样长 B．三条线段的长度之比是 C．三条线段的长度分别是、、 D．三条线段的长度分别为、、 【答案】B 【详解】解：A、设三条线段的长都为， 则，满足三角形的三边关系，可以围成三角形； B、设三条线段的长度分别为，，， 则，不满足三角形的三边关系，不可以围成三角形； C、由题意可知，， 则，满足三角形的三边关系，可以围成三角形； D、，满足三角形的三边关系，可以围成三角形． ▌知识点02：三边关系的推论 由三边关系定理变形可得：三角形任意两边之差小于第三边。即∣a－b∣＜c、∣a－c∣＜b、∣b－c∣＜a，也可合并表示为∣a－b∣＜c＜a＋b。该推论是判断三条线段能否组成三角形的简便依据。 5．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）用长度分别为和的两根木棒与另一根木棒首尾相连围成一个三角形，则另一根木棒的长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设另一根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 已知两边长分别为和， ∴， 化简得， 观察选项，只有满足． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列各组线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边，即可判断三条线段能否组成三角形． 【详解】解：A．∵ ，和等于最长边，不能组成三角形，不符合题意 ； B．∵ ，和小于最长边，不能组成三角形，不符合题意； C．∵ ，和大于最长边，能组成三角形，符合题意 ； D．∵，和小于最长边，不能组成三角形，不符合题意． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 【答案】 【分析】分两种情况：腰长为和腰长为，根据构成三角形的条件验证能否构成三角形后，计算符合条件的周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是_______． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系解题． 【详解】解：分两种情况讨论：当腰长为时，第三边长为，此时三边长为， ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 当腰长为时，第三边长为，此时三边长为， ∵ ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 因此第三边长为． ▌知识点03：三角形边长的取值范围 三角形的每条边长必须同时满足两个条件： 1. 边长为正数； 2. 任意两边之和大于第三边，即对于△ABC的三边a、b、c，有∣a－b∣＜c＜a＋b。 实际判断时，只需验证“最长边小于另外两边之和”即可，无需逐一验证三组不等式。 9．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）一个三角形的两边长分别为1和5，则第三边的长可以为（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边长分别为1和5， ∴, 即， 选项中只有5符合该取值范围． 11．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 12．（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． ▌知识点04：已知两边求第三边的取值范围 若已知三角形的两条边长分别为m、n（m≥n＞0），则第三边x的取值范围为m－n＜x＜m＋n。 注意：取值范围为开区间，若x＝m－n或x＝m＋n，则三条线段共线，无法构成三角形。 13．（25-26八年级上·河北·期末）若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三边长为， 得，即， 选项中只有符合该范围． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求解． 【详解】解：由题意知，点组成为角形， ∴， ∵， ∴， 只有不在范围内． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期末）一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．则第三根木条的长度可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形第三边的长度范围为大于两边之差且小于两边之和，先求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， 观察选项可得，只有选项B符合该范围． 16．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：此三角形的两边长分别为和， 第三边长的取值范围是， 即． ▌知识点05：三角形周长的计算 三角形的周长等于三条边长的和，即C＝a＋b＋c。计算后需检验所得三边是否满足三边关系，若不满足则周长无效。注意计算时各边长单位需统一。 17．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）的三边长分别是，，，则的周长不可能是（     ） A．11 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，进而得到周长的取值范围，即可判断出不可能的周长． 【详解】解：∵的三边长分别是，，， ∴的周长， 由三角形三边的关系可得， ∴， ∴， ∴的周长不可能是19． 18．（25-26七年级下·四川成都·期末）若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是___． 【答案】 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边的取值范围，结合最长边为奇数的条件确定第三边的长度，再计算三角形的周长． 【详解】解：设该三角形的第三边长为， 由题意得，即 ∵该三角形的最长边为奇数， ∴，且为奇数， ∴ ∴该三角形的周长为 ． 19．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）已知：的三边长分别为，，． (1)化简：； (2)的两边长为和，周长为偶数，求出周长． 【答案】(1)； (2)周长为或． 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由题意得，，然后化简绝对值，再合并即可； （）设第三边为，根据三边关系求出，又周长为偶数，所以或，然后通过周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为，，， ∴，， ∴ ； （2）解：设第三边为， ∴，， ∵周长为偶数， ∴或， ∴周长为或， ∴周长为或． 20．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）已知的三边分别为，且． (1)请求出的取值范围； (2)若的周长是偶数，请求出的周长． 【答案】(1) (2) 16或18 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，由的周长是偶数，得到c的值，即可求出的周长． 【详解】（1）解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； （2）解：由（1）知， ∵的周长是偶数，且是偶数， ∴是偶数， ∴或， ∴的周长为或． ▌知识点06：已知周长与两边关系求边长 已知三角形周长C，且三边存在倍数、和差等关系时，可先设未知数，根据周长公式列方程求解，再将解得的边长代入三边关系检验。 例如：已知周长C＝18，且a＝2b，c＝b＋3，可列方程2b＋b＋(b＋3)＝18，解得b＝3.75，再验证三边7.5、3.75、6.75满足3.75＋6.75＞7.5，结果有效。 21．（2026·江苏南京·三模）等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题根据等腰三角形定义，分三种情况讨论的可能长度，结合三角形三边关系验证，即可得出不可能的值． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分三种情况讨论： 1．若，则，此时，三边为，满足，符合三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除D． 2．若，则，此时，三边为，满足三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除A． 3．若，则，三边为，满足，符合要求，因此可能，排除B． 当时，，三边为，不存在相等的两边，无法构成等腰三角形，因此不可能． 22．（25-26八年级上·山东临沂·期中）若的周长为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据三角形两边之和大于第三边的性质，必须小于其他两边之和，即小于周长的一半。 【详解】解：的周长为， ， 在三角形中，两边之和大于第三边， ， 即 的长可能为． 故选：A． 23．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【答案】3或5或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于8，再结合三角形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形三边关系可知：， 即， 则x可以是3，4，5，6，7， ∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8， ∴x为奇数， 故x可取3或5或7． 24．（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． ▌知识点07：等腰三角形边长的分类讨论 等腰三角形存在“腰”和“底”两种不确定情况，需分两类讨论，且每类结果必须检验： 1. 若已知边为腰长，则另一腰长等于已知边，底边长为周长减去两倍腰长，检验是否满足“两腰之和大于底边”； 2. 若已知边为底边长，则腰长为（周长－底边长）÷2，检验是否满足“腰长＋底边长＞腰长”（即两腰之和大于底边）。 例如：等腰三角形一边长为3，另一边长为7，若3为腰长，则三边为3、3、7，因3＋3＜7舍去；若3为底边长，则三边为7、7、3，满足三边关系，周长为17。 25．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分3cm的边为腰、底两种情况讨论，验证能否构成三角形后确定底长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 26．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形周长为，一边长为，该等腰三角形的底边长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，分为腰长和底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断，舍去不能构成三角形的情况即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时， 底边长为， ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴ 此种情况舍去； ② 当为底边长时，腰长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 该等腰三角形的底边长为．. 27．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 【答案】14或16 【分析】先根据非负数的性质求出m和n的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 当腰长为6，底边长为4时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为； 当腰长为4，底边长为6时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为； ∴的周长是14或16． 28．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知等腰三角形的一条边长是4，另一条边长是7，那么这个三角形的周长是__________． 【答案】15或18 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分为腰长和底边两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否组成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当为腰长时，三角形的三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为， 当为底边时，三角形的三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为， 综上所述，这个三角形的周长是或． ▌知识点08：三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定后，其形状和大小就唯一确定，这一性质叫做三角形的稳定性。 与四边形的不稳定性形成对比，生活中利用三角形稳定性的实例有：自行车车架、屋顶钢梁、起重机起重臂、活动衣架的固定节点等。 29．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 30．（25-26七年级下·山西运城·期末）汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 31．（25-26七年级下·吉林长春·期末）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：钉上一根木条把四边形分成两个三角形，此做法的依据是三角形的稳定性． 32．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：由图可知，斜钉两根木条后，木条与板凳腿构成了三角形，而三角形具有稳定性， 斜钉两根木条即可加固，所以其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，错误； B、，不能组成三角形，错误； C、，能够组成三角形，正确； D、，不能组成三角形，错误． 2．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）现有长度为，，，的四根木棒，任意选取三根，能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按顺序列举所有选取三根木棒的组合，再根据三角形三边关系筛选符合条件的组合． 【详解】解：从四根木棒中任选三根，所有组合为： ①、、， ∵， ∴能构成三角形； ②、、， ∵， ∴不能构成三角形； ③、、， ∵， ∴不能构成三角形； ④、、， ∵， ∴能构成三角形； 综上，符合条件的组合有2种． 3．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【详解】解：小李在木门板上钉了一个加固板，门板上形成了三角形结构，这样做的道理是三角形具有稳定性． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断三边大小，根据三角形任意两边之和大于第三边列出不等式，只需较短两边之和大于最长边，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长为、、，且，最长边为， ∴， 解得：． 二、填空题 5．（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，，则整数的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（取，，，，中任意一个） 【详解】解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 可得， ∴， 因为是整数， 所以可以取，，，，中任意一个． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知等腰三角形两边长分别为和，且满足，则等腰三角形的周长是___________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系判断等腰三角形的腰长与底边长，最后计算可得周长． 【详解】解：， ，， 解得，． 当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，不满足三角形的三边关系，故此情况舍去； 当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，满足三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长是． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再去绝对值 ，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 10．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训练 第十三章 三角形 13.2.1 三角形的边 ▌课时目标 1. 理解三角形三边关系的核心内涵，能准确推导单条边长的取值范围，掌握已知两边求第三边范围的简便方法。 2. 能熟练计算三角形的周长，会对等腰三角形边长进行规范的分类讨论，避免漏解或错解。 3. 能运用三角形三边关系解决边长求解、周长计算及简单的实际问题，养成解题后检验几何合理性的习惯。 ▌课时目录 知识点01：三角形三边关系定理 知识点02：三边关系的推论 知识点03：三角形边长的取值范围 知识点04：已知两边求第三边的取值范围 知识点05：三角形周长的计算 知识点06：已知周长与两边关系求边长 知识点07：等腰三角形边长的分类讨论 知识点08：三角形的稳定性 ▌知识点01：三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边。 即若△ABC的三边分别为a、b、c，则满足a＋b＞c、a＋c＞b、b＋c＞a。 原理：两点之间线段最短，若两边之和不大于第三边，则无法首尾相接构成三角形。 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下面长度的三条线段不可以围成三角形的是（     ） A．三条线段一样长 B．三条线段的长度之比是 C．三条线段的长度分别是、、 D．三条线段的长度分别为、、 ▌知识点02：三边关系的推论 由三边关系定理变形可得：三角形任意两边之差小于第三边。即∣a－b∣＜c、∣a－c∣＜b、∣b－c∣＜a，也可合并表示为∣a－b∣＜c＜a＋b。该推论是判断三条线段能否组成三角形的简便依据。 5．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）用长度分别为和的两根木棒与另一根木棒首尾相连围成一个三角形，则另一根木棒的长可能为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列各组线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是_______． ▌知识点03：三角形边长的取值范围 三角形的每条边长必须同时满足两个条件： 1. 边长为正数； 2. 任意两边之和大于第三边，即对于△ABC的三边a、b、c，有∣a－b∣＜c＜a＋b。 实际判断时，只需验证“最长边小于另外两边之和”即可，无需逐一验证三组不等式。 9．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）一个三角形的两边长分别为1和5，则第三边的长可以为（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 11．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 12．（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． ▌知识点04：已知两边求第三边的取值范围 若已知三角形的两条边长分别为m、n（m≥n＞0），则第三边x的取值范围为m－n＜x＜m＋n。 注意：取值范围为开区间，若x＝m－n或x＝m＋n，则三条线段共线，无法构成三角形。 13．（25-26八年级上·河北·期末）若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期末）一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．则第三根木条的长度可能是（     ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． ▌知识点05：三角形周长的计算 三角形的周长等于三条边长的和，即C＝a＋b＋c。计算后需检验所得三边是否满足三边关系，若不满足则周长无效。注意计算时各边长单位需统一。 17．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）的三边长分别是，，，则的周长不可能是（     ） A．11 B．12 C．14 D．19 18．（25-26七年级下·四川成都·期末）若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是___． 19．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）已知：的三边长分别为，，． (1)化简：； (2)的两边长为和，周长为偶数，求出周长． 20．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）已知的三边分别为，且． (1)请求出的取值范围； (2)若的周长是偶数，请求出的周长． ▌知识点06：已知周长与两边关系求边长 已知三角形周长C，且三边存在倍数、和差等关系时，可先设未知数，根据周长公式列方程求解，再将解得的边长代入三边关系检验。 例如：已知周长C＝18，且a＝2b，c＝b＋3，可列方程2b＋b＋(b＋3)＝18，解得b＝3.75，再验证三边7.5、3.75、6.75满足3.75＋6.75＞7.5，结果有效。 21．（2026·江苏南京·三模）等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 22．（25-26八年级上·山东临沂·期中）若的周长为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 24．（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． ▌知识点07：等腰三角形边长的分类讨论 等腰三角形存在“腰”和“底”两种不确定情况，需分两类讨论，且每类结果必须检验： 1. 若已知边为腰长，则另一腰长等于已知边，底边长为周长减去两倍腰长，检验是否满足“两腰之和大于底边”； 2. 若已知边为底边长，则腰长为（周长－底边长）÷2，检验是否满足“腰长＋底边长＞腰长”（即两腰之和大于底边）。 例如：等腰三角形一边长为3，另一边长为7，若3为腰长，则三边为3、3、7，因3＋3＜7舍去；若3为底边长，则三边为7、7、3，满足三边关系，周长为17。 25．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 26．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形周长为，一边长为，该等腰三角形的底边长为（     ） A． B． C．或 D． 27．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 28．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知等腰三角形的一条边长是4，另一条边长是7，那么这个三角形的周长是__________． ▌知识点08：三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定后，其形状和大小就唯一确定，这一性质叫做三角形的稳定性。 与四边形的不稳定性形成对比，生活中利用三角形稳定性的实例有：自行车车架、屋顶钢梁、起重机起重臂、活动衣架的固定节点等。 29．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 30．（25-26七年级下·山西运城·期末）汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 31．（25-26七年级下·吉林长春·期末）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 32．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）现有长度为，，，的四根木棒，任意选取三根，能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，，则整数的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知等腰三角形两边长分别为和，且满足，则等腰三角形的周长是___________． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 三、解答题 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 10．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $