奥数培优第13讲 染色中的抽屉原理（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义・第 13 讲 染色中的抽屉原理 【前言】 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 抽屉原理（鸽巢原理）是奥数经典逻辑专题，染色抽屉原理是抽屉原理几何化、生活化拓展题型，将点连线、方格涂色、人际关系转化为 “物品、抽屉” 模型，依靠分类计数、构造抽屉完成证明，是小升初逻辑证明类高频压轴题。 本讲统一两类核心模型：点连线染色（人际相识模型）、矩形方格染色，配套分层例题、标准化证明步骤，掌握构造抽屉思路即可破解所有同类证明题。 【三维教学目标】 知识与技能 掌握抽屉原理基础公式：物品数 ÷ 抽屉数，有余数则至少数 = 商 + 1；无余数至少数 = 商；学会两类染色题型抽屉构造方法：线段染色（点图）、方格列染色；能独立完成逻辑证明，规范书写 “造抽屉→算总数→应用原理→得出结论” 四步证明格式；能把生活人际问题转化为点线染色几何模型。 过程与方法 通过画图建模，把抽象文字题转化为点、线段、方格直观图形；归纳 “颜色种类 = 抽屉数量” 核心构造技巧；对比 2 色、3 色染色题型，区分一次抽屉、二次抽屉嵌套证明思路。 情感态度与价值观 锻炼逻辑推理、严谨证明能力，建立几何转化代数的思维；克服证明类题目畏难心理，学会分步拆解复杂条件；感受数形结合、分类讨论数学思想。 【教学重难点】 重点 抽屉原理基础计算公式；2 色点连线（6 人相识）、2 色方格列染色基础题型；标准证明书写四步法。 难点 3 色嵌套二次抽屉证明（17 个点三色连线）；多行方格四角同色矩形构造证明；自主根据题意构造对应数量的抽屉。 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错 1：抽屉数量数错，几种颜色就对应几个抽屉； ⚠️ 易错 2：计算染色组合种类时漏算、重复计数； ⚠️ 易错 3：二次嵌套抽屉忘记分步推导，直接下结论； ⚠️ 易错 4：证明题缺少画图、分类讨论，步骤缺失扣分； ⚠️ 易错 5：方格四角同色题型忽略两行组合条件，逻辑断层； ⚠️ 易错 6：混淆 “至少存在” 和 “全部都是” 两种结论表述。 一、知识点总结 （一）抽屉原理核心公式 把件物品放入个抽屉中： 1. 若 ，至少有一个抽屉放件物品； 2. 若 无余数，至少有一个抽屉放件物品。 （二）染色抽屉两大核心模型 模型 1：平面点连线染色（人际相识模型） 1. 转化规则：平面点代表人，线段代表两人关系； 2. 颜色含义：2 种颜色 = 两种关系（相识 / 不相识）；3 种颜色 = 三层关系； 3. 核心结论：6 个点 2 色连线→必存在同色三角形；17 个点 3 色连线→必存在同色三角形； 4. 解题逻辑：任取一点，向外引出线段按颜色分抽屉，先证至少多条同色线段，再对剩余点二次应用抽屉原理。 模型 2：矩形方格列染色 1.抽屉构造：每一列的全部涂色组合视为 1 个抽屉； 2.计算方法：每格颜色数 ^ 每列格子数 = 总抽屉（总染色方案）； 3.两类考法： ① 列完全相同：列数＞抽屉数，必有两列涂色一模一样； ② 四角同色矩形：利用单列格子颜色分布，找到两行两列 4 角同色方格。 （三）标准证明四步法 1.建模转化：文字题画点 / 方格图； 2.构造抽屉：算出总抽屉数量； 3.套用原理：计算物品数量，推出至少同抽屉数量； 4.分类讨论：分情况证明必出现题目要求图形 / 关系。 二、经典基础例题（3 道） 例 1 六点两色连线（六人相识问题）★基础 题目：平面 6 个点无三点共线，任意两点用红、蓝线段连接，求证：一定存在三边同色的三角形。 【解题思路】任取一点引出 5 条线段，2 色分 2 个抽屉，先得至少 3 条同色线段，再对剩余三点分类讨论。 【完整证明】 取点 A，向 B、C、D、E、F 连 5 条线段，仅红、蓝 2 种颜色，抽屉数 = 2； ，因此至少有 3 条线段颜色相同，不妨设 AB、AC、AD 为红色； 观察 B、C、D 三点之间连线： 情况①：BC、CD、DB 中任意一条为红色，如 BC 红，则△ABC 三边全红，满足； 情况②：BC、CD、DB 全部为蓝色，则△BCD 三边全蓝，满足； 综上，无论如何连线，必然存在同色三角形。 【方法总结】 2 色 6 点模型，一次抽屉 + 剩余三点分类讨论。 【随堂小练 1】 6 位游客，任意两人要么相识要么陌生，证明必有 3 人互相认识 / 互不认识。 例 2 2×5 方格两色涂色（列完全相同）★基础 题目：2 行 5 列长方形，每个方格黑白随机涂色，证明必有两列涂色方式完全一样。 【完整证明】 构造抽屉：每列 2 格，每格 2 色，总染色方案：种（4 个抽屉）； 物品为 5 列，； 根据抽屉原理，至少有列落入同一抽屉，即两列涂色完全相同。 【方法总结】 列相同题型：先算单列全部涂色组合 = 抽屉数，列数超抽屉则必有重复。 【随堂小练 2】 2×9 黑白方格，求证至少 3 列涂色完全一致。 例 3 3×n 三色方格，求最小 n 保证 3 列相同 ★提升 题目：每列 3 格，红、白、蓝三色涂色，n 至少多少，才能保证至少 3 列染色完全一样？ 【完整解析】 单个 3 格列染色总方案：种（27 个抽屉）； 要保证至少 3 列同抽屉：； 答：n 最小为 55。 【方法总结】 保证至少 k 列相同：抽屉数 ×(k-1)+1。 【随堂小练 3】 3×n 两色方格，至少多少列能保证 4 列涂色完全一致？ 三、拓展拔高例题（3 道嵌套抽屉竞赛题） 拓展 1 17 点三色连线（二次抽屉嵌套）★★拔高 题目：平面 17 个点无三点共线，红、蓝、白三色连线，求证必存在同色三角形。 【完整证明】 任取一点 A，向外连 16 条线段，3 种颜色，抽屉数 = 3； ，至少 6 条线段同色，设 AB、AC、AD、AE、AF、AG 为红色； 对 B、C、D、E、F、G 六个点，仅蓝、白两色连线； 由例 1 结论：6 点 2 色连线一定存在同色三角形，与 A 点红色线段构成三边同色三角形。 【方法总结】 3 色多点题型：两次运用抽屉原理，先分出 6 条同色线段，再套用 6 点 2 色模型。 【随堂小练 4】 19 个人，三层关系（亲密 / 一般 / 疏远），证明必然能找到 3 人，任意两人之间的关系为同一等级。 拓展 2 3×7 黑白方格（四角同色矩形）★★拔高 题目：3 行 7 列方格，黑白涂色，证明一定存在四个角同色的长方形。 【证法一（按列抽屉）】 每列 3 格黑白，总染色方案种，现有 7 列； 8 种里只出现 7 种，至少有两种染色方案重复； ① 重复列含 2 白：两列 2 白交叉，四角全白矩形； ② 重复列含 2 黑：两列 2 黑交叉，四角全黑矩形； 【证法二（按行分层）】 第一行 7 格黑白，7÷2=3 余 1，至少 4 格同色（设白色）； 取前 4 列，观察第二、三行对应 4 格，每列 2 格黑白仅 4 种方案； 4 列放入 4 抽屉，必有两列方案一致，两行相同位置搭配第一行白色格子，四个顶点同为白色，组成四角同色矩形。 【随堂小练 5】 3×6 黑白方格，证明存在四角同色长方形。 拓展 3 5×5 黑白方格四角同色证明 ★★★竞赛 题目：5 行 5 列方格黑白涂色，求证存在四角同色矩形。 【完整证明】 第一行 5 格黑白，5÷2=2 余 1，至少 3 格同色（白色）； 取前 3 列，下方构成 3×4 子方格； 子方格每行 3 格，黑白组合仅 4 种：两白一黑、一白两黑、全白、全黑； 分两类讨论： ① 任意一行出现 2 个白格，与第一行对应两列构成四角白色矩形； ② 每行最多 1 个白格，仅剩余 3 种组合，4 行放入 3 抽屉，必有两行染色完全相同，两行两个黑格交叉形成四角黑色矩形。 【随堂小练 6】 4×6 黑白方格，证明存在四角同色长方形。 四、易错题专区（3 道典型错例） 易错题 1 染色抽屉数量算错 题目：列3格，红、蓝两色，多少种染色方案？ 错误：2+3=5 种 正确：种 方案1 方案2 方案3 方案4 方案5 方案6 方案7 方案8 红 红 红 红 蓝 蓝 蓝 蓝 红 红 蓝 蓝 红 红 蓝 蓝 红 蓝 红 蓝 红 蓝 红 蓝 【避坑】每一格独立选色，方案数 = 颜色数 ^ 每列格子数。 易错题 2 二次抽屉省略分步 题目：17 点三色连线，直接说 16÷3=5 余 1，必有同色三角形 错误：缺少 “剩余 6 点两色必出三角形” 第二步推导，证明不完整 【避坑】多色多点题型必须分两步抽屉，完整分类。 易错题 3 四角矩形只看全黑 / 全白，忽略两白组合 题目：两列各有两个白色方格，忽略能组成四角白矩形 错误：只有全白列才能构造矩形 正确：两列只要同一行有相同颜色方格，交叉即构成四角同色矩形。 五、趣味挑战题 趣味 1 题目：8 个人，任意两人只有相识、陌生两种关系，证明一定存在至少 3 人互相认识，或至少 3 人互不认识 解： 建模：8 人对应平面 8 个点，两点连线代表关系，红 = 相识，蓝 = 陌生，2 种颜色为 2 个抽屉。 任取一点 A，向外连 7 条线段，，至少 4 条线段同色，不妨设 AB、AC、AD、AE 为红色（A 与 B/C/D/E 全部相识）。 讨论 B、C、D、E 四点之间的连线： 情况 1：四点中任意一条线段为红色，如 BC 红，则 A、B、C 三人两两相识； 情况 2：B、C、D、E 四点全部为蓝色连线，那么这 4 人中任意 3 人都两两陌生，必然存在 3 人互不认识。 综上，无论如何，一定能找到 3 人互相认识，或 3 人互不认识，得证。 趣味 2 题目：4 行 n 格，红、白、蓝三色涂色，求最小 n，保证至少 4 列涂色完全一致。 解： 构造抽屉：每列 4 个方格，每格有红、白、蓝 3 种颜色可选， 单列全部涂色方案总数 = 种（共 81 个抽屉）。 题型公式：保证出现 k 列相同，最少列数 = 抽屉数 × 本题目标，代入计算： 答：n 最小取 244。 趣味 3 题目：6 行 6 列黑白方格任意涂色，求证至少存在 2 个四角同色长方形 解： 每行 6 格黑白，至少 3 格同色（以白色为例），3 个白格两两搭配有 3 种列组合； 6 行合计至少有 6×3=18 组白色两列搭配； 整个方格只有 6 列，任选两列一共只有 15 种不同搭配； 18 组分配到 15 种两列搭配，至少有 2 组搭配完全相同； 同一组两列出现两组白色行，就能形成 2 个四角白色矩形； 若白色数量不足，则黑色格子更多，同理能得到 2 个黑色四角矩形； 综上，6×6 方格一定存在至少 2 个四角同色长方形。 六、一题多解精选（拓展 2 3×7 方格） 方法 1：列染色抽屉法（课堂首选），依靠 8 种列方案对比，步骤简洁； 方法 2：分行分层抽屉法，逐行分析同色格子数量，逻辑更直观。 点评：基础证明优先列抽屉法，拔高训练两种方法都掌握。 七、基础必做习题（3 道） 基础 1 题目：6 位游客，两人要么相识要么陌生，求证必有 3 人互相认识或互不相识； 基础 2 题目：2×9 方格黑白涂色，证明至少 3 列涂色完全相同； 基础 3 题目：3×n 红、白、蓝三色方格，n 最小多少能保证至少 3 列涂色一样。 八、拓展拔高习题（1 道） 题目：3 行 9 列黑白方格，任意涂色，求证一定存在四个角同色的长方形。 九、随堂小练完整答案 随堂小练 1 题目：6 位游客，任意两人要么相识要么陌生，证明必有 3 人互相认识，或互不认识。 解 建模：6 人对应平面 6 个点，两点连线代表两人关系，红色 = 相识，蓝色 = 陌生，共 2 种颜色（2 个抽屉）。 任取一点 A，连出 5 条线段，，至少 3 条同色。不妨设 AB、AC、AD 为红色（代表 A 与 B、C、D 都认识）。 观察 B、C、D 之间连线： 若 BC/CD/DB 任意一条红色：对应三人互相认识； 若全部蓝色：B、C、D 三人两两陌生。 综上，必然存在 3 人互相认识或互不认识，得证。 随堂小练 2 题目：2 行 9 列方格，黑白两色涂色，求证至少 3 列涂色完全一样。 解 构造抽屉：每列 2 格，每格 2 种颜色，总染色方案种（4 个抽屉）。 物品：共 9 列，，有余数，。 抽屉原理：至少 3 列落入同一种涂色方案，即至少 3 列涂色完全相同，得证。 随堂小练 3 题目：3×n 方格，黑白 2 色，至少多少列，能保证 4 列涂色完全一致？ 解 抽屉数量：每列 3 格，2 色，总方案种。 保证出现 4 列相同，公式：抽屉数 ×(目标数量 - 1)+1 答：n 最小取 25。 随堂小练 4 题目：19 个人，关系分为“亲密 / 一般 / 疏远” 3 种，证明必然能找到 3 人，任意两人之间的关系为同一等级。 解 建模：19 人 = 19 个点，线段代表关系，3 种颜色 = 3 个抽屉。 任取一点 A，向外连 18 条线段，，无余数，至少 6 条线段同一种关系（设为亲密）。 剩余 6 个人，只存在一般、疏远 2 种关系，套用 6 点 2 色模型：6 个点 2 色连线，必存在 3 人两两同一种关系。 结合第一步的 6 条亲密线段，这 3 人与 A 共同构成 3 人关系等级完全相同，得证。 随堂小练 5 题目：3 行 7 列黑白方格，证明存在四角同色长方形。 证法一（列抽屉）： 每列 3 格黑白共 8 种方案，现有 7 列，必有两列方案相同。 若两列中有至少两个白色或至少两个黑色（由于两列完全相同，它们的黑色/白色位置相同），则两列相同颜色位置的交叉形成四角同色矩形。 因为每列 3 格，必有至少两格同色（黑白两色，3 格中至少 2 格同色）， 所以两列相同颜色格子交叉即得矩形。 故得证。 随堂小练 6 题目：5 行 5列黑白方格，证明存在四角同色长方形。 解 第一行 5 格，至少 3 格同色（设白色），取这 3 列。剩余 4 行，每行 3 格，黑白组合共 8 种，但只需分类： 若某一行有两个白格，则与第一行两白格构成白色矩形； 若每一行最多一个白格，则每行至少两个黑格， 4 行中每行的黑格位置（从 3 列中选 2 列）最多 3 种可能， 4 行必有 2 行选择相同，这两行对应黑格交叉构成黑色矩形。 故得证。 十、基础习题完整解答 基础 1 题目：6 位游客，两人要么相识要么陌生，求证必有 3 人互相认识或互不相识。 完整解答（同随堂小练 1 标准证明） 建模转化：6 个人对应 6 个点，两点之间连线代表两人关系，红色 = 相识，蓝色 = 陌生，颜色为抽屉，共 2 个抽屉。 任选一点 A，连接其余 5 人，5 条线段分给 2 种颜色：，至少 3 条线段同色。假设 AB、AC、AD 为红色（A 认识 B、C、D）。 分析 B、C、D 三点连线： ① BC 为红色 → A、B、C 三人两两相识； ② BC、CD、DB 全为蓝色 → B、C、D 两两陌生。 两种情况必有一成立，得证。 基础 2 题目：2×9 方格黑白涂色，证明至少 3 列涂色完全相同。 解 抽屉：每列 2 格，2 色，总涂色方案种。 总列数 9，，商 + 1=3。 至少 3 列涂色方案完全一致，得证。 基础 3 题目：3×n 方格，红、白、蓝三色，n 最小多少，能保证至少 3 列涂色一样？ 解 计算抽屉总数：每列 3 格，3 种颜色，方案数种。 保证 3 列相同：。 答：n 最小是 55。 十一、拓展习题完整解答 【题目】3 行 9 列黑白方格，任意涂色，求证一定存在四个角同色的长方形。 完整证明 抽屉构造：每列 3 格，黑白组合共种。 现有 9 列，，至少两列涂色方案完全相同。 任意一组相同列，由于两列完全一样，它们在每一行的对应格子颜色都相同。任取其中两行，这两行在两列上的四个顶点颜色相同，构成四角同色长方形，得证。 十二、本讲全套总结 （一）思维导图 （二）核心速查表 题型 抽屉构造关键 核心计算 点连线人际 颜色数量 = 抽屉数 取一点算线段分配，剩余点二次推导 列完全相同 单列所有涂色组合为抽屉 总方案 = 颜色数 ^ 每列格数 四角同色矩形 先找单行大量同色格，再看下方子方格 两行同色交叉构成矩形 （三）避坑清单 1.计算单列染色方案用乘方，不可加减； 2.三色多点证明必须分两次抽屉，步骤不能省略； 3.四角同色矩形只需两列对应位置同色，不用整列全同； 4.证明题必须画图 + 分类讨论，逻辑完整不跳步； 5.区分 “保证至少 k 个” 公式：抽屉 ×(k-1)+1。 （四）解题记忆小口诀 染色抽屉分两类，点线方格各有规； 颜色当作抽屉数，物品对应线段列； 六点两色三角现，十七三色两步推； 方格组合乘方算，四角矩形找同行（同列）； 证明四步不能少，分类画图逻辑全。 恭喜你完成了本讲的学习！你真棒！🎉 学科网（北京）股份有限公司 $