第5章 章末整合提升（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学讲义通过模块递进构建三角函数知识体系，涵盖同角关系与诱导公式、三角恒等变换、图象性质及综合应用，用表格归纳公式要点，例题解析呈现知识内在联系，突出重难点分布。 讲义以高考真题与教材变式为练习核心，如2024新高考Ⅰ卷三角恒等变换题结合教材原题设计变式，通过“变角变名变式”策略指导，培养逻辑推理与数学运算素养，助力分层提升，支持教师精准教学。

一、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1.同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1及＝tan α；诱导公式可概括为k·±α（k∈Z）的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限. 2.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 【例1】　（1）已知tan α＝3，则sin2α－sin αcos α－2cos2α的值为（　B　） A.－ B. C.－ D. 解析：因为tan α＝3，所以sin2α－sin αcos α－2cos2α＝＝＝＝.故选B. （2）（2025·南通期末）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（－3，4），则＝. 解析：由已知得，sin α＝，cos α＝－，＝＝＝. 【反思感悟】 1.使用同角三角函数的基本关系式，要注意根据角的范围判断三角函数值的符号，若正切、正弦、余弦同时出现在问题中，则常用切化弦，有时也可将正弦、余弦转化为正切进行求解. 2.诱导公式类型多，使用时不要死记公式，要学会“以不变应万变”，只需注意以下三点：（1）判断是否能用诱导公式；（2）若能用诱导公式，判断三角函数的“名”是否改变；（3）判断符号是否改变. 二、三角恒等变换 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，辅助角公式.考查角度：（1）给角求值；（2）给值求值；（3）给值求角. 2.掌握三角恒等变换，重点培养逻辑推理和数学运算素养. 【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　A　） A.－3m　　　B.－　　　C.　　　D.3m 解析：因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A. （2）（2024·全国甲卷理8题）已知＝，则tan（α＋）＝（　B　） A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ 解析：根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B. 【反思感悟】 三角恒等变换的三个策略 （1）变角：三角恒等变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式； （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切； （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等. 三、三角函数的图象与性质 1.高考中三角函数是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.考查角度：（1）三角函数的性质；（2）三角函数图象的变换；（3）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式；（4）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质. 2.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养. 【例3】　（1）（2023·全国乙卷理6题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　D　） A.－ B.－ C. D. 解析：由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D. （2）（2024·天津高考7题）已知函数f（x）＝sin 3（ωx＋）的最小正周期为π，则f（x）在［－，］的最小值为（　A　） A.－ B.－ C.0 D. 解析：由f（x）的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f（x）＝sin（2x＋π）＝－sin 2x.当x∈［－，］时，2x∈［－，］，sin 2x∈［－，］，－sin 2x∈［－，］，所以f（x）min＝－，故选A. 【反思感悟】 　　三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 四、三角函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B的作图与应用（考教衔接） 1.由函数y＝sin x的图象得到y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移.这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩. 2.掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 教材原题　（链接教材P237例1）画出函数y＝2sin（3x－）的简图. 变式1　在同一坐标系中画出两函数的图象 在同一坐标系中画出函数y＝sin x与y＝2sin（3x－）在一个周期内的图象. 解：先画y＝sin x的图象， 再画y＝2sin（3x－）的图象， 令X＝3x－，则x＝（X＋），列表如下： X 0 π 2π x y 0 2 0 －2 0 描点，画图. 变式2　在给定区间内求两图象的交点个数 曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）在x∈［0，］内的交点个数为2；在x∈[0，π]内的交点个数为3. 解析：由变式1知，在［0，］范围内两函数图象有2个交点，在[0，π]范围内两函数图象有3个交点. 变式3　真题检验（扩大区间求两函数图象的交点个数） （2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 解析：C　由变式1知，在[0，2π]范围内两函数图象有6个交点. 【反思感悟】 函数y＝Asin（ωx＋φ）＋h的解题技巧 　　对于y＝Asin（ωx＋φ）＋h，应明确A，ω决定“形变”，φ，h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性.针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. 五、三角恒等变换与三角函数的综合问题 1.三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin（ωx＋φ）＋k或y＝Acos（ωx＋φ）＋k的形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 2.通过三角恒等变换，进而研究三角函数的性质，培养逻辑推理和数学运算素养. 【例4】　已知函数f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1（x∈R）. （1）求函数f（x）在区间［0，］上的最大值和最小值； 解：f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin（2x＋）， 因为x∈［0，］，则2x＋∈［，］，故当2x＋＝时，f（x）取最大值2； 当2x＋＝时，f（x）取最小值－1； 所以函数f（x）在区间［0，］上的最大值为2，最小值为－1. （2）若f（x0）＝，x0∈［，］，求cos 2x0的值. 解：由（1）可知f（x0）＝2sin（2x0＋）， 因为f（x0）＝， 所以sin（2x0＋）＝， 由x0∈［，］，得2x0＋∈［，］， 从而cos（2x0＋）＝－＝－， 所以cos 2x0＝cos［（2x0＋）－］＝cos（2x0＋）cos＋sin（2x0＋）sin＝. 【反思感悟】 　　解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想（切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换）的运用，还要注意一般的数学思想方法（如换元法等）的运用. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $