13.2.1三角形的边同步练习2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 这份同步练习以三角形三边关系为核心，通过基础、中档、提升三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系基本计算|单选题1、填空题9-10直接考查第三边范围，夯实概念理解| |中档|含字母/分类讨论的三边关系应用|单选题2、6，填空题11-12涉及整数边计数、线段组合，提升推理能力| |提升|综合应用与探究|解答题14、16-17结合等腰三角形分类、实际情境建模，发展应用意识|

13.2.1 三角形的边 同步练习 一、单选题 1．若一个三角形的两边长为5和9，则第三边长可能是（    ） A．15 B．14 C．5 D．4 2．已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形中，，，，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，平面上点C为线段外一点，，连接，．线段的长可能是（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 5．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 6．三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 7．若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（    ） A．只有可以 B．只有可以 C．，都可以 D．，都不可以 8．已知等腰三角形的两边长分别为，且，则此三角形的周长为（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．14或16 二、填空题 9．一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为________． 10．三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 11．已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为______． 12．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成_____个． 13．用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取_____． 三、解答题 14．设的三边的长度均为自然数，且，请你分析以为三边长的三角形可能有哪些，并求出对应的值． 15．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，． ①x的取值范围是 ； ②当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 17．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.2.1 三角形的边 同步练习》参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，求得该三角形第三边的取值范围是解题的关键． 根据第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和，据此求出第三边的取值范围即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 由三角形三边关系可得，即． 所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意． 故选C． 2．A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形的三边关系得到，继而得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：分别为三角形的三边， ， ，， ， 解得：， 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据构成三角形的条件可得，则由等腰三角形的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为等腰三角形，且，， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可知：， 故线段的长可能是11， 故选：D 5．D 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分当第二长的边为8时，当第二长的边为7时，当第二长的边为6时，当第二长的边为5时，四种情况根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的长即可得到答案． 【详解】解：当第二长的边为8时，则最短的边可以为1或2或3或4或5或6或7或8，此时有8种情况满足题意； 当第二长的边为7时，则最短的边可以为 2或3或4或5或6或7，此时有6种情况满足题意； 当第二长的边为6时，则最短的边可以为或3或4或5或6，此时有4种情况满足题意； 当第二长的边为5时，则最短的边可以为4或5，此时有2种情况满足题意； ∴共有中情况满足题意， 故选；D． 7．A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．依此即可求解． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截． 理由：，满足两边之和大于第三边． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了绝对值的非负性应用，算术平方根的非负性应用，三角形的三边关系应用，根据绝对值和算术平方根的非负性求出的值，再应用三角形的三边关系判断即可求解，解题的关键是掌握绝对值和算术平方根的非负性． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 当腰长，为底边长时， ∵， ∴不构成三角形， 当底边长，为腰长时， ∵， ∴能构成三角形， ∴三角形的周长， 故选：． 9．15 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键．根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可． 【详解】解：∵第三边， ∴第三边， ∵三边长都是奇数， ∴这个三角形第三边长的最大值是7， ∴这个三角形周长的最大值为， 故答案为：15． 10． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 11． 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，8， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为，，，，， ∴满足条件的值的和为， 故答案为：． 12．7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 13．6 【分析】本题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．根据三角形的周长和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：∵细铁丝的长度为，即三角形的周长为， ∵， ∴a是这个三角形最长的边， 由三角形三边的关系，得，而， ∴， 解得，， ∵a、b、c为整数， ∴a最大可取6． 故答案为：6． 14． 由，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长度均为自然数， ∴c只能取5或6，从而 a 3 4 1 2 3 b 5 4 6 5 4 c 5 5 6 6 6 ∴共可组成5个三角形． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边．根据，得，根据三角形三边关系，求出，根据，求出，根据的长度均为自然数，得出c只能取5或6，然后得出答案即可． 【详解】略 15．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 16．(1) (2)①；②，，的值为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）①由三角形三边关系定理列出不等式组，再求解即可； ②分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：①，，， ， ， 故答案为：； ②分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值为13，13，7． 17．(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴，解得：． （2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4． （3）解：设， 由题意可得：，解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $