13.2与三角形有关的线段 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到几何推理的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|三角形稳定性、三边关系判定|以选择题考四边形不变形木条数量，强化空间观念| |技能应用层|等腰三角形周长计算、边长取值范围|通过分类讨论题（两边长5和10求周长）提升运算能力| |综合拓展层|高/中线/角平分线性质、面积等分作图|结合小路修建情境考最短路径与面积等分，体现模型意识|

1. 已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为和，另一条边长为偶数． （ 1 ）请求出一个符合上述条件的第三边长． （ 2 ）若符合上述条件的三角形共有个，求的值． 2. 等腰三角形的腰长是，则底长的取值范围是 ． 3. 已知三角形两条边的长、满足 ，则第三边长的取值范围为 ． 4. 已知的周长是，三边为，，且三边互不相等，是最大边，是最小边，，均为整数，则 ． 5. 用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少 ，若第一条边最短，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 1. 如图所示，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点， 交于点． ①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高线，其中判断正确的有 ． 2. 如图， 是 的角平分线， 于点，若 ， ，则 的 度数是（ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 3. 如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点 ，交于点．下列结论：①； ②；③ ；④．其中正确个数是( ) . A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，已知平分，过作，若比大度，则的度数是（ ）． A. 度 B. 度 C. 度 D. 不能确定 5. 已知是的中线，且比的周长大，则与的差为 ． 6. 如右图，中， ，是的角平分线，且，则的度数是 ． 7. 如图，已知是的内角的平分线，是的边上的高，， ，则 ． 8. 如图，在中，是边上的高，是的平分线， ， ，求 的度数． 9. 如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，、相交于点，已知 ，求的度数． 10. 中，已知点、、分别是、、边上的中点，且，则为 （ ）． A. B. C. D. $ 1. 下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（ ）． A. ，， B. ， ， C. ，， D. ， ， 2. 要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（ ）． A. 一根 B. 两根 C. 三根 D. 四根 1. 以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）． A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 3. 若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是（ ）． A. B. C. 或 D. 以上都不对 4. 已知五条线段长分别为、、、、，若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不相同的三角形 个． 5. 一个三角形的三边长分别是， ，，则的取值范围 ． 6. 小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条． A. B. C. D. 7. 已知三角形的两边长是，，则该三角形的周长的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 一个等腰三角形的两边长分别是和，且它的周长大于，则第三边是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 1. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，，为中点，延长交于点，为上一点，于 ．下面判断正确的有 （填序号）． ① 是 的角平分线 ② 是 的边上的中线 ③ 为 的边上的中线 ④ 是 的角平分线和高线 3. 某中学要在一块三角形花圃里种植两种不同的花草，同时拟从点修建一条小路到边． （ 1 ）若要使修建小路所用的材料最少，请在图画出小路． 图1 （ 2 ）若要使小路两侧不同花草的面积相等，请在图画出小路，其中点满足的条件是 ． 图2 4. 如右图，于点，于点，于点，下列说法中不正确的是（ ）． A D C E B A. 是的高 B. 是的高 C. 是的高 D. 是的高 5. 如图，中，，，平分交于点，那么的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，于，那么图中以为高的三角形有 个． 8. 在中，，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，则腰长 ． 9. 如图，是的边上的中线，点是的中点，若阴影部分的面积是，那么的面积为 ． 10. 如图，在中，、分别是、边的中点，且，则 ． $ 1. 下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， B 由“ ”的全等判定可知该三角形已确定． 【知识点】三角形的定义 【知识点】AAS 【能力】推理论证能力 2. 要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（ ）． A. 一根 B. 两根 C. 三根 D. 四根 A 钉一根木条构成 个三角形，三角形具有稳定性． 故选 ． 【知识点】三角形的稳定性 1. 以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）． 10 学科网（北京）股份有限公司 A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 C 选项 ， 不能组成三角形，故此选项错误；选项 ， 不能组成三角形，故此选项错误； 选项 ， 能组成三角形，故此选项正确； 选项 ， 的情况就不能组成三角形，故此选项错误． 【知识点】判断能否构成三角形 2. 若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． ①当 是腰长时，三边分别为 、 、 时，能组成三角形，周长 ， ②当 是底边时，三边分别为 、 、 ， ∵ ， ∴不能组成三角形， 综上所述，等腰三角形的周长为 ．故答案为： ． 【知识点】已知两边求第三边或周长 3. 若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是（ ）． A. B. C. 或 D. 以上都不对 B ∵等腰三角形的两边长分别是 和 ， 当 为腰时，三边为 ， ， ，不能构成三角形，当 为腰时，三边为 ， ， ，能构成三角形， ∴它的周长是 ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 4. 已知五条线段长分别为、、、、，若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不相同的三角形 个． 先确定最大边，只要较短两边和大于最大边就可以构成三角形，由此可得三边长可以为： 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ；共 个． 【知识点】判断能否构成三角形 5. 一个三角形的三边长分别是， ，，则的取值范围 ． 由题意 ， 解得 ． 【知识点】求三角形第三边的取值范围 6. 小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条． A. B. C. D. D 、∵ 、∵ 、∵ 、∵ 边，故正确；故答案为 ． ，不符合三角形两边之和大于第三边， 选项错误； ，不符合三角形两边之和大于第三边，故 选项错误； ，不符合三角形两边之和大于第三边，故 选项错误； ， ，符合三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三 【知识点】求三角形第三边的取值范围 7. 已知三角形的两边长是，，则该三角形的周长的取值范围是（ ）． A. B. C. D. D 则 ∴ ∵ ∴ 设三角形第三边的边长为 ， ， ， ， ． 【知识点】求三角形第三边的取值范围 8. 一个等腰三角形的两边长分别是和，且它的周长大于，则第三边是 ． ① 周长为： 为底， 为腰时， ． ② 为底， 为腰， 周长为： ． ∵等腰三角形的周长大于 ， ∴第三边是 ． 【知识点】求三角形第三边的取值范围 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 1. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）． A. B. C. D. C ∴ ∵ ， ， ， 分别是 ， 的高、角平分线、中线 ，无法确定 ． 故选 ． 【知识点】作三角形的高，中线和角平分线 2. 如图，在中，，为中点，延长交于点，为上一点，于 ．下面判断正确的有 （填序号）． ① 是 的角平分线 ② 是 的边上的中线 ③ 为 的边上的中线 ④ 是 的角平分线和高线 ①④ 由角平分线和高的定义可知①④正确． ②应改为 是 的边 上的中线． ③应改为 是 的边 上的高． 【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线 3. 某中学要在一块三角形花圃里种植两种不同的花草，同时拟从点修建一条小路到边． （ 1 ）若要使修建小路所用的材料最少，请在图画出小路． 图1 （ 2 ） 若要使小路两侧不同花草的面积相等，请在图画出小路，其中点满足的条件是 ． 图2 （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）点 是 边的中点．画图见解析． （ 1 ）过 点作 边上的高． （ 2 ）过 点作 边上的中线，点 是 边的中点． 【知识点】作三角形的高，中线和角平分线 4. 如右图，于点，于点，于点，下列说法中不正确的是（ ）． A D C E B A. 是的高 B. 是的高 C. 是的高 D. 是的高 C ∵ 于 点， ∴ 是 的高， 是 于 点， 的高， 是 于 点， 的高， 是 的高． 【知识点】作三角形的高，中线和角平分线 5. 如图，中，，，平分交于点，那么的度数是（ ）． A. B. C. D. A ∵ 中， ， 平分线， ， ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 为 ， 为 外角， ． 【知识点】三角形的外角定义及性质 6. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）． A. B. C. D. D 三角形的高是指三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 【知识点】作线段的垂直平分线 7. 如图，于，那么图中以为高的三角形有 个． ∵ 于 ， 而图中有一边在直线 上，且以 为顶点的三角形有 个， ∴以 为高的三角形有 个．故答案为： ． 【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线 8. 在中，，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，则腰长 ． ， ∵点 是 的中点， 解得： ． ，舍掉； ， 解得： ． ，成立． 【知识点】一元一次方程与实际问题 9. 如图，是的边上的中线，点是的中点，若阴影部分的面积是，那么的面积为 ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】与中线或等分线有关的等积变换 10. 如图，在中，、分别是、边的中点，且，则 ．、 、 分别为 、 、 的中点， 、 ， ． 的面积相等， 故答案为： ． 【知识点】与中线或等分线有关的等积变换 $ 1. 已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为和，另一条边长为偶数． （ 1 ）请求出一个符合上述条件的第三边长． （ 2 ）若符合上述条件的三角形共有个，求的值． （ 1 ）取 ， ， ， ， ， 均可． （ 2 ） ． （ 1 ）已知两边长分别为 和 ，设第三边长是 ， 则 ， 即 ． 所以取 ， ， ， ， ， 均可， 答案不唯一． （ 2 ）由（ ）可知， 的值为 ， ， ， ， ， 共六个，所以 ． 【知识点】求三角形第三边的取值范围 2. 等腰三角形的腰长是，则底长的取值范围是 ． 即 根据三边关系可知： ． ， 【知识点】求三角形第三边的取值范围 3. 已知三角形两条边的长、满足 ，则第三边长的取值范围为 ． ∵ ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ∵ 、 是三角形两条边的长， ∴ ， ， ∴由三角形三边关系可知，第三边长 的取值范围为 ， 即 ． 【知识点】求三角形第三边的取值范围 4. 已知的周长是，三边为，，且三边互不相等，是最大边，是最小边，，均为整数，则 ． 的取值可以从 开始到 开始试， 的只有 ， ， 的这一组． ， 但是要满足两边之和大于第三边 【知识点】求三角形第三边的取值范围 5. 用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少 ，若第一条边最短，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. B 根据题意可得：第二条边长为 ， ∴第三条边长为 （ ． 由题意得 解得 故选： ． ， 【知识点】求三角形第三边的取值范围 1. 如图所示，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点， 交于点． ①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高线，其中判断正确的有 ． ③④ ∵ ∴ 是 ， 的角平分线， ∴①错误． ∵ ， ∴ 是 的中线， ∴②错误． ∵ ， ∴ 是 的边 上的高， ∴③正确． ∵ ， ∴ 是 ， 的角平分线和高线， ∴④正确． 【知识点】全等三角形的对应高线、中线、角分线 2. 如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. A ∵ ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 是 的角平分线， ， ， ． 【知识点】三角形中的角平分线应用 3. 如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点 ，交 于点 ．下列结论：① ； ② ；③ ；④ ．其中正确个数是( ) . A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 B ①∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ②∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， 平分 ， ，①正确； ， ， ， ， ，②正确； ， ③ ， ， ∵ ∴ ∴ ④∵ ∵ ∵ ∴ ∴ ， ，由①得， ，③错误； ， ， ，∴ ， ， ， ， ，④正确， ∴正确的有①②④，共三个， 故选： ． 【知识点】三角形内角和的应用 4. 如图，已知平分，过作，若比大度，则的度数是（ ）． A. 度 B. 度 C. 度 D. 不能确定 A 比 大 度， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选 ． 【知识点】三角形内角和的应用 5. 已知是的中线，且比的周长大，则与的差为 ． 略． 【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线 6. 如右图，中， ，是的角平分线，且，则的度数是 ． 设 ， 则 解得故 ． 【知识点】三角形内角和的应用 7. 如图，已知是的内角的平分线，是的边上的高，， ，则 ． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 平分 ， ， ， ， ． ， ， ． 【知识点】三角形-内角角分线 8. 如图，在中，是边上的高，是的平分线， ， ，求 的度数． ． ∵ ， 是 边上的高， ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， ∵ 是 的平分线， ∴ ∴ ， ． 【知识点】三角形-内角角分线 9. 如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，、相交于点，已知 ，求的度数．． ∵ 是 边上的高线， ， ∴ ∵ ∴在 ， 是一条角平分线， ， 中， ． 【知识点】三角形-内角角分线 10. 中，已知点、、分别是、、边上的中点，且，则为 （ ）． A. B. C. D. B ∵ 、 、 分别为 、 、 的中点， ∴ 故可得： ∴ 故选 ． 、 、 、 的面积相等， ， ， 【知识点】与中线或等分线有关的等积变换 $