奥数培优·第9讲 流水行船问题（讲义）2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义・第 9 讲 流水行船问题 【前言】 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 流水行船是行程问题经典分支，融合路程、速度、时间基础公式，新增船速、水速、顺水速、逆水速四类核心量，还拓展水中相遇、追及、漂流物难题，是小升初行程高频考点。本讲系统梳理全套公式、两类基础题型、水中相遇追及模型，搭配分层例题与配套习题，掌握后可解决所有流水类奥数题。 【三维教学目标】 知识与技能 熟记船速、水速、顺水速度、逆水速度 4 组核心互推公式； 掌握单程往返、两船往返综合计算题型解题步骤； 理解水中相遇、追及消水速原理，会求解漂流物问题； 能综合运用和差思想、行程公式处理多步流水应用题。 过程与方法 通过静水、流水速度对比，直观理解水流对船只的加速 / 减速作用； 归纳基础流水、水中相遇、水中追及三大题型固定解题模板； 规范 “求速度→求路程→求时间” 三步书写格式，减少步骤失分。 情感态度与价值观 感受行程模型的转化思想（流水相遇 = 静水相遇），简化复杂问题； 培养画图标注速度、路程的审题习惯，降低文字题理解难度； 体会数学等量互推逻辑，提升逻辑计算能力。 【教学重难点】 重点 顺水、逆水、船速、水速四者互推和差公式；基础往返流水题（已知路程、顺水 / 逆水时间求船速、水速）；单船往返总时间计算方法。 难点 水中相遇、追及水速抵消原理理解； 漂流物（水壶）追及问题，区分漂流速度 = 水速； 多条件综合题型（轮船 + 帆船双船对比计算）。 【 高频易错总提示】 ⚠️ 易错 1：公式记反，正确公式：顺水 = 船速+水速、逆水 = 船速−水速； ⚠️ 易错 2：求船速、水速忘记用和差公式，直接顺水 / 逆水 ÷2； ⚠️ 易错 3：水中相遇 / 追及额外加减水速，忽略水速会抵消； ⚠️ 易错 4：漂流水壶速度错当成船速，实际仅等于水流速度； ⚠️ 易错 5：往返总时间只算单程，忘记顺水、两段时间相加； ⚠️ 易错 6：计算时路程、速度单位不统一（米 / 千米混淆）。 一、知识点总结 （一）基础定义 1. 船速（静水速度）：船在静止水中单独行驶的速度； 2. 水速：河水自身流动的速度； 3. 顺水速度：船顺着水流行驶，水流助推，速度更快； 4. 逆水速度：船逆着水流行驶，水流阻碍，速度变慢。 （二）核心 4 组基础公式 1. 顺水速度 = 船速 + 水速 2. 逆水速度 = 船速 − 水速 3. 和差推导（已知顺水、逆水求船速、水速） 4. 船速 =（顺水速度 + 逆水速度）÷ 2 5. 水速 =（顺水速度 − 逆水速度）÷ 2 6. 变形推导 7. 船速 = 顺水速度 − 水速 8. 船速 = 逆水速度 + 水速 9. 水速 = 顺水速度 − 船速 10. 水速 = 船速 − 逆水速度 （三）行程通用底层公式（流水题通用） 路程 = 速度 × 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 （四）拓展：水中相遇 & 追及核心规律 1. 两船相向（相遇） 甲顺水速 + 乙逆水速 =（船甲 + 水速）+（船乙−水速） = 船甲 + 船乙 ✅ 结论：相遇速度和与水速无关，等同于静水两船速度和，相遇时间只看两港距离、两船船速。 2. 两船同向（追及） ① 同顺水：甲顺水速 − 乙顺水速 =（船甲 + 水）−（船乙 + 水）= 船甲−船乙 ② 同逆水：甲逆水速 − 乙逆水速 =（船甲−水）−（船乙−水）= 船甲−船乙 ✅ 结论：追及速度差与水速无关，追及时间只看路程差、两船船速差。 （五）漂流物（水壶 / 木头）规律 漂流物体无动力，自身速度 = 水流速度； 船与漂流物的速度差 = 船速（水速抵消）， 船与漂流物的追及时间 = 相距路程 ÷ 船速。 二、经典基础例题（3 道） 例 1 基础和差求船速、水速 ★基础 题目：甲乙两港水路长 208 千米，顺水 8 小时到达，逆水 13 小时返回，求船静水速度、水流速度。 【解题思路】先用路程 ÷ 时间分别算出顺水、逆水速度，再用和差公式求船速、水速。 【完整解析】 顺水速度：（千米/时） 逆水速度：（千米/时） 船速：（千米/时） 水速：（千米/时） 【答】船静水速度 21 千米/时，水流速度 5 千米/时。 【方法总结】 已知往返路程、往返时间，先求顺水、逆水速度，再用和差公式计算船速水速。 【随堂小练 1】 水路 234 千米，顺水 9 小时，逆水 13 小时，求船速、水速。 例 2 单程顺水，求逆水返回时间 ★基础 题目：船静水 15 千米/时，水速 3 千米/时，顺水行驶 8 小时从甲到乙，原路逆水返回需要多久？ 【解题思路】先算顺水速度，求出两港路程；再算逆水速度，路程 ÷ 逆水速 = 返回时间。 【完整解析】 顺水速度：（千米/时） 甲乙路程：（千米） 逆水速度：（千米/时） 返回时间：（小时） 【答】逆水返回需要 12 小时。 【方法总结】 顺水行程求返回，核心先算出固定两港路程。 【随堂小练 2】 题目：船静水速度 18 千米/时，水速 2 千米/ 时，顺水 4小时行完全程，逆水需要几小时？ 例 3 轮船 + 帆船往返综合题 ★提升 题目：甲乙两港 360 千米，轮船往返 35 小时，逆流比顺流多 5 小时；帆船静水 12 千米/时，求帆船往返总时长。 【解题思路】先根据和差求出轮船顺、逆流时间，算出顺水 / 逆水速，推导水速；再算帆船顺、逆速度，两段时间相加。 【完整解析】 轮船逆流时间：（小时） 轮船顺流时间：（小时） 轮船逆速：（千米/时） 轮船顺速：（千米/时） 水速：（千米/时） 帆船顺速：（千米/时） 帆船逆速：（千米/时） 帆船往返时间：（小时） 【答】帆船往返需要 64 小时。 【方法总结】 多船综合题，先通过已知船求出水速，再代入第二艘船计算。 【随堂小练 3】 两港 360 千米，客轮往返 30 小时，逆水多 6 小时，小艇静水速度 10 千米/时，求小艇往返时间。 三、拓展拔高例题（3 道） 拓展 1 漂流水壶追及问题 ★★拔高 题目：小船静水 4 千米/时，水速 2 千米/时，向上游行驶时掉落水壶，发现时相距 2 千米，多久能追回水壶？ 【解题思路】 水壶漂流速度 = 水速； 船掉头顺水速度 = 船速 + 水速， 速度差 = 船速，直接路程 ÷ 船速。 【完整解析】 速度差 =（船速 + 水速）− 水速 = 船速 = 4 千米/时 追及时间：（小时） 【答】0.5 小时能追回水壶。 【方法总结】 漂流物与船的相对速度只等于静水船速，水流速度会相互抵消，追及时间直接用相距路程 ÷ 船速，无需计算顺水、漂流两个速度。 【随堂小练 4】 船静水 6（千米/时），水速 1（千米/时），逆行丢木盒，相距 3km，多久追上？ 拓展 2 两港相向相遇问题 ★★拔高 题目：两港相距 336 千米，甲船静水 24（千米/时），乙船静水 32（千米/时），两船同时相向出发，多久相遇？ 【解题思路】水中相遇速度和 = 两船静水速度和，与水流无关，总路程 ÷ 速度和。 【完整解析】 速度和：（千米/时） 相遇时间：（小时） 【答】6 小时后两船相遇。 【方法总结】 两船在流水里相向而行，水流对两船的加速、减速作用刚好抵消，计算相遇时间直接用两港总路程 ÷ 两船静水速度之和即可。 【随堂小练 5】 题目：两港 240km，甲船静水 22（千米/时），乙船静水 18（千米/时），同时相向出发，求相遇时间？ 拓展 3 同向追及综合题 ★★★竞赛 题目：两港 336 千米，甲船在前、乙船在后，静水速度 24、32 千米/时，同向出发，多久乙追上甲？ 【解题思路】水中追及速度差 = 两船静水速度差，和水速无关，路程 ÷ 速度差。 【完整解析】 速度差：（千米/时） 追及时间：（小时） 【答】42 小时乙船追上甲船。 【方法总结】 流水同向追及问题，水速不改变两船的速度差值，直接用路程差 ÷ 快慢船静水速度差，就能算出追及时长。 【随堂小练 6】 两港 180km，快船 26（千米/时），慢船 18（千米/时），慢船在前，同向行驶，多久追上？ 四、易错题专区（3 道典型错例） 易错题 1 顺水逆水公式记反 题目：船速 20，水速 4，求顺水速度 错误： 正确：顺水 = 船速 + 水速 = 【避坑口诀】顺水加、逆水减。 易错题 2 相遇额外加减水速 题目：甲 22、乙 28，水速 3，相向相遇速度和 错误：（步骤多余，结果恰好正确是因为本题两船水速抵消后数值未变） 逻辑错误：若两船船速不同或水速不对称，这样列式会出错。 正确理解：速度和 = 22+28 =50，水速直接抵消，无需加减。 易错题 3 漂流物速度当成船速 题目：船速 5，水速 2，掉落水壶相距 4km 错误： 正确：速度差 = 5，小时 【避坑】水壶只随水流动，无船速。 五、趣味挑战题 【趣味 1】 漂流计算 题目：无动力木筏从 A 港顺水漂到 B 港，已知船顺水走完全程需要 10 小时，逆水走完全程需要 15 小时，求木筏从 A 漂到 B 全程需要多久？ 【解】 设两港全程路程为单位 “1” 顺水速度： 逆水速度： 根据和差公式求水速： 水速 木筏无动力，速度 = 水速，漂流总时间： （小时） 答：木筏全程需要 60 小时。 【趣味 2】 双水速对比 题目：同一条河，涨水后水速翻倍，船往返两港的总时间会变长还是变短？说明理由。 【解】 结论：往返总时间变长。 证明： 设两港距离为，船静水速度，原水速，涨水后水速。 原往返总时间： 涨水后往返总时间： 分子相同，分母，分数值更大，即。 因此水速变大，往返总时间变长。 六、一题多解精选（一题两法） 【题目】水路 208km，顺水 8h，逆水 13h，求船速水速 【公式】 顺水速度 = 船在静水中速度 + 水流速度 逆水速度 = 船在静水中速度 − 水流速度 方法一：先求顺水、逆水速度，和差法（常用） 步骤 1：算出顺水速度、逆水速度 顺水速度：路程 ÷ 顺水时间 逆水速度：路程 ÷ 逆水时间 得到： 船速 + 水速 = 26 船速 − 水速 = 16 这就是典型和差问题： 大数（船速） 小数（水速） 船速： 水速： 验算： 顺水：， ✔ 逆水：， ✔ 答：船速 21 千米每小时，水速 5 千米每小时。 方法二：算术推理法（容易理解） 同样先算： 顺水速度：（km/h） 逆水速度：（km/h） 顺水：船往前开，水帮忙推，得到 26； 逆水：水阻碍船，得到 16。 对比看：顺水比逆水每小时多走 千米。 为什么会多 10？顺水多加了一次水速，逆水减掉一次水速。 也就是：多出来的 10，等于2 倍的水速。 水速：（千米 / 时） 知道水速是 5，代入顺水： 船速（千米 / 时） 【总结】 方法一（和差）：考试最常用，速度快； 方法二（对比推理）：帮助理解为什么水速要除以 2，适合讲原理。 七、基础必做练习（6 道） 1. 甲乙水路 234 千米，顺水 9 小时，逆水 13 小时，求船速、水速； 2. 客轮静水 25 千米/时，水速 3，顺水行驶 140 千米需要多久； 3. 船静水速度 30 千米/时，逆水 176 千米用时 11 小时，求顺水返回时间； 4. 顺水 18（千米/时），下行 2 小时路程 = 上行 3 小时路程，求船速、水速； 5. 两码头相距 352km，顺水 11 小时，逆水 16 小时，求水流速度； 6. A、B 两港 90km，甲乙两船同时相向 3 小时相遇；同向 15 小时甲追上乙，求两船静水速度。 八、拓展拔高练习（2 道竞赛题） 拓展 1 题目：两码头 120 千米，乙船顺水 6 小时、逆水 12 小时；甲船顺水 4 小时，求甲船逆水比顺水多花多久？ 拓展 2 题目：水速50米/分，小船 4 分钟行驶 1000 米顺水，求同等水流下逆水 600 米用时。 拓展 3 往返时间与水速关系证明 【题目】两港距离固定，水速越大，船往返总时间越长，请证明。 九、随堂小练完整答案 随堂小练 1 题目：水路 234 千米，顺水 9 小时，逆水 13 小时，求船静水速度、水速。 【解】 顺水速度：（千米/时） 逆水速度：（千米/时） 船速（静水）：（千米/时） 水速：（千米/时） 【答】船静水速度 22 千米/时，水流速度 4 千米/时。 随堂小练 2 题目：船静水速度 18 千米/时，水速 2 千米/ 时，顺水 4小时行完全程，逆水返回需要几小时？ 【解】 顺水速度：（千米/时） 全程路程：（千米） 逆水速度：（千米/时） 逆水时间：（小时） 【答】逆水行驶需要小时。 随堂小练 3 题目：两港 360 千米，客轮往返 30 小时，逆水比顺水多 6 小时；小艇静水速度 10 千米/时，求小艇往返总时间。 【解】 客轮顺水时间：（小时） 客轮逆水时间：（小时） 客顺水速： （千米/时） 客逆速： （千米/时） 水速：（千米/时） 小艇顺水速：（千米/时） 小艇逆水速：（千米/时） 顺水用时： 逆水用时： 总时间： 小时 【答】小艇往返一共需要96小时。 随堂小练 4 题目：船静水 6（千米/时），水速 1（千米/时），逆行时掉落木盒，相距 3km，多久能追上？ 【解】漂流物速度 = 水速，掉头后船与物体速度差 = 静水船速 追及时间：（小时） 【答】0.5 小时可以追上木盒。 随堂小练 5 题目：两港 240km，甲船静水 22（千米/时），乙船静水 18（千米/时），同时相向出发，求相遇时间。 【解】流水相遇速度和 = 两船静水速度和 速度和：（（千米/时）） 相遇时间：（小时） 【答】经过小时两船相遇。 随堂小练 6 题目：两港 180km，快船 26（千米/时），慢船 18（千米/时），慢船在前同向行驶，多久追上？ 【解】流水追及速度差 = 快船静水−慢船静水 速度差：（（千米/时）） 追及时间：（小时） 【答】22.5 小时后快船追上慢船。 十、基础练习完整解答 基础 1 题目：甲乙水路 234 千米，顺水 9 小时，逆水 13 小时，求船速、水速。 【解】 顺水速： （千米/时） 逆水速： （千米/时） 船速： （千米/时） 水速： （千米/时） 【答】船静水 22 千米/时，水速 4 千米/时。 基础 2 题目：客轮静水 25 千米/时，水速 3，顺水行驶 140 千米需要多久？ 【解】顺水速度 = （千米/时） 时间 =（小时） 【答】顺水行驶需要 5 小时。 基础 3 题目：船静水速度 30 千米/时，逆水行驶 176 千米用时 11 小时，求顺水返回时间。 【解】 逆水速度： （千米/时） 水速： （千米/时） 顺水速度： （千米/时） 返回时间： 小时 【答】顺水返回需要 4 小时。 基础 4 题目：顺水 18（千米/时），顺水行驶 2 小时路程，逆水需要 3 小时，求船速、水速。 【解】 全程： km 逆水速度： （千米/时） 船速 = （千米/时） 水速 = （千米/时） 【答】船静水 15 千米/时，水流速度 3 千米/时。 基础 5 题目：两码头相距 352km，顺水 11 小时，逆水 16 小时，求水速。 【解】 顺水速： （千米/时） 逆水速： （千米/时） 水速 = （千米/时） 【答】水流速度 5 千米每小时。 基础 6 题目：A、B 两港 90km，甲乙两船同时相向 3 小时相遇；同向 15 小时甲追上乙，求两船静水速度。 【解】 相向速度和（船速和）： （千米/时） 同向速度差（船速差）： （千米/时） 和差计算： 甲船速度： （千米/时） 乙船速度： （千米/时） 验证：，，完全符合条件。 【答】甲船静水 18 千米/时，乙船静水 12 千米/时。 十一、拓展练习完整解答 拓展 1 题目：两码头 120 千米，乙船顺水 6 小时、逆水 12 小时；甲船顺水 4 小时，求甲船逆水比顺水多花多久？ 【解】 ①求水速 乙顺水速： （千米/时） 乙逆速： （千米/时） 水速 = （千米/时） ②求甲船静水、逆水速度 甲顺水速： （千米/时） 甲静水： （千米/时） 甲逆速： （千米/时） 甲逆水用时： 小时 时间差： 小时 【答】甲逆水行驶比顺水多花 2 小时。 拓展 2 题目：水速50米/分，小船 4 分钟行驶 1000 米顺水，求同等水流下逆水 600 米用时。 【解】 顺水速度： 米/分 设船静水米/分,水速米/分,可得： 船静水速度 = 250 - 50 = 200（米/分） 船逆水速度： 米/分 逆水 600 米时间： 分钟 【答】逆水行驶 600 米需要分钟。 拓展 3 往返时间与水速关系证明 题目：两港距离固定，水速越大，船往返总时间越长，请证明。 【解】 设路程，船静水速度，水速为（） 往返总时间： 通分整理： 分子为固定不变的常数； 分母随增大而减小； 整个分数随分母减小而增大。 因此：水速越大，往返总时间越长，得证。 十二、本讲全套总结 （一）思维导图 （二）核心速查表 题型 核心公式 关键要点 基础流水 顺水 = 船 + 水；逆水 = 船−水 顺水加、逆水减 求船速水速 船 =(顺 + 逆)÷2；水 =(顺−逆)÷2 和差思想 两船相遇 相遇时间 = 路程 ÷(甲船 + 乙船) 水速抵消 两船追及 追及时间 = 路程差 ÷(快船−慢船) 水速抵消 漂流追及 时间 = 相距路程 ÷ 船速 漂流只看水速，差值为船速 💡（三）避坑清单 1. 严禁记反顺水、逆水加减关系； 2. 水中相遇、追及不用叠加水速； 3. 水壶、木头漂流速度仅等于水流速度； 4. 往返计算必须同时算出顺水、逆水两段时间相加； 5. 计算统一路程单位（千米 / 米），避免换算错误。 （四）解题记忆小口诀 流水行分顺逆，顺水加来逆水减； 已知往返两速，和差算出船水； 相遇追及消水流，只用船速算和差； 漂流物品随水走，追及只看船速求。 祝贺你已经完成本讲的学习，给自己鼓励一下！🎉 学科网（北京）股份有限公司 $