29.1圆的有关概念（分层作业，7大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以圆的概念体系为核心，通过基础辨析、概念应用、综合实践三层设计，实现从单一知识点到跨情境应用的进阶，适配新授课概念建构与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的定义、相关概念（弦、弧等）的辨析|以选择、填空题为主，直接考查定义内涵（如“到定点距离等于定长的图形”），强化抽象能力| |进阶层|同圆/等圆关系、弦弧计数与性质|结合图形识别（如判断图形中弧、弦类型）和简单计算（如半径与弦长关系），发展几何直观| |综合层|半圆/弧的实际应用、多概念综合|设置生活情境题（如铅球成绩判断、零件横截面积计算），体现模型意识，培养应用能力|

29.1圆的有关概念 知识点一 圆的定义辨析 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（       ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）用图形（阴影）表示到定点A的距离小于或等于的点的集合． 4．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 知识点二 圆的相关概念识别 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 3．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列结论错误的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 知识点三 同圆、等圆、同心圆 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（   ） A．A 点 B．B点 C．C点 D．D 点 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 3．（25-26九年级上·河南三门峡·阶段检测）如图，两个等圆和相交于A，B两点，的延长线交于点C，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点四 弦、弧的计数问题 1．（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 知识点五 半圆、弧的简单应用 1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 知识点一 直径与弦的关系判断 1．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 4．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，是中非直径的任意一条弦，试比较与的大小，并说明理由． 知识点二 利用半径相等求解 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·一模）如图，是的弦，，若，则的长为__________． 3．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 4．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为______度． 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，在菱形中，，E是射线上的动点，且，当点E到直线的距离最大时，四边形的面积为_______． 2．（2026·宁夏固原·二模）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把△ABC分成面积相等的两部分；③；④点P是△ABC的外心；⑤点P是△ABC的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 4．（2026·河南周口·二模）如图，正方形的边长为3，为平面内任意一点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，在点运动过程中，的最大值是__________，最小值是__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1圆的有关概念 知识点一 圆的定义辨析 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（       ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 【答案】C 【分析】根据圆的定义．平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形是圆，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是圆． 故选：C 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的定义；根据圆的定义，定点为圆心，点到的距离为定长，即半径． 【详解】解：由圆的定义可知，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点为圆心，定长为半径，故半径为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）用图形（阴影）表示到定点A的距离小于或等于的点的集合． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本概念． 到定点A的距离等于的点的集合是以定点A为圆心，为半径的圆上．小于的点的集合是圆内所有的点，即以A为圆心，为半径画圆，将圆的内部用阴影表示即可． 【详解】解：如图： 4．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，熟练掌握“圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可”是解题的关键．根据确定圆的要素，分析各选项是否同时具备圆心和半径即可． 【详解】∵圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小， ∴选项只有圆心，无法确定圆的大小； 选项只有半径，无法确定圆的位置； 选项只有圆上一点，无法确定圆心和半径； 选项同时有圆心和半径，能唯一确定一个圆． 故选：． 知识点二 圆的相关概念识别 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 3．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列结论错误的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括对称性、弧和弦的定义． 根据圆的定义和性质判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，正确，故本选项不符合题意； B、圆是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意； C、半圆是弧，原说法错误，故本选项符合题意； D、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； 故选：C 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 知识点三 同圆、等圆、同心圆 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（   ） A．A 点 B．B点 C．C点 D．D 点 【答案】B 【分析】此题考查了有理数比较大小和圆的基本知识的应用，根据小丽的铅球成绩为5.8米，得出其所在的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴小丽投掷的铅球落地点是B点， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． 3．（25-26九年级上·河南三门峡·阶段检测）如图，两个等圆和相交于A，B两点，的延长线交于点C，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了半径相等，等边对等角，三角形的内角和定理和三角形的外角性质．连接，利用等边对等角，求得，利用三角形的外角性质求得的度数，据此近一步计算即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 知识点四 弦、弧的计数问题 1．（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 知识点五 半圆、弧的简单应用 1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是做题的关键．根据弧，半圆和等弧的定义进行分析解答即可． 【详解】解：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是圆的一半，是弧的一种，故甲正确； 等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，仅长度相等不一定能重合，故乙错误， 说法正确的是甲． 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据圆的基本概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误； 选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确； 选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误； 选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误； 故选：B． 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积计算方法，该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即可求解． 【详解】外圈半径为 内圈半径为 如图， 该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即 ． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 【答案】(1)， (2)小华的设计方案符合要求，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、求差法比较大小，关键是利用求差比较法比较大小； （1）根据矩形及半圆的面积公式表示即可； （2）比较绿地面积与休闲场所的面积的一半作比较即可得出结论； （3）把代入绿地面积的代数式即可． 【详解】（1）解：游泳区：， 休息区：； 故答案为：，； （2）答：符合，理由如下： 休闲场所面积为：， 绿地面积：， ∵， ∴绿地面积大于休闲场所的一半面积， 即：符合要求； （3）解：当时，， 故答案为：． 知识点一 直径与弦的关系判断 1．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最长的弦为直径，即可求解． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∵是的弦， ∴， ∴弦的长不可能为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 4．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，是中非直径的任意一条弦，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边；连接，，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 连接，，如图所示， ∵， 又∵， ∴． 知识点二 利用半径相等求解 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，理解题意是解决本题的关键． 先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 2．（2026·河南周口·一模）如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 3．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 4．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得平分，再根据，易得，利用三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为______度． 【答案】40 【分析】本题考查了圆的概念，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角；根据圆的半径相等再结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，在菱形中，，E是射线上的动点，且，当点E到直线的距离最大时，四边形的面积为_______． 【答案】25 【分析】先根据菱形的性质和已知条件确定点E的运动轨迹，即可确定点E到距离最大的位置，此时四边形为正方形，即可解答． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， ． E是射线上的动点， 如图1，点E在以点C为圆心，半径为5的（除点F）上运动． 如图2，当时，点E到直线的距离最大． 四边形为菱形，且， 四边形为正方形， ． 2．（2026·宁夏固原·二模）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心、外心的定义等知识． 结合网格线特点、以及三角形的重心的定义即可判断⑤，进而可判断②；利用勾股定理求出、的长，进而得出其数量关系，得出的形状特点，结合⑤以及“三线合一”的性质可判断①③；利用勾股定理求出，再利用网格线可知、的长即可判定④． 【详解】解：如图： 结合网格线的特点可知：在中，点P既在边的中线上，又在边的中线上， 即：点P是中、边上的中线的交点， ∴点P是的重心，故⑤正确； ∴点P也在边的中线上， ∵点P在的边的中线上， 又∵三角形的中线可将三角形分成面积相等的两个部分， ∴直线可以把分成面积相等的两部分，故②正确； 根据勾股定理有：，，即， ∴是等腰三角形， ∵在等腰三角形中，底边上的中线和顶角的角平分线， 又∵点P也在底边的中线上， ∴点P在的平分线上，故①正确； ∵是等腰三角形，， ∴，故③正确； 连接，如图， 根据勾股定理有：， ∵， ∴点P到的三个顶点的距离不相等， ∴点P不是的外心，故④错误； 即正确的结论有4个． 3．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 【答案】4 【分析】由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 4．（2026·河南周口·二模）如图，正方形的边长为3，为平面内任意一点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，在点运动过程中，的最大值是__________，最小值是__________． 【答案】 【分析】连接，证明，得到，点在以为圆心，为半径的上，当在对角线上时，最小，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最小值，同理求出的最大值，即可作答． 【详解】解：∵为平面内任意一点，且， ∴点在以C为圆心，为半径的上， 连接，如图所示： ∵正方形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的上， 如图，当在对角线上时，最小， 在中，， ∴， 即长度的最小值为， 当在对角线的延长线上时，最大， 即长度的最大值为， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $