4.1 整式 预习讲义-2026-2027学年新版人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“整式”核心知识点，系统梳理单项式（定义、系数、次数）、多项式（定义、项、次数）及整式的概念，构建从基础概念到综合应用的学习支架，为后续整式加减学习奠定基础。 资料亮点在于知识点与考点深度融合，通过概念辨析题、求参问题等培养抽象能力和推理能力，例题变式设计助力学生理解应用，课中辅助教师系统教学，课后分层作业帮助学生巩固查漏，提升数学语言表达与问题解决能力。

第四章 整式的加减 01讲 整式 目录 【知识点1. 单项式 1】 【知识点2. 多项式 2】 【知识点3. 整式的概念 3】 【考点1. 单项式的概念 4】 【考点2. 单项式的系数、次数 5】 【考点3. 多项式的概念 5】 【考点4. 多项式的项、项数和次数 6】 【考点5. 整式的概念 6】 【考点6. 写出满足特征的单项式或多项式 7】 【考点7. 单项式、多项式求参问题 7】 【考点8. 将多项式按照某个字母升（降）幂排序 8】 【课后作业 9】 知识清单：单项式 1、单项式 1）单项式的概念：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例：的系数为。 注：单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如的系数是1，－的系数是－1。 3）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 注：如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式。如92t的次数是1，它是一次单项式；的次数是3，它是三次单项式 巩固基础 1．在代数式，，，，，，单项式的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在式子中，单项式有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 4．单项式的系数是（    ） A． B． C．8 D．1 5．单项式的系数是______． 6．请写出一个含有字母和，且系数为，次数为3的单项式：___________． 7．若单项式和的次数相同，则 ． 知识清单：多项式 1、多项式 1）多项式：几个单项式的和。 2）项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 3）常数项：不含字母的项。 4）多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数。（最高次数是n次，就叫做n次式）。 巩固基础 1．下列代数式中，是多项式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列判断中错误的是（   ） A．是二次三项式 B．的次数是5 C．是单项式 D．的系数是 3．已知，0，，，，中多项式有 _____ 个． 4．在代数式，，，，0，中，多项式有______个． 5．多项式的最高次项的系数是______． 6．按要求填表： 多项式 次数 项数 最高次项 常数项 知识清单：整式的概念 1、整式的概念 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的； ②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（故不是单项式或多项式） 巩固基础 1．下列各式不是整式的是（   ） A． B．0 C． D． 2．下列式子：中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列说法正确的是（　　） A．的项是， B．是单项式 C．5，，都是整式 D．是二次二项式 4．在，，，，中，整式有______个． 5．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入所对应的横线上． ，，，，，，，． 单项式：________ ； 多项式：________ ； 整式：________ ． 直击考点 【考点1：单项式的概念】 例1.下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 例2.在式子：，，，，，中，单项式有____个． 变式1.已知下列各式： ，其中单项式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2.下列代数式：，，，6，，，单项式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式3.下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式4.在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有________． 变式5.下列代数式中有________个单项式． ，，，，0，，， 【考点2：单项式的系数、次数】 例1.单项式的系数是（    ） A．6 B．5 C．2 D． 例2.单项式的系数是________． 变式1.单项式的系数和次数分别是（　　） A．3，2 B．，2 C．3，3 D．，3 变式2.单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 变式3.的系数为______． 变式4.（1）单项式的系数是______，次数是_______； （2）单项式的系数是_______，次数是_______； （3）代数式的系数是_______，次数是_______。 【考点3：多项式的概念】 例1.下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 例2.式子，，，，，，中，多项式有______个． 变式1.下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 变式2.在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3.在代数式，，，，，中，多项式的个数是________． 【考点4：多项式的项、项数和次数】 例1.多项式 是（ ） A．二次二项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．三次三项式 例2.多项式的次数是________． 变式1.多项式的次数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 变式2.多项式的最高次项系数为(   ) A． B． C． D． 变式3.代数式中，是一次式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式4.多项式的最高次项的系数是______． 变式5.多项式是______次四项式，它的最高次项的系数为______，常数项为______． 【考点5：整式的概念】 例1.下列代数式中不是整式的是（　　） A． B． C． D． 例2.下列说法错误的是（　　） A．2021是整式 B．的次数是4 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 例3.在式子中，整式有_____________个． 变式1.在代数式，，，，，π中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式2.关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．单项式的次数为1 C．多项式是二次二项式 D．，，是的项 变式3.下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有 ；（请填写序号） （2）属于多项式的有 ；（请填写序号） （3）属于整式的有 ．（请填写序号） 变式4.下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 变式5.有下列式子： ； ； ； ； ； ．其中属于单项式的有____，属于多项式的有____，属于整式的有____．（填序号） 【考点6：写出满足特征的单项式或多项式】 例1.写一个含有字母，，且系数为，次数是的单项式为_______． 例2.请写出一个只含字母x，y的五次单项式___________ 变式1.一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式：_______． 变式2.写出一个只含字母的二次三项式，如果它的二次项系数为3，常数项和一次项系数互为相反数，那么这个二次三项式可以为_________（只需写出一种情况）． 变式3.请写出一个只含a，b两个字母，且常数项为的三次二项式：_______． 变式4.①只含有字母x和y；②每一项的次数都是2；③按字母x的升幂排列．请写出一个同时满足上述条件的二次三项式：________． 【考点7：单项式、多项式求参问题】 例1.已知多项式是关于的二次三项式，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 例2.如果整式是三次三项式，那么n等于___________ 例3.若是含有字母x和y的五次单项式，求m，n可能的值． 变式1.已知多项式是六次四项式，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2.多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 变式3.单项式的次数等于7，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式4.若多项式是关于x的三次二项式，则___，__． 变式5.若关于的多项式中不含二次项和一次项，求的值． 【考点8：将多项式按照某个字母升（降）幂排序】 例1.把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 例2.将多项式先按的升幂排列，再按的降幂排列． 变式1.多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 变式2.将按字母的降幂排列：________． 变式3.将多项式按字母的升幂排列为__________． 变式4.把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 变式5.把多项式按要求重新排列： (1)把这个多项式按的降幂重新排列； (2)把这个多项式按的升幂重新排列． 课后作业 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 2．（2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是6 C．的三次项系数是 D．是五次三项式 5．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．相反数等于它本身的数是1 C．是多项式 D．1是绝对值最小的数 6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ） A． B． C．32 D．12 7．（25-26九年级下·江西九江·月考）单项式的次数是______． 8．（25-26七年级上·河南商丘·期末）已知是关于x，y的多项式，若该多项式不含二次项，则的值是________． 9．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）若关于的多项式的次数是是单项式的系数，则的值为_____． 10．（25-26七年级上·北京·月考）单项式的系数和次数分别为_______． 11．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）观察下列代数式：，，，，，，按照上述规律，第个代数式是______，第个代数式是______． 12．（25-26七年级上·四川乐山·期末）把多项式，按的降幂排列为_______________． 13．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，它把（其中为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后，含项的系数为________． 14．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 15．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 16．（25-26六年级上·山东烟台·期末）若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 17．（25-26七年级上·云南昭通·月考）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{         …}； 多项式集合{         …}． 18．（25-26七年级上·河南商丘·月考）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 19．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 20．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 21．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 22．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知多项式是六次四项式，单项式与多项式的次数相同，求的值． 23．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 24．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 25．（25-26七年级上·河南·期末）在学习了有理数的运算和代数式后，数学活动小组的同学们在研究下列等式时，发现了这些等式有规律，于是开展了如下探究活动： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： (1)请写出第个等式：___________； (2)直接用字母表示第n个等式的结果为：___________； (3)郑州地铁1号线的数轴上，点A表示“郑州火车站”，其数为多项式的一次项系数，点B表示“二七广场站”，其数为该多项式的常数项．地铁巡检机器人P从点A出发，沿数轴来回移动，移动的规律是：第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度当地铁巡检机器人P按此规律移动次时，求的值． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 01讲 整式 目录 【知识点1. 单项式 1】 【知识点2. 多项式 4】 【知识点3. 整式的概念 7】 【考点1. 单项式的概念 9】 【考点2. 单项式的系数、次数 12】 【考点3. 多项式的概念 13】 【考点4. 多项式的项、项数和次数 15】 【考点5. 整式的概念 17】 【考点6. 写出满足特征的单项式或多项式 21】 【考点7. 单项式、多项式求参问题 22】 【考点8. 将多项式按照某个字母升（降）幂排序 25】 【课后作业 27】 知识清单：单项式 1、单项式 1）单项式的概念：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例：的系数为。 注：单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如的系数是1，－的系数是－1。 3）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 注：如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式。如92t的次数是1，它是一次单项式；的次数是3，它是三次单项式 对于一个非零的数，规定它的次数为0. 巩固基础 1．在代数式，，，，，，单项式的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式的定义；根据单项式的定义：数字或字母的积，不含加减运算，逐一判断每个代数式是否为单项式． 【详解】解：∵含有加法运算，是多项式，不是单项式； ∵是常数，是单项式； ∵可化为，是数字与字母的积，是单项式； ∵含有加法运算，是多项式，不是单项式； ∵含有减法运算，是多项式，不是单项式； ∵是数字与字母的积，是单项式． ∴单项式有、、，共3个． 故选：B． 2．在式子中，单项式有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字与字母的乘积组成的式子是单项式，单个的数字和字母也是单项式，是解题的关键． 根据单项式的定义，即可求解． 【详解】解：根据单项式的定义，,都是两个单项式的和，是多项式，是数字与字母的商，不是单项式，，符合单项式定义，故单项式有：共三个. 故选：． 3．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母的指数和即可得到答案． 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 4．单项式的系数是（    ） A． B． C．8 D．1 【答案】A 【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数即可解答． 【详解】解：的系数是． 5．单项式的系数是______． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义，找出单项式中的数字因数即可，注意是常数，不是字母． 【详解】解：在单项式中，是常数，不属于字母，因此该单项式的数字因数为． 6．请写出一个含有字母和，且系数为，次数为3的单项式：___________． 【答案】（或，写一个即可） 【分析】本题考查单项式的相关概念；根据单项式的系数和次数的定义，系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此需构造一个系数为、次数为且含有字母和的单项式. 【详解】解：单项式的系数为，次数为，且必须含有字母和，因此字母和的指数之和为， ∴、符合题意. 故答案为：（或，写一个即可）. 7．若单项式和的次数相同，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的次数，根据单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， 故答案为：3 知识清单：多项式 1、多项式 1）多项式：几个单项式的和。 2）项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 3）常数项：不含字母的项。 4）多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数。（最高次数是n次，就叫做n次式）。 巩固基础 1．下列代数式中，是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的识别，解题的关键是掌握多项式的定义． 根据多项式的定义逐项进行判断即可，即几个单项式的和叫作多项式． 【详解】解：A、该选项为单项式，不符合题意； B、该选项为单项式，不符合题意； C、 该选项为多项式，符合题意； D、该选项为单项式，不符合题意； 故选：C． 2．下列判断中错误的是（   ） A．是二次三项式 B．的次数是5 C．是单项式 D．的系数是 【答案】C 【分析】本题考查了单项式、多项式的相关定义，根据多项式的定义对A进行判断；根据单项式的次数和系数的定义对B、C、D进行判断．理解单项式、多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、是二次三项式，所以A选项正确，不符合题意； B、单项式的次数是5，所以B选项正确，不符合题意； C、不是单项式，所以C选项错误，符合题意； D、中，系数是，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．已知，0，，，，中多项式有 _____ 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，根据定义判断即可． 【详解】解：是两个单项式的和，是多项式； 0是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 可化为，是两个单项式的和，是多项式； 是单项式，不是多项式． 故多项式有2个． 故答案为：． 4．在代数式，，，，0，中，多项式有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．根据多项式的定义分析即可． 【详解】解：，，是多项式，共3个， 0，是单项式， 的分母含字母，不是整式； 故答案为：3． 5．多项式的最高次项的系数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的有关定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据多项式的定义，最高次项是次数最高的项，系数是该项的数字因数，据此作答即可． 【详解】多项式中，项的次数为2，项的次数为3，项为常数项，次数为0， 因此最高次项是，其系数为． 故答案为． 6．按要求填表： 多项式 次数 项数 最高次项 常数项 【答案】 多项式 次数 项数 最高次项 常数项 【分析】本题考查多项式的项数，次数，多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 根据多项式的性质进行解答． 【详解】解：多项式由两个单项式组成，最高次项是，次数是，常数项是； 多项式由三个单项式组成，最高次项是，次数是，常数项是； 多项式由四个单项式组成，最高次项是，次数是，常数项是； 填表如下： 多项式 次数 项数 最高次项 常数项 知识清单：整式的概念 1、整式的概念 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的； ②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（故不是单项式或多项式） 巩固基础 1．下列各式不是整式的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的定义，解决此题的关键是熟记整式的定义． 单项式与多项式统称为整式，根据整式的定义解答即可． 【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意； B、是整式，故此选项不符合题意； C、，不是整式，故此选项符合题意； D、是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列式子：中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义， 根据整式包括单项式和多项式解答即可. 【详解】解：因为是多项式，是单项式，都是整式， 所以整式有4个. 故选：B. 3．下列说法正确的是（　　） A．的项是， B．是单项式 C．5，，都是整式 D．是二次二项式 【答案】C 【分析】本题考查了整式的定义，单项式的定义，多项式的项数和次数，整式包括单项式和多项式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的项是，，故该选项不正确，不符合题意； B、是多项式，故该选项不正确，不符合题意； C、5，，都是整式，故该选项正确，符合题意； D、是三次二项式，故该选项不正确，不符合题意； 故答案为：C 4．在，，，，中，整式有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的定义，整式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，，，中，整式有，，，，共4个， 故答案为：4． 5．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入所对应的横线上． ，，，，，，，． 单项式：________ ； 多项式：________ ； 整式：________ ． 【答案】 ，，， ，， ，，，，，， 【分析】本题主要考查了单项式、多项式及整式的定义．根据单项式、多项式及整式的概念来分类：1、单项式：数与字母的乘积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（1）数字与字母的乘积的形式叫做单项式；（2）单个字母也是单项式；（3）单个数字是单项式；2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式． 【详解】解：依题意， 单项式：，，，； 多项式：，，； 整式：，，，，，，； 故答案为：，，，；，，；，，，，，，． 直击考点 【考点1：单项式的概念】 例1.下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的识别，解题的关键是掌握单项式的定义． 利用单项式的定义逐项进行判断即可，即单项式是数与字母或字母与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式． 【详解】解：A.该选项是单项式，不符合题意； B. 该选项不是单项式，符合题意； C. 该选项是单项式，不符合题意； D. 该选项是单项式，不符合题意； 故选：B． 例2.在式子：，，，，，中，单项式有____个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字与字母的乘积组成的式子是单项式，单个的数字和字母也是单项式是解题的关键．根据单项式的定义，即可求解． 【详解】解：单项式有，，，，共4个． 故答案为：4． 变式1.已知下列各式： ，其中单项式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查单项式，根据单项式的定义数字与字母的积的形式，其中单个数字或单个字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：中是单项式的有，共5个； 故选D． 变式2.下列代数式：，，，6，，，单项式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式．据此判断即可． 【详解】解：在代数式：，，，6，，中，单项式有：，，6，，共4个， 故选：B 变式3.下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查单项式，根据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：，，0，是单项式，共4个， 故选：B． 变式4.在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有________． 【答案】①③ 【分析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义是解题的关键． 【详解】解：式子，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子，，不是单项式； 式子为等式，不是单项式； 故单项式有①③． 故答案为：①③． 变式5.下列代数式中有________个单项式． ，，，，0，，， 【答案】5 【分析】根据单项式的定义进行判断即可． 本题主要考查了单项式的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单个的字或数字也是单项式． 【详解】单项式有，，0，，y，共5个． 故答案为：5． 【考点2：单项式的系数、次数】 例1.单项式的系数是（    ） A．6 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可求解． 【详解】解：单项式的系数是． 故选：D． 例2.单项式的系数是________． 【答案】 / 【详解】解：单项式的系数是． 变式1.单项式的系数和次数分别是（　　） A．3，2 B．，2 C．3，3 D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数的次数，理解相关定义是解题的关键．根据单项式系数和次数和定义解题即可． 【详解】解：的系数为，次数为． 故选：D． 变式2.单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数是除了字母以外的所有数字因素，据此即可解答． 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是， ∴它的系数为， 故选：C． 变式3.的系数为______． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的系数，系数是单项式中的数字因数，据此求解即可． 【详解】解：的系数为． 故答案为：． 变式4.（1）单项式的系数是______，次数是_______； （2）单项式的系数是_______，次数是_______； （3）代数式的系数是_______，次数是_______。 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，解题的关键是掌握单项式系数、次数等相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数． 【详解】解：（1）单项式的系数是，次数是； （2）单项式，故的系数是，次数是； （3）代数式的系数是，次数是. 故答案为：① ② ③   ④ ⑤    ⑥ ． 【考点3：多项式的概念】 例1.下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式，根据单项式的和的形式叫做多项式进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式，不符合题意； B、是单项式，不符合题意； C、是单项式，不符合题意； D、是多项式，符合题意； 故选D． 例2.式子，，，，，，中，多项式有______个． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据多项式的定义逐个判断即可，正确理解几个单项式的和叫作多项式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，，是多项式，共个， 故答案为：． 变式1.下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的知识，几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可． 【详解】解：下列式子：，，，，，，，．其中，，，是多项式，共4个． 故选B． 变式2.在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的定义“几个单项式的和为多项式”．根据多项式的定义即可判断． 【详解】解：代数式，，，，，中，多项式有，，，即多项式有3个， 故选：B． 变式3.在代数式，，，，，中，多项式的个数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据多项式的定义，几个单项式的和称为多项式， 故多项式有，，， 故答案为：． 【考点4：多项式的项、项数和次数】 例1.多项式 是（ ） A．二次二项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．三次三项式 【答案】B 【分析】此题考查的是多项式次数和项数的判断，掌握多项式次数的定义和项数的定义是解决此题的关键．根据多项式次数的定义和项数的定义即可得出结论． 【详解】解：多项式中，次数最高的项为，其次数为2，由3个单项式组成， 故多项式是二次三项式 故选B． 例2.多项式的次数是________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数，多项式的次数是指所有项中最高次项的次数，每一项的次数是该项中所有变量的指数之和． 【详解】解：多项式中，项的次数为，项的次数为，故最高次数为4，因此多项式的次数是4． 故答案为：． 变式1.多项式的次数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的次数，掌握多项式的次数是次数最高项的次数是解题的关键． 先确定该多项式中各项的次数，再确定多项式的次数即可． 【详解】解：∵的次数是3，的次数是4，1的次数是0，且， ∴多项式的次数是4． 故选C． 变式2.多项式的最高次项系数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，多项式中有几个单项式，则该多项式就有几项．根据多项式中次数最高项的次数是多项式的次数进行解答即可． 【详解】解：， ∴最高次项系数为， 故选：D． 变式3.代数式中，是一次式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次式的定义，熟练掌握一次式是代数式中各变量的最高次数为1的整式是解题的关键．根据一次式的定义，即代数式中各变量的最高次数为1的整式，对每个代数式的次数进行逐一判断． 【详解】解： 是一次式，不是一次式，是一次式，不是一次式，是一次式，是一次式， 综上，一次式共有4个， 故选：B． 变式4.多项式的最高次项的系数是______． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项和次数，先确定出多项式中的最高次项，再根据单项式的系数为其数字因数，进行求解即可． 【详解】解：多项式的最高次项为，其系数为：； 故答案为：． 变式5.多项式是______次四项式，它的最高次项的系数为______，常数项为______． 【答案】 四 【分析】本题考查与多项式相关的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的项和次数的定义，确定最高次项和常数项，注意要带有符号． 【详解】解：多项式是四次四项式，最高次项的系数是，常数项是． 故答案为：四；；． 【考点5：整式的概念】 例1.下列代数式中不是整式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的定义，注意整式包括多项式和单项式．根据整式的定义即可解答． 【详解】解：A．，是多项式，所以是整式，故本选项不符合题意； B．，是多项式，所以是整式，故本选项不符合题； C．，是单项式，所以是整式，故本选项不符合题意； D．，是分式，所以不是整式，故本选项符合题意． 故选：D． 例2.下列说法错误的是（　　） A．2021是整式 B．的次数是4 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 【答案】B 【分析】此题考查了单项式和多项式的概念，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的概念．单项式：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．多项式：由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．其中多项式中不含字母的项叫做常数项． 根据单项式和多项式的概念求解即可． 【详解】解：A、2021是单项式，选项正确，不符合题意； B、的次数是3，选项错误，符合题意； C、是二次二项式，选项正确，不符合题意； D、多项式的常数项为，选项正确，不符合题意． 故选：B． 例3.在式子中，整式有_____________个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】解：式子，，，，中，整式有：，，，共3个． 故答案为：3． 变式1.在代数式，，，，，π中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，熟记定义是解本题的关键． 根据整式包括单项式和多项式进行解答即可． 【详解】解：代数式中， 整式有：，共 4 个， 故选：B． 变式2.关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．单项式的次数为1 C．多项式是二次二项式 D．，，是的项 【答案】B 【分析】本题考查整式、单项式和多项式的相关概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：单项式属于整式，但整式包含单项式和多项式，因此整式不一定是单项式．选项A错误． 选项B：单项式中，是常数，变量的指数为1，故次数为1．选项B正确． 选项C：多项式按降幂排列为，最高次项为二次，且共有三项，应为二次三项式．选项C错误． 选项D：多项式的项为、、，而选项D中的符号与原式不符，因此选项D错误． 故选：B 变式3.下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有 ；（请填写序号） （2）属于多项式的有 ；（请填写序号） （3）属于整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①④ ①③④⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式．根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：（1）属于单项式的有③；⑤0；⑥n； 故答案为：③⑤⑥； （2）属于多项式的有①；④； 故答案为：①④； （3）属于整式的有①；③；④；⑤0；⑥n． 故答案为：①③④⑤⑥． 变式4.下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 【答案】 3 ② 4 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 变式5.有下列式子： ； ； ； ； ； ．其中属于单项式的有____，属于多项式的有____，属于整式的有____．（填序号） 【答案】 ①⑤ ②④⑥ ①②④⑤⑥ 【分析】根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式，可以判断出是单项式；根据几个单项式的和叫做多项式，可以判断出属于多项式的有；根据单项式和多项式统称整式，可以判断出属于整式的有． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式， 是与的积， 是单项式， 是、、的积， 是单项式， 属于单项式的有； 几个单项式的和叫做多项式， ，是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 属于多项式的有； 单项式和多项式统称整式， 属于整式的有． 中的分母中含有字母， 是分式，既不是单项式也不是多项式，也不是整式． 【点睛】本题主要考查了单项式、多项式、整式．解决本题的关键是熟练地掌握单项式、多项式、整式的定义． 【考点6：写出满足特征的单项式或多项式】 例1.写一个含有字母，，且系数为，次数是的单项式为_______． 【答案】（或） 【分析】要构造满足条件的单项式，根据单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．明确单项式的系数、字母及次数，即可解答． 【详解】解：∵单项式的次数等于各个字母指数之和， ∴满足题意的单项式有两个：，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的概念．关键是理解单项式中单项式的次数、系数的概念． 例2.请写出一个只含字母x，y的五次单项式___________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1.一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数的概念，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵单项式满足∶①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母 ∴满足单项式的条件如：， 故答案为：． 变式2.写出一个只含字母的二次三项式，如果它的二次项系数为3，常数项和一次项系数互为相反数，那么这个二次三项式可以为_________（只需写出一种情况）． 【答案】（符合条件即可） 【分析】根据二次三项式和多项式的系数、次数、常数项的有关概念，只含字母x及相反数的概念，即可得出答案． 本题考查了多项式及相反数．关键是能根据多项式的系数、次数、常数项的有关概念写出多项式． 【详解】解：∵这个只含字母的二次三项式，常数项和一次项系数互为相反数， ∴常数项可以是，则一次项系数为1， ∵它的二次项系数为3， ∴这个二次三项式可以是：． 故答案为：．（答案不唯一） 变式3.请写出一个只含a，b两个字母，且常数项为的三次二项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查的是多项式的项数和次数．根据多项式的次数和项数的概念解答即可．二次三项式是指最高次为2次，并含有三项，而常数项为，即可作答． 【详解】解：∵只含a，b两个字母，且常数项为的三次二项式， ∴该三次二项式为， 故答案为：（答案不唯一） 变式4.①只含有字母x和y；②每一项的次数都是2；③按字母x的升幂排列．请写出一个同时满足上述条件的二次三项式：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念和多项式的次数，项数的概念，熟记多项式的次数，项数概念是解题的关键．根据多项式次数，项数的定义来求解即可． 【详解】依题意：由①只含有字母x和y；②每一项的次数都是2；③按字母x的升幂排列的二次三项式：如 故答案为：（答案不唯一） 【考点7：单项式、多项式求参问题】 例1.已知多项式是关于的二次三项式，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数为2可得，根据多项式的项数为3可得，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴， ∴， 故选：C． 例2.如果整式是三次三项式，那么n等于___________ 【答案】5 【分析】本题考查了根据多项式的次数求参数的值，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据多项式的概念解答即可． 【详解】解：∵是三次三项式， ∴， 解得：． 故答案为：5． 例3.若是含有字母x和y的五次单项式，求m，n可能的值． 【答案】，或，或，或，． 【分析】本题考查单项式的概念，涉及分类讨论的思想． 根据单项式的概念即可求出答案． 【详解】解：因为是含有字母x和y的五次单项式， 所以，，为正整数， 所以，或，或，或，． 变式1.已知多项式是六次四项式，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数定义，解题的关键是明确多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据多项式是六次四项式，确定次数最高的项为，再根据该项次数为6列方程求解． 【详解】解：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数． 已知多项式是六次四项式，分析各项次数： 项的次数：； 项的次数：3； 项6（常数项）的次数：0； 项的次数：的次数2加上的次数，即． 由于多项式是六次，因此次数最高的项为，且它的次数为6，由此列方程： 解得： 故选：D． 变式2.多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和系数，多项式的次数是指多项式中的次数最大的项的次数，根据多项式是关于的四次二项式，列式，则． 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得， 故选：C． 变式3.单项式的次数等于7，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的次数，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．直接利用单项式的次数为7，得出，求出答案即可． 【详解】解：∵单项式的次数等于7， ∴， ∴， 故选：A． 变式4.若多项式是关于x的三次二项式，则___，__． 【答案】 3 2 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．根据多项式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次二项式， ∴，， ∴，． 故答案为：3；2． 变式5.若关于的多项式中不含二次项和一次项，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了多项式不含问题，不含哪一项，则哪一项的系数为0．根据多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式中不含二次项和一次项， ∴，， 解得，， ∴． 【考点8：将多项式按照某个字母升（降）幂排序】 例1.把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将多项式进行升降幂排列，根据题意，按照x的降幂进行排列即可． 【详解】解：由题意把多项式按x的降幂排列，得； 故选B． 例2.将多项式先按的升幂排列，再按的降幂排列． 【答案】按的升幂排列为：； 按的降幂排列为： 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． （1）按照的指数从小到大排列即可； （2）按照的指数从大到小排列即可； 【详解】解：按的升幂排列为：； 按的降幂排列为：． 变式1.多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【答案】C 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排列的定义． 根据降幂排序和升幂排列的定义进行解答即可． 【详解】解：多项式是按y的升幂排列． 故选：C 变式2.将按字母的降幂排列：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的排列，解题的关键是识别每项中字母a的指数，并注意符号的正确性．按照字a的指数从大到小排列即可，排列时需保持原式中各项的符号不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 变式3.将多项式按字母的升幂排列为__________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，熟练掌握多项式的升幂排列的定义是解题的关键． 根据多项式升幂排列的定义，按照的指数从小到大的顺序排列即可 【详解】解：多项式按字母的升幂排列为， 故答案为： ． 变式4.把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】（1）解：按的升幂排列为：． （2）按的降幂排列为：． 变式5.把多项式按要求重新排列： (1)把这个多项式按的降幂重新排列； (2)把这个多项式按的升幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的相关定义． （1）按x的指数从大到小的顺序排列即可； （2）按y的指数从小到大的顺序排列即可． 【详解】（1）解：多项式按的降幂重新排列如下：； （2）解：多项式按的升幂重新排列如下：． 课后作业 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 【答案】C 【详解】解：选项A：∵分母含有字母，不是整式，∴A错误，不符合题意； 选项B：∵近似数万，单位为万，最后一位有效数字0对应实际数位是百位，因此精确到百位，不是百分位，∴B错误，不符合题意； 选项C：∵是数字与字母的积，属于单项式，所有字母的指数和为，次数为2，∴C正确，符合题意； 选项D：∵多项式中，的次数为，是各项中最高次数，因此该多项式是四次三项式，∴D错误，不符合题意． 2．（2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 4．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是6 C．的三次项系数是 D．是五次三项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，根据单项式的系数、次数，多项式的次数、项数的定义，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A中，单项式的数字因数为，是常数，因此系数是，不是，故A错误． 选项B中，单项式的次数是所有字母的指数和，即，常数的指数不计算入单项式次数，因此次数是4，不是6，故B错误． 选项C中，的三次项是，其系数为，故C正确． 选项D中，的最高次项次数为3，共含3个单项式，因此是三次三项式，不是五次三项式，故D错误． 5．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．相反数等于它本身的数是1 C．是多项式 D．1是绝对值最小的数 【答案】C 【分析】本题考查负数、相反数、多项式、绝对值的概念，结合相关概念逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A、当是负数时，是正数，所以不一定是负数，故原说法错误，不符合题意； B、相反数等于它本身的数是0，故原说法错误，不符合题意； C、是多项式，故原说法正确，符合题意； D、0是绝对值最小的数，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ） A． B． C．32 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索， 根据杨辉三角的规律，的展开式系数为1，6，15，20，15，6，1，含的项对应第二项，再代入计算即可． 【详解】根据杨辉三角的规律，的展开式系数为1，6，15，20，15，6，1， 展开式中含项的系数为6， ∴展开式中含的项为， ∴含项的系数是． 故选：B． 7．（25-26九年级下·江西九江·月考）单项式的次数是______． 【答案】 3 【详解】解：单项式的次数为． 8．（25-26七年级上·河南商丘·期末）已知是关于x，y的多项式，若该多项式不含二次项，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据题意，该多项式不含二次项，即所有二次项的系数均为0，由此可求出a, b的值，再代入求值即可． 【详解】解：在多项式中，二次项为和． 因为该多项式不含二次项，所以二次项的系数为0， ∴， 解得，． 将，代入，得 ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）若关于的多项式的次数是是单项式的系数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的定义，代数求值，解题的关键是掌握多项式的定义． 由多项式次数的定义可得a的值，由单项式系数的定义可得b的值，再计算乘方． 【详解】解：多项式的次数是3，因此最高次项的次数， 单项式的系数是，因此， 则， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·北京·月考）单项式的系数和次数分别为_______． 【答案】和 【分析】根据单项式的系数和次数概念进行判断即可； 【详解】解： 故系数为，次数为． 11．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）观察下列代数式：，，，，，，按照上述规律，第个代数式是______，第个代数式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 观察代数式序列，符号交替变化，系数和指数均为项数，利用表示符号规律． 【详解】解：序列中第个代数式的系数为，指数为，符号由决定， 故第个代数式为； 当时，， 故第个代数式为， 故答案为：；． 12．（25-26七年级上·四川乐山·期末）把多项式，按的降幂排列为_______________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，把多项式按的降幂排列就是把多项式中的单项式按的指数从高到低排列． 【详解】解：把多项式，按的降幂排列， 可得：． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，它把（其中为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后，含项的系数为________． 【答案】 【分析】根据杨辉三角的规律写出第行的数，再判断结果即可． 【详解】解：根据题意，杨辉三角的第行为，，，，，， ∴， ∴含项的系数为． 14．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数为，应等于6，且系数不为零． 【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为， 令，得， 所以或， 当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求， 故， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 16．（25-26六年级上·山东烟台·期末）若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项与系数的概念，关键是理解“多项式中不含某一项，则该项的系数为0”．先根据不含二次项和一次项的条件，建立关于、的方程，求解得到、的值，再将其代入代数式计算出最终结果． 【详解】解：∵关于的多项式不含二次项和一次项， ∴二次项的系数，一次项的系数． 解得，． ∴． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·云南昭通·月考）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{         …}； 多项式集合{         …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 18．（25-26七年级上·河南商丘·月考）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式次数的确定方法（最高次项的次数为多项式的次数）是解题的关键． （1）先确定最小的正整数的值，代入多项式后，根据多项式次数的定义（最高次项的次数）计算次数． （2）①代入，根据八次四项式的定义（最高次项次数为8）列方程求；②根据的次数从高到低重新排列多项式各项． 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 19．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【分析】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 20．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 21．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 22．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知多项式是六次四项式，单项式与多项式的次数相同，求的值． 【答案】117 【分析】本题考查了多项式，单项式，代数式求值，根据多项式的项、次数的定义得出n的值，根据单项式次数的定义得出，求出m的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∵单项式与多项式的次数相同， ∴， ， ， ． 23．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 24．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3)不一定是，理由见解析 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）解：不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 25．（25-26七年级上·河南·期末）在学习了有理数的运算和代数式后，数学活动小组的同学们在研究下列等式时，发现了这些等式有规律，于是开展了如下探究活动： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： (1)请写出第个等式：___________； (2)直接用字母表示第n个等式的结果为：___________； (3)郑州地铁1号线的数轴上，点A表示“郑州火车站”，其数为多项式的一次项系数，点B表示“二七广场站”，其数为该多项式的常数项．地铁巡检机器人P从点A出发，沿数轴来回移动，移动的规律是：第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度当地铁巡检机器人P按此规律移动次时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类的规律探索，数轴上两点间的距离，多项式的项的定义，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键． （1）仿照题意写出第8个等式即可； （2）分别得出等式左右两边的规律即可得出等式； （3）根据多项式的项的定义得到点、表示的数，根据点移动的规律可知，点移动n次后表示的数为，据此求出点P表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第8个等式为； （2）解：由题意得，第个等式为； 故答案为：； （3）解：多项式的一次项系数是，常数项是， 点表示的数是，点表示的数是， 点第次移动后表示的数为：； 点第次移动后表示的数为：； 点第次移动后表示的数为：； ， 根据点移动的规律可知，点第次移动后表示的数为：； 当时，点移动后表示的数为， ， ， ． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $