13.1 三角形的概念 课时同步训练 2026-2027学年度人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形概念六维度知识点，以基础识别→关系理解→综合应用为路径，通过分层设计培养几何直观与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形定义、三要素及表示|图形辨析题（如1-4题）强化概念识别，培养空间观念| |巩固层|按角/边分类及等腰与等边关系|分类判断题（如13-16题）深化逻辑推理，提升推理意识| |综合层|多知识点融合应用|动态探究题（如第10题）构建模型，发展数学思维与应用意识|

2026-2027学年度人教版数学)八年级上册课时同步训练 第十三章三角形 13.1三角形的概念 课时目标 理解三角形的定义，掌握三角形的边、角、顶点三要素及符号表示方法，能准确识别 三角形的基本构成。 2.掌握三角形按角、按边的分类标准，理清等腰三角形与等边三角形的从属关系，能正 确对三角形进行分类。 课时目录 知识点01：三角形的定义 知识点02：三角形的三要素 知识点03：三角形的表示方法 知识点04：三角形按角分类 知识点05：三角形按边分类 知识点06：等腰三角形与等边三角形的关系 知识点01：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭平面图形叫做三角形。 1/10 需满足三个核心条件： 是三条线段： 三条线段不在同一直线上： 首尾顺次连接。 若三条线段共线，则无法构成三角形。 (2026七年级下·全国·专题练习)下列由三条线段组成的图形是三角形的是() B B 2.(25-26八年级上·山西朔州阶段检测)小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是() :X.人.“△小 3. (25-26八年级上：江西宜春·阶段检测)观察下列图形，其中是三角形的是() 人人八 4. (2425八年级上·云南曲靖·期中)下列图形中，是三角形的是() D 知识点02：三角形的三要素 三角形包含三个基本要素： 三条边：组成三角形的三条线段： 三个内角：相邻两边所夹的角： 2/10 三个顶点：两边的交点。 边的表示：可用两个顶点的大写字母表示（如边AB),也可用对应顶点的小写字母表示 （如顶点A的对边记为a)。 5.(25-26八年级上·河北邯郸期末)在△DEF中，DE边的对角是（) A.DF B.∠D C.∠E D.∠F 6.(25-26八年级上广西崇左阶段检测)在△ABE中，AB边所对的角是() B D A.∠ADB B.∠AEB C.∠ACB D.∠AEC 7.(25-26七年级下·上海阶段检测)在△ABC中，若∠A>∠B，,则BC>AC,其依据是 8.(25-26七年级下·上海奉贤·期末)在△ABC中，已知：AB>BC>CA,用“>”连接∠A、∠B、∠C应 为■ 知识点03：三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点字母按顺时针或逆时针顺序标注，记作△ABC(也可记作 △BCA、△CAB等，均表示同一个三角形)。 表示时需保证顶点顺序对应，避免混淆不同位置的三角形。 9.(25-26八年级上陕西榆林期中)如图，下列四个三角形中，以∠A为角的三角形是() D A.△ABE B.△BCD C.△BCE D.△CDE 10.(25-26八年级上湖北荆州阶段检测)如图，写出一个以∠B为角的三角形是 B DE 11.(25-26八年级上：广东广州期中)如图，在AB为其中一边， 3/10 D B (I)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是一： (2)属于等腰三角形的是 12.(25-26九年级上云南昆明期中)如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，连接BE, AD交于点F. (I)以AB为边的三角形有几个？用符号表示： (2)以点F为顶点的三角形有几个？用符号表示. 知识点04：三鱼形按角分类 根据最大内角的类型，三角形可分为三类： 锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）； 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）： 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。 三角形中最多存在一个直角或一个钝角，不可能有两个及以上的直角或钝角。 13.(25-26七年级下广东佛山期末)如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角.则三角 形的形状是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 14.(25-26七年级下·上海金山期末)在△ABC中，若∠A=90°，则△ABC是() 4/10 A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上三种情况都有可能 15.(25-26七年级下·上海杨浦·期末)如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是 () A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上皆有可能 16.(24-25七年级下福建宁德阶段检测)在△ABC中，∠A=20°，∠B=60,∠C=100°，那么△ABC是 三角形.（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 知识点05：三角形按边分类 根据三条边的长度关系，三角形可分为两类： 不等边三角形：三条边长度均不相等： 等腰三角形：至少有两条边长度相等。 其中，等腰三角形包含两类：底边与腰不相等的等腰三角形、等边三角形（三条边均相 等)。 17。(25-26八年级下浙江金华阶段校测)若，6C为△MBC的三边长，且a-b6-c)=0,则△1BC- 定是() A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 18.(25-26七年级上河北石家庄开学考试)一个三角形的三个内角分别是90°、45°、45°，这个三角形 一定是() A.锐角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 19.(25-26七年级上河北邯郸开学考试)如图，点B在∠A的一条边上固定不动，点C在∠A的另一条 边上可以任意移动，连接BC,三角形ABC() B ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A,只能是① B.只能是④ C.可能是①②③ D.可能是①②③④ 5/10 20.(25-26八年级上云南红河期中)已知a,b,c是△MBC的三边，且满足 -c+b-c=0 则△MBC 是 三角形. 知识点06：等腰三鱼形与等边三角形的送系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即腰与底边长度相等的等腰三角形。 因此等腰三角形包含等边三角形，二者是从属关系，而非并列关系。 21,(24-25七年级上江苏连云港开学考试)我们已经学了很多数学知识，它们之间有密切的联系.下列 不能正确表示它们之间关系的是() 三角形 平行四边形 等腰 等边 A 三角形 三角形 B 长方形 锐角 直角 有理数 三角形 三角形 D 钝角 整数 三角形 22. (25-26八年级上：全国课后作业)用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的 三角形.下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是() B A B A B B B D 23. (25-26八年级上·江苏盐城阶段检测)如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示() 等边三角形 A 不等边 三角形 A,直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 24.(25-26八年级上云南昆明阶段检测)如图表示三角形的分类，关于A,B两个区域的说法，正确的 是() 6/10 三边都不相等 的三角形 B A,A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B.A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C.A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D.A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 课时训练 一、选择题 1.(25-26七年级下广东清远期末)下列说法正确的是() A,两条直线被第三条直线所截，内错角相等B.等腰三角形是轴对称图形 C.相等的角是对顶角 D.打开电视机，它正在播广告 2.(25-26七年级下·河南周口阶段检测)图中共有()个三角形 A.2 B.4 C.6 D.8 3.(25-26七年级下·上海期末)如图，己知：DC∥AB,AC与BD相交于点O:现有如下命题： ①如果AB>OB>OA,那么∠AOB>∠OAB>∠OBA: ②如果OA<OB,那么OC>OD.下列判断正确的是() D A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①是真命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题 4.(2026陕西西安模拟预测)如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，DF⊥AB于F, DF交AC于E,图中有()个直角三角形. 7/10 E B C D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 5.(25-26八年级下·山东枣庄·期中)已知a,c是△ABC的两边，且满足a2-c2=0,则△ABC的形状一 定是 6.(25-26七年级下·新疆阿克苏期中)如图，已知a‖b,将等腰直角三角形ABC按图所示放置.若 ∠1=25°，则∠2=— 6 B 7.(2526八年级下北京开学考试)若实数y满足-2+y5-少=0，则以名y的值为边长的等腰 三角形的周长为 8.(25-26八年级上·江苏·期末)用一根长为20cm的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为6cm,则 另外两边的长分别为 三、解答题 9.(25-26七年级上江苏盐城期末)“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成 若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加， 445...An 效果更为斑斓绚丽（如图1），受此启发，小聪提出如下问题：设多边形 中，有个“内 点”，品，B,B,连接它们成张互相跳邻的三角形网(1=5，m=4 时的情形如图2).若 称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t,多边形的边数，多边形“内点”的个数 m之间存在怎样的数量关系. 8/10 4 B B A3 图1 图2 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形(=3)时，列表如下： 三角形(n=3 三角形内点的 个数() 网眼个数(t) (1)表中x= y= 根据上述探索过程，猜想ル，t之间满足的等量关系为 (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形(n=4)时，写出，t之间满足的等量关系 3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数. 10.(25-26九年级下吉林长春期中)如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3.点P从点C出发，以 每秒2个单位长度的速度沿C-A-B向终点B运动，设点P运动的时间为t秒(>O) 4 P B (I)当点P在A-B上运动时，AP的长为（用含的代数式表示）· (2)当△PAC是以AC为腰的等腰三角形时，求t的值. (3)当CP将△ABC分成的两部分的面积相等时，求t的值. 9/10 (4)当点P与△ABC的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为2：3时，直接写出t的值. 10110 2026-2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训练 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 ▌课时目标 1. 理解三角形的定义，掌握三角形的边、角、顶点三要素及符号表示方法，能准确识别三角形的基本构成。 2. 掌握三角形按角、按边的分类标准，理清等腰三角形与等边三角形的从属关系，能正确对三角形进行分类。 ▌课时目录 知识点01：三角形的定义 知识点02：三角形的三要素 知识点03：三角形的表示方法 知识点04：三角形按角分类 知识点05：三角形按边分类 知识点06：等腰三角形与等边三角形的关系 ▌知识点01：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭平面图形叫做三角形。 需满足三个核心条件： 1. 是三条线段； 2. 三条线段不在同一直线上； 3. 首尾顺次连接。 若三条线段共线，则无法构成三角形。 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【详解】解：A项：选项中是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，不符合题意； B项：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，不符合题意； C项：3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，符合题意； D项：有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． ▌知识点02：三角形的三要素 三角形包含三个基本要素： 1. 三条边：组成三角形的三条线段； 2. 三个内角：相邻两边所夹的角； 3. 三个顶点：两边的交点。 边的表示：可用两个顶点的大写字母表示（如边AB），也可用对应顶点的小写字母表示（如顶点A的对边记为a）。 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 6．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 7．（25-26七年级下·上海·阶段检测）在中，若，则，其依据是___________． 【答案】 在同一个三角形中，大角对大边 【详解】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边， 故答案为：在同一个三角形中，大角对大边． 8．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． ▌知识点03：三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点字母按顺时针或逆时针顺序标注，记作△ABC（也可记作△BCA、△CAB等，均表示同一个三角形）。 表示时需保证顶点顺序对应，避免混淆不同位置的三角形。 9．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 10．（25-26八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，写出一个以为角的三角形是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义． 根据三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：以为角的三角形是， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【答案】(1) 解：所画三角形如图所示， ，，，，，，，，， (2)，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． （1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可； （2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可． 【详解】（1）图略 三角形有：，，，，，，，，， （2）解：属于等腰三角形的是，，， 故答案为：，，． 12．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】(1)个， (2)个， 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． ▌知识点04：三角形按角分类 根据最大内角的类型，三角形可分为三类： 1. 锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）； 2. 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）； 3. 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。 三角形中最多存在一个直角或一个钝角，不可能有两个及以上的直角或钝角。 13．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 14．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 15．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 16．（24-25七年级下·福建宁德·阶段检测）在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． ▌知识点05：三角形按边分类 根据三条边的长度关系，三角形可分为两类： 1. 不等边三角形：三条边长度均不相等； 2. 等腰三角形：至少有两条边长度相等。 其中，等腰三角形包含两类：底边与腰不相等的等腰三角形、等边三角形（三条边均相等）。 17．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 18．（25-26七年级上·河北石家庄·开学考试）一个三角形的三个内角分别是、、，这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握“等角对等边”是解决本题的关键． 根据三角形内角分别是、、，由两个相等的角，再结合三角形的分类标准进行判断即可． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角分别是、、， 有两个相等的角均为， 由等角对等边，可知这个三角形一定是等腰三角形． 故选：B ． 19．（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【答案】D 【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可． 【详解】解：如图，当时，此时三角形为锐角三角形； 如图，当或时，此时三角形为直角三角形； 或 如图，当或时，此时三角形为钝角三角形； 或 如图，当或或时，此时三角形为等腰三角形； 或或 综上，三角形可能是①②③④． 故选：D． 20．（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． ▌知识点06：等腰三角形与等边三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即腰与底边长度相等的等腰三角形。 因此等腰三角形包含等边三角形，二者是从属关系，而非并列关系。 21．（24-25七年级上·江苏连云港·开学考试）我们已经学了很多数学知识，它们之间有密切的联系．下列不能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形，四边形，有理数分类，解答本题需熟练掌握分类标准，明确分类方法．根据等边三角形、等腰三角形之间的关系；三角形按照角度分类：锐角三角形，钝角三角形和直角三角形；有理数包含整数和分数；长方形属于特殊的平行四边形；进行解答即可． 【详解】解：A．等边三角形属于特殊的等腰三角形，等腰三角形属于特殊的三角形，因此等边三角形应该是等腰三角形的圆圈内，故A符合题意； B．长方形属于特殊的平行四边形，故B不符合题意； C．三角形按照角度可以分为：锐角三角形，钝角三角形和直角三角形，故C不符合题意； D．整数属于有理数，故D不符合题意． 故选：A． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系. 故选：B ． 23．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 24．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形， 根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·广东清远·期末）下列说法正确的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．等腰三角形是轴对称图形 C．相等的角是对顶角 D．打开电视机，它正在播广告 【答案】B 【分析】根据平行线性质，轴对称图形定义，对顶角定义和事件概念逐一判断选项． 【详解】解：A、只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，该选项未说明两直线平行，故本选项的说法错误； B、等腰三角形沿底边的垂直平分线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，符合轴对称图形的定义，即等腰三角形是轴对称图形，故本选项的说法正确； C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，如两平行线被第三条直线所截，同位角相等但不是它们对顶角，故本选项的说法错误； D、“打开电视机，它正在播广告”没有对事情作出判断，故本选项的说法错误． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据“大角对大边，小角对小边”进行求解即可． 【详解】解：在一个三角形中，根据大角对大边，小角对小边可知：在中，，则有，故①是真命题； 若，则有， ∵， ∴， ∴， ∴，故②是假命题； 综上所述：①是真命题，②是假命题． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 二、填空题 5．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 【详解】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 6．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 7．（25-26八年级下·北京·开学考试）若实数满足，则以的值为边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到和的值，然后再利用等腰三角形性质和三角形三边关系进行解题 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、， ∵， ∴能组成三角形，周长为； ②5是底边时，三角形的三边分别为5、、， ∵ ∴能组成三角形， 周长． 综上所述，等腰三角形的周长是或． 故答案为或． 8．（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 三、解答题 9．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 【答案】(1)，； (2) (3)这个多边形“内点”的个数为 【分析】本题考查了多边形的三角剖分规律探究，解题的关键是通过特殊情形归纳出一般数量关系，再结合多边形边数与内点个数推导“网眼”数的公式． （1） 当时，观察内点个数与网眼数的对应关系：时，时，时，归纳得； （2） 当时，同理归纳得； （3） 由一般规律，结合，代入化简得． 【详解】（1）解：观察图形，网眼个数如下： 当时，，即； 当时，，即； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：，；． （2）解：如图，当时， 取，得； 取，得； 取，得； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：． （3）解：由多边形三角剖分的一般规律，得． 已知，代入得， 化简得， 解得． 答：这个多边形“内点”的个数为． 10．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为_（用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)0.9或2.4或3.6 【分析】（1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知，进而可知，根据列方程求解即可； （4）分为点P在上、点P在上当点P在上时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． / 学科网（北京）股份有限公司 $