29.1 圆的有关概念 一课一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习围绕“圆的有关概念”构建基础巩固到综合应用的三阶训练，通过概念辨析、几何直观与动态问题设计，培养抽象能力、推理意识和模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点与圆位置关系、圆的基本概念|单选1-2直接考查定义，填空11-12强化公式与反证法基础| |提升|外心确定、垂径定理应用|单选4-7结合网格与作图痕迹，填空13-14渗透方程思想与分类讨论| |综合|动态几何与位似变换|解答20位似作图与外心坐标计算，体现空间观念与数学表达|

29.1 圆的有关概念 一课一练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．已知圆的半径是，则点和圆的位置关系是（  ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 2．下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 3．准备一块长、宽之比是，周长是40米的长方形铁片，将其剪成半径是1.5米的小圆(不能剪拼)，最多可以剪（   ）个． A．8 B．10 C．11 D．13 4．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 5．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 6．在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 9．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 10．如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 二、填空题 11．直角三角形的两直角边是，，则此三角形的外接圆的半径是______． 12．用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 13．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的________倍．（精确到个位） 14．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 15．已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：①点在的角平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③点是的外心；④点是的重心．其中正确的有_________．（直接填写序号） 三、解答题 16．求阴影部分的周长．（单位：cm）（若涉及时不取近似值，用表示既可） 17．如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，在中，弦半径OB，，求的度数.    19．已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． (1)在图中标出外接圆圆心点N，圆的半径是 ； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，与位似比为 ． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B A A D C C A 1．【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】设圆的半径为，点到圆心的距离为，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外． 【详解】解：∵圆的半径，点到圆心的距离，即， ∴点在圆内． 2．【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 3．【答案】A 【知识点】比的应用、圆的周长和面积问题 【分析】本题主要考查了比的应用，先根据长方形周长和长宽比求出长和宽，再计算小圆直径，然后分别求出长方形长和宽方向能剪出的小圆个数，最后相乘得到总个数 【详解】解：（米） 长方形的长为：（米），长方形的宽为：（米）， 小圆的直径：（米） (个) (个) 2(米) (个) 答：所以最多可以剪8个圆． 故选：A 4．【答案】B 【知识点】作垂线(尺规作图)、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】确定圆心(尺规作图)、判断确定圆的条件 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 6．【答案】A 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系． 由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A 7．【答案】D 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求三角形外心坐标 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 8．【答案】C 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 10．【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、点与圆上一点的最值问题、用勾股定理解三角形 【分析】首先利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质求出的长；取的中点 ，过点 作 于点 ，设 ，，利用勾股定理推导与的数量关系，从而确定点的轨迹是以为圆心、为半径的圆；最后根据点与圆心的位置关系，求出的最小值. 【详解】解：在 中，，，， . 平分， ∴点到的距离和点到的距离相等，均为的长， ， ， ， 取的中点，连接， ， 过点作于点，设，， 在 和 中， ， ， ， 在 中，， ， ， ，解得. 点在以为圆心，为半径的圆上. ，，且点在上， 点在之间，， ∵点在 内部（）， 当点位于线段的延长线与圆的交点处时， 取得最小值， ∴. 11．【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为和， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 12．【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步需假设结论不成立，原命题结论为，因此第一步应假设． 13．【答案】14 【知识点】根据正方形的性质求面积、圆的周长和面积问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据圆的性质和正方形的性质求圆的半径和正方形的边长，利用面积公式求解即可. 【详解】解：如图 由题意得AC与EF共线 ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1 ∴EF：AC=3：1 ∴OE：OA=3：1 设OE=3x，OA= x 在正方形ABCD中 由勾股定理得：AD=x ∴圆的面积为：π×（3x）2=9πx2 正方形的面积为（x）2=2 x2 ∴9πx2÷2 x2=≈14 故答案为：14 【点睛】本题主要考查了圆的性质和正方形的性质，以及圆与正方形的面积公式的求解. 14．【答案】3 【知识点】利用垂径定理求值、求圆中弦的条数、用勾股定理解三角形 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 15．【答案】①②④ 【知识点】勾股定理与网格问题、重心的概念、根据三角形中线求面积、已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】①取的中点，连接，根据勾股定理解得的长，再证明，由全等三角形对应角相等解得，据此解题即可；②根据中线的性质，即可解题；③根据题意可得，从而得到点P不在的垂直平分线上，即可；④由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可． 【详解】解：①取的中点，连接，则点A，P，E三点共线，点B，P，F三点共线， 由图可知，， ， ∵分别是的中点， 又， ， ， 平分 点在的角平分线上，故①正确； ②∵是的中点，点B，P，F三点共线， ∴是的中线， 即直线把分成面积相等的两个部分，故②正确； ③∵，   ∴， ∴点P不在的垂直平分线上， ∴点P不是三边垂直平分线的交点， ∴点不是的外心，故③错误； ④分别是的中点， 分别是的中线， 点P是的重心，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查网格与勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的外心，重心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．【答案】阴影部分的周长是厘米 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】由图可知，阴影部分的周长等于最大半圆周长与两个小半圆周长之和． 【详解】解：由题意得：大半圆半径为，两个小圆半径分别为 ，， 阴影部分的周长 （厘米） 答：阴影部分的周长是厘米． 【点睛】本题考查了认识平面图形，熟练掌握圆的周长计算公式是解题的关键． 17．【答案】 【知识点】作已知线段的垂直平分线、作线段(尺规作图)、画圆(尺规作图) 【分析】根据步骤作图即可； 【详解】按照题干步骤完成作图，如下： ①连接，作线段的垂直平分线交于点，保留垂直平分线的作图痕迹； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点，保留画圆的痕迹； ③连接，交的垂直平分线于点，作图完成，所有痕迹保留； 如图： 18．【答案】． 【知识点】圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：半径， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和：三角形内角和是．也考查了等腰三角形的性质和圆的认识． 19．【答案】点P在内 【知识点】判断点与圆的位置关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解一元二次方程，当时，点在圆上，当时，点在圆外，当时，点在圆内．掌握点到圆心的距离与圆的半径的关系是关键． 首先解方程，得或，即或．已知的半径，根据点与圆的位置关系判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或，即或， ∵的半径， ∴当时，，点P在圆内；当时，，点P也在圆内． ∴点P在内． 20．【答案】(1)点见解析， (2)， 【知识点】在坐标系中画位似中心、求两个位似图形的相似比、求三角形外心坐标 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题． （1）如图1，作线段，的垂直平分线交于点N，点N即为的外接圆的圆心，利用两点间距离公式计算即可； （2）如图2，由，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作线段，的垂直平分线交于点N，点N即为的外接圆的圆心， ， 故答案为：； （2）如图2， ∵， ∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求， 观察图象可知：， ∴与位似比为， 故答案为：，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $