4.5.3函数模型的应用课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“函数模型的应用”，通过复利投资等生活情境导入，衔接一次、二次、指数、对数等常见函数模型梳理，再以自我诊断题巩固基础，构建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如咖啡冷却、放射性元素衰减）为载体，分已知模型、建立模型、拟合模型题型讲解，结合通性通法总结步骤，落实数学建模、数学运算等核心素养。学生能提升解决实际问题能力，教师可直接用于分层教学和课堂互动。

4.5.3　 函数模型的应用 新课程标准解读 核心素养 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学建模 2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元， 40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的 增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按 复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，设本利和 为 y ，存期为 x ，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写 出本利和 y 随着存期 x 变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期 的利率为2.25%. 目录 数学·必修第一册 【问题】　五期后的本利和是多少？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点　几种常见函数模型 目录 数学·必修第一册 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0） 反比例函数模型 二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a ≠0） 指数型函数模型 f （ x ）＝ bax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a ≠1） 目录 数学·必修第一册 函数模型 函数解析式 对数型函数模型 f （ x ）＝ b log ax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a ≠1） 幂函数型模型 f （ x ）＝ axn ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0） 分段函数模型 目录 数学·必修第一册 1. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利 润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映 该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用（　　） A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 解析： 　由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越 来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢. 目录 数学·必修第一册 2. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个 这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的关系可以表示 为 ⁠. 解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，…， 分裂 x 次后为 y ＝2 x＋1个，所以函数关系式 y ＝2 x＋1. y ＝2 x＋1　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 已知函数模型解决实际问题 【例1】　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设 物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是 T ，则 T － Ta ＝（ T0 － Ta ）× ，其中 Ta 表示环境温度， h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需 要 20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？ 目录 数学·必修第一册 解：先设定半衰期 h ，由题意知40－24＝（88－24）× ，即 ＝ ，解得 h ＝10， 故原式可化简为 T －24＝（88－24）× ， 当 T ＝32时，代入上式，得32－24＝（88－24）× ，即 ＝ ＝ ＝ ， 所以 t ＝30.因此，降温到32 ℃需要30 min. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用已知函数模型解决实际问题的方法 （1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； （2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； （3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方 法，将指数运算转化为对数运算. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v （m/s）和燃料的质量 M （kg）、火箭（除燃料外）的质量 m （kg）的函数关系式是 v ＝2 000·ln .当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大 速度可达12千米/秒. 解析：当 v ＝12 000 m/s时，2 000·ln ＝12 000，所以ln ＝6.所以 ＝e6－1. e6－1　 目录 数学·必修第一册 题型二 建立函数模型解决实际问题 【例2】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. （1）求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式； 解： 最初的质量为500 g. 经过1年， w ＝500（1－10%）＝500×0.9； 经过2年， w ＝500×0.92； 由此推知， t 年后， w ＝500×0.9 t . 目录 数学·必修第一册 （2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确 到0.1）. 解： 由题意得500×0.9 t ＝250，即0.9 t ＝0.5， 两边取以10为底的对数，得lg 0.9 t ＝lg 0.5， 即 t lg 0.9＝lg 0.5， ∴ t ＝ ≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为6.6年. 目录 数学·必修第一册 通性通法 建立函数模型解决实际问题的步骤 （1）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图； （2）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型； （3）选择其中的几组数据求出函数模型； （4）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合 实际，若不符合实际，则返回步骤（2）；若符合实际，则进入 下一步； （5）用所得函数模型解决实际问题. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了 5%，如果按此速度，设2024年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为 m ，则从 2024年起， x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数解析式是 （　　） C. y ＝0.9550－ x · m D. y ＝（1－0.0550－ x ）· m 目录 数学·必修第一册 解析： 　设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的 q %.由题意可 知（ q %）50＝0.95，所以 q %＝0.9 ，所以从2024年起， x 年后北 冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数解析式为 y ＝0.9 · m . 目录 数学·必修第一册 题型三 拟合函数模型解决实际问题 【例3】　某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染 度为60，整治后前四个月的污染度如表： 月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … 目录 数学·必修第一册 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三 个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况： f （ x ）＝20｜ x －4｜（ x ≥1）， g （ x ）＝ （ x －4）2（ x ≥1）， h （ x ）＝30｜ log2 x －2｜（ x ≥1），其中 x 表示月数， f （ x ）， g （ x ）， h （ x ） 分别表示污染度. 目录 数学·必修第一册 （1）选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； 解： 选用 h （ x ）模拟比较合理，理由如下： 计算各函数对应各月份污染度得下表： 月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … f （ x ） 60 40 20 0 … g （ x ） 60 26.7 6.7 0 … h （ x ） 60 30 12.45 0 … 从上表可知，函数 h （ x ）模拟比较合理，故选择 h （ x ）作为 模拟函数. 目录 数学·必修第一册 （2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不 超过60. 解： 令 h （ x ）≤60，得｜log2 x －2｜≤2， 得0≤log2 x ≤4， 解得1≤ x ≤16， 所以整治后有16个月的污染度不超过60. 目录 数学·必修第一册 通性通法 建立拟合函数与预测的基本步骤 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 某纪念章从2024年2月1日开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每 1枚的市场价 y （单位：元）与上市时间 x （单位：天）的数据如下： 上市时间 x 天 4 10 36 市场价 y 元 90 51 90 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念 章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：① y ＝ ax ＋ b ；② y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；③ y ＝ a log bx . 目录 数学·必修第一册 解： 选取② y ＝ ax2＋ bx ＋ c .理由如下： 因为随着时间 x 的增加， y 的值先减后增，而所给的三个函数中 y ＝ ax ＋ b 和 y ＝ a log bx 显然都是单调函数，不满足题意，所以 选取 y ＝ ax2＋ bx ＋ c . 目录 数学·必修第一册 （2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最 低的价格. 解： 把点（4，90），（10，51），（36，90）代入 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 中，得 解得 a ＝ ， b ＝－10， c ＝126. 所以 y ＝ x2－10 x ＋126＝ （ x －20）2＋26， 所以当 x ＝20时， y 有最小值， ymin＝26. 故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价 为26元. 目录 数学·必修第一册 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A. 分段函数 B. 二次函数 C. 指数函数 D. 对数函数 解析： 　由题图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数 模型. 目录 数学·必修第一册 2. 若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过 x 年 后的剩余量为 y ，则 x ， y 的函数关系是（　　） B. y ＝0.957 6100 x 解析： 　设镭的衰变率为 p ，则 x ， y 的函数关系是 y ＝（1－ p ） x ，当 x ＝100时， y ＝0.957 6，即0.957 6＝（1－ p ）100，解得1－ p ＝0.957 .即 y ＝ . 目录 数学·必修第一册 3. (2025高一上·天河期末) 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么min后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，min以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为是 （ ） A. min B. min C. min D. min 目录 数学·必修第一册 解析： 由题意可知，，当时，，于是，整理得，当，，，有， 所以，故， 将代入可得，可得， 物体温度降为所需要的冷却时间为min. 故答案为：C.. 目录 数学·必修第一册 4. （2024·济南月考）已知强度为 x 的声音对应的等级为 f （ x ） dB 时，有 f （ x ）＝10lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音约为60 dB. 则喷气式飞机起飞时的声音强 度是一般说话时声音强度的 倍. 解析： f （ x ）＝10lg ＝10（lg x ＋12）.当 f （ x ）＝140时， 10（lg x ＋12）＝140，所以 x ＝100.当 f （ x ）＝60时，10（lg x ＋ 12）＝60，所以 x ＝10－6. ＝108，所以喷气式飞机起飞时的声 音强度是一般说话时声音强度的108倍. 108　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 某种产品今年的产量是 a ，如果保持5%的年增长率，那么经过 x 年 （ x ∈N*），该产品的产量 y 满足（　　） A. y ＝ a （1＋5% x ） B. y ＝ a ＋5% C. y ＝ a （1＋5%） x－1 D. y ＝ a （1＋5%） x 解析： 　经过1年， y ＝ a （1＋5%），经过2年， y ＝ a （1＋ 5%）2，…，经过 x 年， y ＝ a （1＋5%） x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 某商场2024年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示， 时间 t 1 2 3 4 利润 y （千元） 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（　　） A. y ＝log2 t B. y ＝2 t C. y ＝ t2 D. y ＝2 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　作出散点图如图所示. 由散点图可知，图象不是直线， 排除选项D；图象不符合对数函 数的图象特征，排除选项A；把 t ＝1，2，3，4代入B，C选项的函 数中，函数 y ＝2 t 的函数值最接近 表格中的对应值，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这 种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质 含量减少 ，则使产品达到市场要求的过滤次数可为（参考数据： lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　设经过 n 次过滤，产品达到市场要求，则 × ≤ ，即 ≤ ，即 n lg ≤－lg 20，即 n （lg 2－lg3）≤－（1 ＋lg 2），即 n ≥ ≈7.4，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司 研发A型芯片已经获得成功，正准备投入批量生产.经市场调研与 预测，生产该芯片的利润 y （千万元）与投入的资金 x （千万元） 的函数关系为 y ＝ kxa （ x ＞0），其图象如图所示.若该公司准备投 入9千万元生产A型芯片，则预测公司能获利润 千万元. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析：由题意可知，因生产A芯片的利润 y （千万元）与投入资金 x （千万元）的函数关系式为 y ＝ kxa （ x ＞0），又因函数 y ＝ kxa （ x ＞0）的图象过点（1，1），（4，2），所以解得 所以 y ＝ ，即当 x ＝9时， y ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 某公司职工分别住在 A ， B ， C 三个住宅区， A 区有30人， B 区有 15人， C 区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示， 公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要使所有职工步行到停 靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在（　　） A. A 区 B. B 区 C. C 区 D. A ， B 两区之间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意得，若停靠在 A 区，所有员工路程和为15×100 ＋10×300＝4 500（米）；若停靠在 B 区，所有员工的路程和为 30×100＋10×200＝5 000（米）；若停靠在 C 区，所有员工的路 程和为30×300＋15×200＝12 000（米）；若停靠点在 A 区和 B 区 之间，设距离 A 区为 x 米，所有员工的路程和为30 x ＋15×（100 － x ）＋10×（100＋200－ x ）＝5 x ＋4 500，当 x ＝0时取得最小 值，故停靠点为 A 区.综上，若停靠点为 A 区，所有员工步行到停 靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在 A 区. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6.  (2025高一上·内江期末) 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（附：本题参考数据：） （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. 6 h B. 10 h C. 11 h D. 33h 目录 数学·必修第一册 解析： 　根据题意可知，当.为最开始的污染物含量.当时，废气的污染物含量为. 所以.所以当污染物减少50%时，可设.所以,所以, 则.所以. 故答案为：D.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全 面消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药 物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从 喷洒药物开始，商场内部的药物浓度 y （毫克/立方米）与时间 t （分钟）之间的函数关系为 y ＝函数的图象 如图所示.如果商场规定9：30顾客可以进入商场， 那么开始喷洒药物的时间最迟是（　　） A. 9：00 B. 8：40 C. 8：30 D. 8：00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　根据函数的图象，可得函数的图象过点（10，1），代 入函数的解析式，可得 ＝1，解得 a ＝1，所以 y ＝ 令 y ≤0.25，可得0.1 t ≤0.25或 ≤0.25，解得0≤ t ≤2.5或 t ≥30，所以如果商场规定9：30顾客 可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $