第4章 4.5.3 函数模型的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“函数模型的应用”核心知识点，系统梳理从已知函数模型（如一次、二次、指数、对数函数模型）的应用，到根据实际问题建立函数模型，再到通过数据拟合选择最优模型的完整学习脉络，为学生构建从理论到实践的函数应用学习支架。 该资料以人口增长、碳14检测、声强级计算等现实案例引导学生用数学眼光观察实际问题，通过方程求解参数、对数运算转化等步骤培养数学思维，借助模型选择与数据拟合训练数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后通过跟踪训练和课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

4.5.3　函数模型的应用 学习目标　1.能利用已知函数模型求解实际问题.(重点)2.建立函数模型解决实际问题.(难点)3.实际问题中的函数模型选择问题. 导语 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 问题　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模——求解数学模型，得出数学模型. (4)还原——将数学结论还原为实际问题. 知识梳理　常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)=axα+b(a，b为常数，a≠0) 一、应用已知函数模型解决实际问题 例1　(课本例3)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert， 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数. (1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型. (2)利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. (3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？ 解　(1)由题意可设1950年为t=0，则y0=55 196，根据马尔萨斯人口增长模型，有67 207=55 196e9r， 由计算工具得r≈0.021 876. 因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55 196e0.021 876t，t∈[0，9]. (2)分别取t=1，2，…，8，由y=55 196e0.021 876t可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如表所示. 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数/万 56 417 57 665 58 940 60 243 61 576 62 938 64 330 65 753 实际人口总数/万 56 300 57 482 58 796 60 266 61 465 62 828 64 563 65 994 根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y=55 196e0.021 876t(t∈[0，9])的图象(如图). 由表和图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. (3)将y=130 000代入y=55 196e0.021 876t， 由计算工具得t≈39.16. 所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿. 例1　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中0 dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)=alga为常数).已知人正常说话时的声强级约为60 dB，嘈杂的马路声的声强级约为90 dB，而90 dB对应的声强是60 dB对应的声强的1 000倍. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150 dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍. 解　(1)设90 dB对应的声强是x1，60 dB对应的声强是x2， 则=1 000， 因为 所以30=alg 所以30=3a，所以a=10， 所以f(x)=10lgx∈(0，+∞). (2)设喷气式飞机起飞时的声强为x3， 所以 所以9=lg所以=109， 故喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的109倍. 反思感悟　利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算. 跟踪训练1　Logit模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logit模型：I(t)=其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时，标志着已初步得到遏制，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)(　　) A.60 B.62 C.66 D.69 答案　B 解析　∵I(t*)==0.9K， ∴1+ 则-0.24(t*-53)=ln=-ln 9≈-2.2， 解得t*≈62. 二、建立函数模型解决实际问题 例2　(课本例4)2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 解　设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型： y=k(1-p)x(k∈R，且k≠0；0<p<1；x≥0). 由碳14的半衰期为5 730年，得 k(1-p)5 730=k. 于是1-p= 由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知， k=55.2%k， 即=0.552. 解得x=lo0.552. 由计算工具得x≈4 912. 因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的. 例2　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间. (1)求x的值； (2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的按照规划至少还需多少年，可使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？ 解　(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1)， 则a(1-x)10=a，即(1-x)10= 解得x=1-. (2)设从今年开始，还需治理n年， 则n年后剩余面积为a(1-x)n， 令a(1-x)n≤a，即(1-x)n≤ 解得n≥15， 故至少还需治理15年. 反思感悟　与实际应用相结合的题型是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 跟踪训练2　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 答案　D 解析　设x年后研发资金开始超过200万元， 所以130(1+12%)x>200， 所以1.12x>所以x>log1.12 所以x> 所以x>3.8， 故2026年研发资金开始超过200万元. 三、建立拟合函数解决实际问题 例3　某企业常年生产一种出口产品，最近几年以来，该产品的产量平稳增长.记2021年为第一年，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示： 年份 2021年 2022年 2023年 2024年 x 1 2 3 4 f(x) 7 12.78 25 49.13 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)=ax+b；f(x)=a·2x+b；f(x)=x-1+a. (1)写出你认为最适合的函数模型(不用说明理由)，然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式； (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2026年的年产量比预计减少30%，根据所建立的函数模型，确定2026年的年产量. 解　(1)选择f(x)=a·2x+b，代入数据(1，7)和(3，25)， 可得 故f(x)=3·2x+1. (理由：从表格可以判断函数为增函数，所以排除f(x)=x-1+a；若选f(x)=ax+b，代入数据(1，7)和(3，25)可得 则f(x)=9x-2，则f(4)=34，这与49.13相差太大.) (2)2026年对应x=6，因此预计2026年的年产量约为f(6)=3×26+1=193(万件)，受影响后实际年产量约为193×(1-30%)=135.1(万件)， 故2026年的年产量约为135.1万件. 反思感悟　建立拟合函数与预测的基本步骤 跟踪训练3　航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=+2(常数k>0).该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间x(天)的部分数据如下表所示： x(天) 5 10 17 26 Q(x)(百个) 4 5 6 7 已知第10天该商品的日销售收入为3 500元. (1)求实数k的值； (2)给出以下三种函数模型：①Q(x)=px+q，②Q(x)=a|x-18|+b；③Q(x)=m+n，请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，说明你选择的理由，并借助你选择的模型，预估该商品的日销售收入f(x)(元)在哪一天达到最低？ 解　(1)由题意，500·=3 500，∴k=15. (2)∵表格中Q(x)对应的数据匀速递增时，x对应的数据并未匀速变化，∴排除模型①. 又∵Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18两侧“等距”的函数值相等(或叙述为函数图象关于直线x=18对称)，而表格中的数据并未体现此规律(5≠7)，∴排除模型②. 对于模型③，将(5，4)，(10，5)代入模型③，有解得 此时，Q(x)=+2，经验证，(17，6)，(26，7)均满足，∴选模型③. f(x)=100Q(x)·P(x)=100+2)·=100 ≥100×(19+4=1 900+400. 当且仅当2即x=16时，等号成立. ∴日销售收入在第16天达到最低. 1.知识清单： (1)应用已知函数模型解决实际问题. (2)建立函数模型解决实际问题. (3)建立拟合函数解决实际问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区： (1)实际应用题易忘记定义域和结论. (2)对函数拟合效果的分析不能做出正确选择. 1.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，现有100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是40 ℃，则k约等于(参考数据：ln 3≈1.099)(　　) A.0.22 B.0.27 C.0.36 D.0.55 答案　A 解析　根据题意40=10+(100-10)e-5k， 即-5k=ln=-ln 3， 解得k=≈0.22. 2.有一组实验数据如表所示： t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个函数是(　　) A.V=log2t B.V=lot C.V= D.V=2t-2 答案　C 解析　根据表中数据，描出各点，如图所示， 结合选项，函数V=log2t的增长速度越来越缓慢，不符合题意； 函数V=lot随着t的增大，V不断减小，不符合题意； 函数V=的增长速度越来越快，符合题意； 函数V=2t-2的增长速度不变，不符合题意， 所以最接近的一个函数是V=. 3.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后，体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　) A.125 B.100 C.75 D.50 答案　C 解析　由已知，得a=a·∴e-k=. 设经过t1天后，一个新丸体积变为a， 则a=a· ∴ =∴即t1=75. 4.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是　　　　.  答案　-1 解析　设每月的产量增长率为x，1月份产量为a， 则a(1+x)11=ma， 所以1+x=即x=-1. 课时对点练 [分值：80分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　) A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2t 答案　D 2.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　) A.y=a(1+5%x) B.y=a+5% C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x 答案　D 解析　今年产量为a，经过1年后产量为y=a(1+5%)，经过2年后产量为y=a(1+5%)2，依此类推，经过x年后产量为y=a(1+5%)x. 3.声强级LI(单位：dB)由公式LI=10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)，若一般正常人的听觉的声强级范围为[0，120]，则一般正常人能听到的声强的范围为(　　) A.[0，10-12] B.[10-12，1] C.[0，1012] D.[1，1012] 答案　B 解析　设一般正常人能听到的最高声强为I，最低声强为I'. 由120=10lg 得I=1. 由0=10lg解得I'=10-12. 所以一般正常人能听到的声强的范围为[10-12，1]. 4.国内首个百万千瓦级海上风电项目—三峡阳江沙扒海上风电场实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：F(x)=1-其中k为形状参数，x为风速.已知风速为1 m/s时，F≈0.221，则当风速为4 m/s时，F约为(参考数据：ln 0.779≈-0.25，e-4≈0.018)(　　) A.0.920 B.0.964 C.0.975 D.0.982 答案　D 解析　因为F(1)≈0.221， 所以≈0.779≈-ln 0.779，2k≈4， 得k≈2， 所以F(4)=1-≈1-e-4≈0.982. 5.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少则使产品达到市场要求的过滤次数至少为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.6 B.9 C.8 D.7 答案　C 解析　设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则 即 由nlg ≤-lg 20， 即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2)， 得n≥≈7.4，故过滤次数至少为8. 6.(多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t=且该食品在储藏温度为4 ℃时的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A.该食品在储藏温度为6 ℃时的保鲜时间是8小时 B.当x∈[-6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少 C.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D.到了此日14时，甲所购买的食品已过保鲜时间 答案　AD 解析　由题设，可得24k+6=16，解得k=- ∴t= 令x=6，则t=23=8，故A正确； 当x∈[-6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0，6]时，保鲜时间t随x的增大而减少，故B错误； 由图知在11时前的某一时刻至13时，室外温度均不低于10 ℃，当x=10时，t=26-5=2，故到13时甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误；由以上分析知，这天的14时，甲所购买的食品已过保鲜时间，故D正确. 7.白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞计数为(4.0~10.0)×109/L，可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可以用对数模型W(m)=-W0ln(Km)描述白细胞计数W(m)(单位：109/L)与用药量m(单位：mg)的变化规律，其中W0为初始白细胞计数对应值，K为参数.已知W0=20，用药量m=50时，在规定时间后测得白细胞计数W=14，要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到(参考数据：≈1.221)(　　) A.58 B.59 C.60 D.62 答案　D 解析　由已知W0=20，m=50，W(50)=14， 代入W(m)=-W0ln(Km)， 则14=-20ln(50K)，解得K= 则W(m)=-20ln 因为用药量m=50时，在规定时间后测得白细胞计数W=14，白细胞计数值偏高， 所以令W(m)=-20ln≤10， 即ln≥- 解得m≥50≈50×1.221=61.05. 所以要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到62. 8.(5分)近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示： x 10 15 20 25 30 Q(x) 50 55 60 55 50 给出以下四个函数模型： ①Q(x)=ax+b；②Q(x)=a|x-m|+b；③Q(x)=a·bx；④Q(x)=alogbx. 根据表中的数据，最适合用来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系的函数模型是　　　　.  答案　② 解析　由表格中的数据知，当时间x变化时， Q(x)先增后减， 函数模型①Q(x)=ax+b；③Q(x)=a·bx； ④Q(x)=alogbx都是单调函数， 所以选择模型②Q(x)=a|x-m|+b. 9.(5分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为　　　　　　　　.  答案　t=-ln 解析　因为N=N0e-λt，所以=e-λt，两边取以e为底的对数，所以t=-ln . 10.(10分)据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加. (1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(3分) (2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；(3分) (3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(4分) 解　(1)依题意，得一年后这种鸟类的个数为1 000+1 000×8%=1 080(只)， 两年后这种鸟类的个数为1 080+1 080×8%≈1 166(只). (2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加， 则所求的函数关系式为y=1 000×1.08x，x∈N. (3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3， 因为lg 1.08>0，所以x≥ 所以x≥ 因为lg 108=lg(33×22)=3lg 3+2lg 2， 所以x≥ ≈≈14.3， 故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上. 11.某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　) A.16 h B.20 h C.24 h D.26 h 答案　C 解析　由题意可知，当x=0时，y=192；当x=22时，y=48， ∴解得则当x=33时， y=e33k+b=·eb=×192=24. 12.(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.不同声源的声压级如表所示： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 答案　ACD 解析　因为Lp=20×lg随着p的增大而增大， 且∈[60，90]∈[50，60]， 所以 所以p1≥p2，故A正确； 由Lp=20×lg得p=p01 因为=40， 所以p3=p01=100p0，故C正确； 假设p2>10p3，则p01>10p01 所以1>10， 所以>20，不可能成立，故B不正确； 因为=1≥1， 所以p1≤100p2，故D正确. 13.(13分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表： t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a·bt，Q=alogbt；(7分) (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.(6分) 解　(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Q=at+b，Q=a·bt，Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c，可得 解得a=b=-c=. 所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+. (2)由(1)可得，函数Q为图象开口向上，对称轴为 t=-=150的抛物线， 所以当t=150天时，芦荟种植成本最低为 Q=×1502-×150+=100(元/10 kg). 学科网（北京）股份有限公司 $