5.7 三角函数的应用5题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学三角函数的应用，系统梳理y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义、建模步骤，通过物理（简谐运动）、生活（潮汐、温度）、几何（图形分析）、数据拟合等题型分类，搭建从基础理解到实际应用的学习支架。 该资料以多领域实例为载体，引导学生用数学眼光观察周期现象，用数学思维推理参数关系，如物理中阻尼器运动分析、生活中摩天轮高度建模，培养模型意识与应用能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型题巩固，查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.7三角函数的应用5题型分类 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则 二、三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 三、建立函数模型的一般步骤 （一） 三角函数在物理中的应用 1、在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 2、处理物理学问题的策略: (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 题型1：三角函数在物理中的应用 1．如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为______． 【答案】（） 【分析】由题可设，再求相关参数即可. 【详解】设， 则，，所以，即． 又函数过点，所以，得，． 故（）． 故答案为：  ． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音，如下图所示，已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出噪音的声波曲线解析式，再将噪音声波曲线向左平移1个单位得到降噪的声波曲线. 【详解】由题意知，，噪音的声波曲线而降噪音声波曲线可以看噪音声波曲线向左平移半个周期得到曲线故降噪音声波曲线 故选：B 3．（2026高三·江苏南京·阶段检测）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）    A． B． C．1s D． 【答案】C 【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解. 【详解】因为，，，所以，又，所以， 则，由可得， 所以，， 所以，，故， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s. 故选：C. 4．【多选】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ） A．当时小球达到最高点 B．小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向上运动 【答案】BC 【分析】对于AB：代入求函数值，结合题意即可判断；对于C：根据正弦型函数的周期性分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以当时小球位于平衡位置，故A错误； 对于选项B：因为， 所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D错误. 5．（2026高一·湖北孝感·期末）阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再代入数据得到，从而求出，，即可得到关系式，最后代入计算可得. 【详解】依题意可得，所以， 又，即， 所以，即，则，， 所以， 则， 即当时，该振子的位移. 故选：D 6．（2026高一·广东清远·期末）如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【答案】(1)，，， (2)19次 (3)小球在内是下降状态． 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质结合图形计算即可； （2）利用三角函数的周期性计算即可； （3）根据三角函数的单调性计算即可. 【详解】（1）由图2可知，， 最小正周期，所以， 由五点作图法可知，当时，，所以， 所以， 当时，． （2）小球往复运动一次所需时间为， 小球1秒内往复运动的次数为， 所以小球1分钟（60秒）内往复运动的次数为（次）． （3）令， 得， 所以小球在内是下降状态． 7．（2026高一·重庆沙坪坝·期中）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 【答案】B 【分析】根据题意得到函数的最小正周期为，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解. 【详解】因为线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是， ，且取， 又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用， 所以函数的最小正周期为，即，解得， 即线长约为cm. 故选：B. （二） 三角函数在生活中的应用 1、解三角函数应用问题的基本步骤 2、利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步骤: (1) 求， ； (2)求ω:根据图象得出最小正周期T,可得出 (3)求初相φ:将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出φ的值， 题型2：三角函数在生活中的应用 8．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 故选：C. 9．（2026高一·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则_____；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为_____h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 10．（2026高一·广东佛山·期末）一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据得，当秒时，点位于最低点， 则经过时间秒后车轮转过的角度， 则点到铁轨表面的高度为. 得到符合初始条件. 11．（2026·北京·模拟预测）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出，再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长. 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 12．【多选】（2026高一·浙江丽水·期中）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（   ） A． B．过山车启动时距地面13m C． D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 【答案】BCD 【分析】利用最高点和最低点满足的方程可判断A；求出周期可判断C；利用最高点求出，然后把代入解析式可判断B；解三角函数不等式可判断D. 【详解】最高点满足 ，最低点满足 ，联立解得，故A错误； 第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期 ， 因此 ，故C正确； 将参数代入得，时为最高点，故 ， 即 ， 解得 ，结合得 ， 因此解析式为， 启动时，代入得，故B正确； 要求，代入得不等式， 解得一个周期内（）满足条件的范围是 ，区间长度为，故D正确. 13．【多选】（2026高一·江西九江·期末）某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（ ） A． B．在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的 C．方程在区间上所有解的和为4.5 D．若对任意恒成立，则的最小正值为1.5 【答案】ABD 【分析】本题主要考查三角函数模型的应用. 由角速度，初始相位，写出高度函数，验证A；利用正弦函数的性质解不等式, 验证B; 由得,解方程验证C; 由恒成立,并结合函数对称性验证D. 【详解】对于A，角速度，初始相位， 高度函数，故A正确. 对于B，令，得. 设，当时. 解，得. 对应的长度分别为和， 总长度秒，占周期秒的，故B正确. 对于C，由得， 即，其中. 利用和差化积可得，得， 所以，即. 因此，解得. 在内，解为和，和为，不是，故C错误. 对于D，由恒成立，得. 设，，则 对任意恒成立.根据正弦函数性质，需满足（另一情形不可能恒成立）， 即，解得，最小正值为，故D正确. 题型3：三角函数模型在圆周运动问题中的应用 14．（2026高一·全国·单元测试）将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 【答案】(1)， (2) 【分析】1）作出辅助线，结合初相为得到函数解析式，并利用求出运动的周期； （2），在的图象基础上，平移得到函数图象. 【详解】（1）过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦值, 又初相为，故P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为， 因此P的运动周期. （2）当，时，， 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到，如图所示： 15．（2026高一·北京·阶段检测）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足．关于函数，下列描述： ①；         ②当时，函数单调递增； ③当时，；     ④当时，的最大值为 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合条件得的值，从而得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质逐一判断，即可得. 【详解】由题意，，，所以， 点代入，可得，解得， 又，所以，故①正确； 因为，当时，， 所以函数先增后减，故②错误； 当时，，的纵坐标为，横坐标为， 所以，故③正确； 当时，点到轴的距离的最大值为，故④错误； 16．（2026高一·河北张家口·阶段检测）如图，单位圆与射线在第二象限交于点，一动点在圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点纵坐标关于运动时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义结合条件即得. 【详解】由题意：， 又射线对应的角满足， 可取：， 则． 17．（2026高一·黑龙江佳木斯·期末）佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数，再令，得到，利用余弦函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】设距离地面高度为，其中, 因为最高点离地面高度，最低点离地面高度， 所以，，即摩天轮的直径为，所以A错误； 又因为转一周的时间约为，所以，可得， 所以， 又由当时，，可得，即， 因为，所以，所以，所以B、C错误； 由， 令，即，即， 可得，解得， 因为，令，可得， 所以乘坐一周的过程中，有时间距地面高度超过，所以D正确. 故选：D. （三） 三角函数在几何中的应用 1.先明确图形中的直角、边角关系，依求边长、角度等需求选正弦、余弦或正切； 2.无直角则作高构造直角三角形，遇特殊角用对应函数值； 3.设未知边列方程，结合勾股定理等联立求解； 4.最后验证结果是否符合图形实际范围，避免错解。 题型4：三角函数在几何中的应用 18．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析直线移动过程中随的长的变化情况，通过求出一些特殊点的函数值，结合函数的单调性以及直线的位置关系判断函数图像. 【详解】由题意可知，随着从平行移动到单调递增，故可排除选项B．由题意可得等边三角形的边长为．    当时，，此时最小； 当时，，此时最大； 当时，如答图1，则，为等边三角形， 此时， 在等边中，， ； 又当时，图中的； 故当时，对应的点在图中两点连接线段的下方，结合选项可得选项D正确．    故选：D. 19．（2026高一·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数定义结合图形即可求得； （2）利用（1）中结论列式即得； （3）借助三角恒等变换公式可用表示出平行四边形面积，结合范围与正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 20．（2026高一·四川广安·阶段检测）点在直径为的半圆上移动，过点作圆的切线，且， (1)求四边形的面积关于的表达式； (2)问为何值时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）作于，用表示出相关边，再由及三角恒等变换得到四边形的面积表达式； （2）根据（1）及，结合正弦型函数的性质求面积的最大值. 【详解】（1）如图，作于，因为为直径，切圆于点，， 所以， . （2）因为，所以， 当，即时，四边形的面积最大. 21．（2026高一·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1)如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， 点，点； (2)最大值为. 【分析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标； （2）把四边形的面积表示为的函数，利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为. （2）， ∴四边形的面积 ，， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为. 22．（2026高一·辽宁朝阳·阶段检测）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则______.    【答案】 【分析】延长CD交边PA，PB分别相交于E，F，得到，且，，结合，即可求解； 【详解】由题意，延长CD直角走廊的边PA，PB分别相交于E，F， 则，其中， 又由，， 可得， 于是，其中. 故答案为：    （四） 数据拟合问题 1、三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力． 2、处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤: (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 题型5：数据拟合问题 23．（2026高一·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【答案】C 【分析】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得，将表中最大值点坐标代入解析式可得，然后可得所求. 【详解】记时间为，水深值为， 设时间与水深值的函数关系式为， 由表中数据可知，， 所以，， 所以， 又时，，所以， 所以，即， 所以， ， 即13:00的水深值大约为. 故选：C 24．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【答案】D 【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解. 【详解】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为. 故选：D. 25．（2026高一·四川成都·期末）在一般条件下，青少年的心率会随呼吸发生周期性波动：吸气时心率加快，呼气时心率减慢，这一现象在医学上被称为呼吸性窦性心律不齐（）．研究发现，心率波动频率与呼吸频率高度一致，心率随时间的变化可用模型（，，）近似拟合，其中为心率（次/），为稳态心率（次/），f为呼吸频率（次/），t为时间（s），A为幅值（次/）． 为了解自身心率的波动情况，小明在静息的条件下按节拍器的引导进行均匀呼吸（呼吸频率为10次/），从一次吸气开始的时刻开始计时（即时刚好完成呼气，即将开始吸气），记录了一个完整呼吸周期内的心率数据，如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 6 心率（次/） 65 75 80 75 65 60 65 呼吸时相 吸气始 吸气 吸气 呼气始 呼气 呼气 吸气始 设小明在静息和步行时的心率变化均满足该模型． (1)求小明静息时的表达式； (2)若小明在步行时，呼吸频率f为20次/，稳态心率提高到90次/，幅值A为4次/，没有发生变化，求小明步行时的最大值． 【答案】(1)（）． (2) 【详解】（1）由表可知小明在一个呼吸周期内心率的最大值与最小值分别为80次/与60次/， 可得次/， 所以次/． 又一个呼吸周期，即，解得． 令，得，解得（）． 又，所以． 所以（）． （2）由题意知小明在步行时心率满足． ． 所以，当且仅当（）时等号成立． 所以小明步行时的最大值为． 26．（2026高一·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【答案】(1)模型①，模型② (2) 说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 【分析】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式； （2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①， 由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足， 即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； （2）由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 1．（2026高三·江苏·学业考试）下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 【答案】C 【分析】根据因变量的数据的规律判断即可. 【详解】根据表格的数据可以看出，因变量水深从0：00到3：00上升，从3：00到6：00下降， 从6：00到9：00下降，从9：00到12：00上升，从12：00到15：00上升，从15：00到18：00下降， 可以看出，符合三角函数的单调性规律，而幂函数、指数函数和对数函数没有这样的规律. 故选：C. 2．（2026高二·湖南娄底·学业考试）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得. 【详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 3．（2026高一·江西上饶·阶段检测）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 4．（2026高一·重庆·阶段检测）近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出、，根据周期求出，再由求出，即可得解. 【详解】依题意，解得， 又，所以，所以， 所以，又， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：A 5．（2026高一·四川成都·阶段检测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A 6．（2026高一·山东德州·阶段检测）已知某摩天轮的最高点到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，直径为，每30分钟转动一圈.若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法来求三角函数解析式，从而问题即可求解. 【详解】    由题意可设距离地面的高度与时间所满足的三角函数关系式为：， 因为摩天轮的直径为，可知， 又因为摩天轮的最高点到地面的距离为，可知， 由每30分钟转动一周，可知， 由于从最低点开始计时，即当时，， 所以有， 则当时，有， 故选：C. 7．（2026高一·吉林长春·阶段检测）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可. 【详解】函数，当时，. 故选：A 8．（2026高一·辽宁沈阳·期中）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（   ） A．6小时 B．8小时 C．9小时 D．12小时 【答案】B 【详解】， 令，则，所以， 解得，由于，则或， 所以在这段时间，实验室需要降温， 即在一天时间内实验室需要降温的时长为小时. 9．（2026高一·湖北·期中）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（   ） A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 10．【多选】（2026高一·广东广州·期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈， 所以振幅且，可得，所以A、B正确； 又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误； 根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.A 故选：ABC. 11．【多选】（2026高一·福建福州·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．的最小正周期为3 【答案】AC 【分析】根据角速度的概念、任意角的三角函数定义以及三角函数的周期公式计算. 【详解】由题可知，质点的角速度为， 因为点P为起始点，沿逆时针方向运动， 设经过时间之后所成角为，则，根据任意角的三角函数定义有： ，所以该质点到x轴的距离为，故A正确，B错误； 因为，所以的最小正周期为，故C正确，D错误. 故选：AC. 12．【多选】（2026高一·江苏南通·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 【答案】BC 【分析】求出的值，求出函数的最小正周期，可判断A选项；根据的值可计算出小球在往复振动一次的过程中，经过的路程，可判断B选项；解方程，求出的可能取值，可判断C选项；求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 对于A选项，函数的最小正周期为， 所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错； 对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为，B对； 对于C选项，因为当时，， 由可得或， 解得或， 易知，，则的可能取值有：、、、、、、， 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对； 对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次， 所以，，因为，则， 所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 13．（2026高一·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 【答案】 【分析】求出时刻点M所在射线为终边的角，再利用正弦函数的定义求解. 【详解】依题意，以射线为终边的角， 时刻点M所在射线为终边的角为， 由三角函数定义得. 故答案为：. 14．（2026高一·全国·课后作业）在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，它们做上、下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移（cm）和（cm）分别由下列两式确定：，．则在时间时，与的大小关系是________． 【答案】 【分析】利用给定的关系式，求出时与的值，即可进行大小比较. 【详解】当时，， ，所以. 故答案为： 15．（2026高一·浙江·期末）如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为________m． 【答案】/ 【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据条件求出解析式可得答案. 【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为， 因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为， 所以，解得， 因为每转一圈，所以，， 当时，，所以，所以可取， 所以， 所以当时， 故答案为： 16．（2026高一·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【答案】(1)米 (2) (3)或 【分析】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解； （2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （3）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； （2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中）， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． （3）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 17．（2026高一·北京东城·期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．    (1)求与的函数解析式； (2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）； (3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，设出与的函数关系式，再求出其中的待定系数作答； （2）确定水面位置，求出的正弦即可作答； （3）求出函数的周期，结合（1）的结论作答. 【详解】（1）由题意设（，，）， 则，，则， 由题意，是锐角，所以， 所以，又，解得， 所以与的函数解析式； （2）河水上涨米，水面仍在圆心的下方， 在中，， 所以． （3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半， 即，所以， 所以与的函数解析式． 18．（2026高一·全国·课堂例题）某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 【答案】(1) (2)8.4米 【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合正弦型函数的周期公式、最值性质进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）设此三角函数模型是，根据题意可知周期. 所以，，， 所以， 又因为当时，d取得最大值， 所以， 所以可取， 所以. （2）10月4日15：00相当于，此时入口处水的深度（米）. 19．（2026高一·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据低潮和高潮的时间和深度，求出三角函数的解析式，再利用解析式求解问题； 【详解】（1）依题意知， 故． 所以． 又因为时，，所以， 所以，所以． （2）时， ． （3）令， 有， 因此． 所以． 所以． 令，得；令，得． 故这一天共有水深低于． 20．（2026高一·北京·期中）如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，结合题意计算可得两函数解析式，再作差即可得； （2）利用二倍角公式及二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）设，， 由题意可得，，，，即； 由题意可得，，，，即； 则， （2）由， 当时，， 则当时，取最大值，当时，取最小值， 则，即的值域为. 21．（2026高一·上海·期中）如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)当时，求矩形的面积； (2)写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 【答案】(1) (2)，；的最小值为. 【分析】（1）过点作，垂足为，求得，利用矩形面积公式求解； （2）由题求出，，利用矩形面积公式求出，换元令，得到关于的二次函数，利用二次函数性质求出最小值. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为， 当时，，， 所以，， 所以. （2）因为，，所以，， 所以，， 因为， 令，则，即， 因为，所以，故，即， 所以，， 所以当时，取得最小值. 22．（2026高一·上海·期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且米，设． (1)求扇形区域的面积； (2)若，求的长； (3)若矩形的面积为，当为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1)平方米; (2)米; (3)当时，取得最大值，最大值为平方米. 【分析】（1）由扇形的面积公式求解即可； （2）在中，求得，从而可得，在中，由求解即可； （3）由题意可求得，，由矩形的面积公式及三角恒等变换可得，由三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可知扇形的半径，圆心角， 所以扇形的面积， 所以扇形区域的面积为平方米； （2）因为， 在中，， 又因为为矩形，所以， 在中，，， 所以， 即的长为米； （3）在中，， ， 又因为为矩形，所以， 在中，，， 所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以当， 所以当，即时，取最大值，为， 即当时，取得最大值，最大值为平方米. 23．（2026高一·江西九江·阶段检测）九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 【答案】(1)最大高度为米，分；最小高度为米，分； (2)（ⅰ）分；（ⅱ）. 【分析】（1）利用正弦函数的性质求解. （2）（ⅰ）根据给定条件建立不等式，再解正弦函数不等式即可；（ⅱ）设出新的函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】（1）函数，中，， 当，即时，；当，即时，， 所以缆车运行过程中的最大高度为米，分；最小高度为米，分. （2）（ⅰ）由，得， 因为，所以或，解得或， 所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为分. （ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为， 由缆车的最大高度提升至800米，得，即， 由改造后缆车在时位于最低点，得，取， 则， 由，得， 改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数的周期为20分钟， 因此的时间总长为缆车旋转半周的时间，而的时间总长为10， 则，解得，所以新的函数解析式. 24．（2026高一·北京房山·期中）图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为5米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动、每60秒转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒（看作点）到水面的距离为（单位：米）（若盛水筒在水面以下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)求的值； (2)求在筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间； (3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒到水面的距离差的最大值． 【答案】(1) (2)秒 (3) 【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数计算即可求解； （2）令，结合正弦函数图象及其性质计算即可得解； （3）由题意计算可得，，由此即可进一步求解. 【详解】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一圈需要60秒，所以，故， 在中，， 所以，即； （2）由（1）知，， 令，即， 则， 解得， 由，故筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间有秒； （3）设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为， 两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则， 所以 ，， 当，即，时， 高度差的最大值为. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.7三角函数的应用5题型分类 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则 二、三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 三、建立函数模型的一般步骤 （一） 三角函数在物理中的应用 1、在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 2、处理物理学问题的策略: (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 题型1：三角函数在物理中的应用 1．如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为______． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音，如下图所示，已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·江苏南京·阶段检测）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）    A． B． C．1s D． 4．【多选】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ） A．当时小球达到最高点 B．小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向上运动 5．（2026高一·湖北孝感·期末）阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·广东清远·期末）如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 7．（2026高一·重庆沙坪坝·期中）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 （二） 三角函数在生活中的应用 1、解三角函数应用问题的基本步骤 2、利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步骤: (1) 求， ； (2)求ω:根据图象得出最小正周期T,可得出 (3)求初相φ:将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出φ的值， 题型2：三角函数在生活中的应用 8．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 9．（2026高一·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则_____；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为_____h． 10．（2026高一·广东佛山·期末）一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·北京·模拟预测）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 12．【多选】（2026高一·浙江丽水·期中）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（   ） A． B．过山车启动时距地面13m C． D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 13．【多选】（2026高一·江西九江·期末）某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（ ） A． B．在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的 C．方程在区间上所有解的和为4.5 D．若对任意恒成立，则的最小正值为1.5 题型3：三角函数模型在圆周运动问题中的应用 14．（2026高一·全国·单元测试）将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 15．（2026高一·北京·阶段检测）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足．关于函数，下列描述： ①；         ②当时，函数单调递增； ③当时，；     ④当时，的最大值为 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2026高一·河北张家口·阶段检测）如图，单位圆与射线在第二象限交于点，一动点在圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点纵坐标关于运动时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·黑龙江佳木斯·期末）佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m （三） 三角函数在几何中的应用 1.先明确图形中的直角、边角关系，依求边长、角度等需求选正弦、余弦或正切； 2.无直角则作高构造直角三角形，遇特殊角用对应函数值； 3.设未知边列方程，结合勾股定理等联立求解； 4.最后验证结果是否符合图形实际范围，避免错解。 题型4：三角函数在几何中的应用 18．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   19．（2026高一·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 20．（2026高一·四川广安·阶段检测）点在直径为的半圆上移动，过点作圆的切线，且， (1)求四边形的面积关于的表达式； (2)问为何值时，四边形的面积最大？ 21．（2026高一·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 22．（2026高一·辽宁朝阳·阶段检测）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则______.    （四） 数据拟合问题 1、三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力． 2、处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤: (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 题型5：数据拟合问题 23．（2026高一·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 24．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 25．（2026高一·四川成都·期末）在一般条件下，青少年的心率会随呼吸发生周期性波动：吸气时心率加快，呼气时心率减慢，这一现象在医学上被称为呼吸性窦性心律不齐（）．研究发现，心率波动频率与呼吸频率高度一致，心率随时间的变化可用模型（，，）近似拟合，其中为心率（次/），为稳态心率（次/），f为呼吸频率（次/），t为时间（s），A为幅值（次/）． 为了解自身心率的波动情况，小明在静息的条件下按节拍器的引导进行均匀呼吸（呼吸频率为10次/），从一次吸气开始的时刻开始计时（即时刚好完成呼气，即将开始吸气），记录了一个完整呼吸周期内的心率数据，如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 6 心率（次/） 65 75 80 75 65 60 65 呼吸时相 吸气始 吸气 吸气 呼气始 呼气 呼气 吸气始 设小明在静息和步行时的心率变化均满足该模型． (1)求小明静息时的表达式； (2)若小明在步行时，呼吸频率f为20次/，稳态心率提高到90次/，幅值A为4次/，没有发生变化，求小明步行时的最大值． 26．（2026高一·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 1．（2026高三·江苏·学业考试）下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 2．（2026高二·湖南娄底·学业考试）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 3．（2026高一·江西上饶·阶段检测）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 4．（2026高一·重庆·阶段检测）近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·四川成都·阶段检测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 6．（2026高一·山东德州·阶段检测）已知某摩天轮的最高点到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，直径为，每30分钟转动一圈.若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·吉林长春·阶段检测）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高一·辽宁沈阳·期中）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（   ） A．6小时 B．8小时 C．9小时 D．12小时 9．（2026高一·湖北·期中）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（   ） A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 10．【多选】（2026高一·广东广州·期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高一·福建福州·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．的最小正周期为3 12．【多选】（2026高一·江苏南通·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 13．（2026高一·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 14．（2026高一·全国·课后作业）在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，它们做上、下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移（cm）和（cm）分别由下列两式确定：，．则在时间时，与的大小关系是________． 15．（2026高一·浙江·期末）如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为________m． 16．（2026高一·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 17．（2026高一·北京东城·期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．    (1)求与的函数解析式； (2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）； (3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：） 18．（2026高一·全国·课堂例题）某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 19．（2026高一·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 20．（2026高一·北京·期中）如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 21．（2026高一·上海·期中）如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)当时，求矩形的面积； (2)写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 22．（2026高一·上海·期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且米，设． (1)求扇形区域的面积； (2)若，求的长； (3)若矩形的面积为，当为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值． 23．（2026高一·江西九江·阶段检测）九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 24．（2026高一·北京房山·期中）图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为5米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动、每60秒转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒（看作点）到水面的距离为（单位：米）（若盛水筒在水面以下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)求的值； (2)求在筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间； (3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒到水面的距离差的最大值． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $