21.2.2.1 二次函数y=ax²+k的图象与性质 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+k的图象与性质，通过复习y=ax²的性质搭建学习支架，引导学生思考b,c不全为0时的函数研究方法，衔接最简二次函数与拓展形式的知识脉络。 此资料以描点作图、对比探究为核心，学生通过绘制y=2x²等函数图象自主发现平移规律，培养几何直观与推理意识，分层练习兼顾学情差异，动态演示助力理解本质，提升学生数形转化能力，为教师提供清晰教学路径与分层教学策略。

21.2.2.1二次函数的图象与性质教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 21 课题 二次函数的图象与性质 课时 1 教材分析 本节课是沪科版九年级上册二次函数核心内容，承接最简二次函数，探究图象与性质。教材依托描点作图，对比两个抛物线，归纳上下平移规律，明确顶点、对称轴、增减性与最值。既是对基础抛物线的拓展，也为后续顶点式、左右平移学习铺垫，渗透数形结合、类比迁移思想，是初中函数体系的关键衔接内容。 学情 分析 九年级学生已掌握一次、反比例函数知识，刚学完图象性质，会描点画图，具备基础识图归纳能力。但学生抽象思维参差不齐，难以顺畅衔接解析式参数k与图象上下平移的对应关系，容易混淆平移方向，数形转化薄弱；班级学情分化明显，探究规律时需要画图实操、分组对比引导降低理解难度。 核心素养目标 1.会画二次函数的图象 2.掌握二次函数的性质并会应用 3.理解 与之间的联系。 教学重点 掌握二次函数 的性质并会应用。 教学难点 理解与 之间的联系 教学准备 多媒体课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 抛物线y= ax2的性质是什么？ （1）抛物线y= ax2的对称轴是y轴，顶点是原点. （2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点; 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. （3）|a|越大，抛物线的开口越小. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固函数相关知识 二、引新 创设情境，引入课题 在研究了的图象和性质之后，我们进一步探讨当b，c不全为0时，二次函数的图象和性质.如何研究呢？能否将 转化为类似 的简单形式？ 学生看图片，思考问题 通过问题，自然引入课题 二、探究 合作探究，活动领悟 思考： 在同一平面直角坐标系中，怎样画出二次函数 y =2x2， y=2x2 +1和y=2x2 -1的图象？ 列表： 描点、连线如图： 观察上述图象，说说它有哪些特征. 1.这三条抛物线的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ 2.对于同一个x值，这三个函数对应的y值之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么关系？ 观察图象，我们很容易看出对于同一个x值，y=2x²的y值比y=2x²–1的y值大1，同时比y=2x²+1的y值小1. 通过观察图象，我们可以得到：函数y=2x²的图象分别向上或向下平移，就可得到y=2x²+1和y=2x²–1的图象. 3.当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 三条抛物线都是开口向上，所以最低点就是它们对应的顶点坐标，分别为(0，0)，(0，1)，(0，-1).因此得到它们都是当x=0时取得最小值，最小值分别为0，1，-1. 归纳总结： 一般地，抛物线y=ax²+k(k≠0)与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同. 抛物线y=ax²+k(k≠0)可由抛物线y=ax²沿y轴方向平移|k|个单位长度得到：当k＞0时，向上平移；当k＜0时，向下平移. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生通过自主发现与协作交流，深入理解二次函数的图象与性质 三、变式 师生互动，变式深化 例 通过描点法画出. (1) 填表： (2) 描点、连线 根据例题的图象，思考并填空： （1）抛物线 的开口方向是___下，顶点坐标是_（0，-1），对称轴是x=0_，抛物线可由抛物线 向__下_平移_1___个单位得到； （2）对于函数，当>0时，函数随的增大而_减小_;当<0时，函数随的增大而_增大____;当x=0时，y有最大值为 0 。 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活 四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.二次函数 的图象大致是( B ) . 2.下列关于二次函数 的说法中，不正确的是( C ) . A.图象开口向下 B.当 时， 随 的增大而减小 C.当 时， 取得最大值 D.图象的对称轴是 轴 3. 已知抛物线的顶点在 轴的负半轴上，且开口向上，则 的取值范围是_____0<m<3______. 4.将函数 的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的解析式为_y=3−2 ___. 5、已知抛物线过点(-2,-3) 和点(1,6). (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． (1)解：把点(-2,-3) 和点(1,6)代入得 ， 解得 所以这个函数的关系式为y=−3+9； (2)解：这个函数的关系式为y=−3+9 ； ∴对称轴x=0， ∵a=−3<0， ∴抛物线开口向下， ∴当x>0时，函数y随x的增大而减少． 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求 五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 二次函数 y=ax²+k的性质 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。 板书设计 作业设计 1．在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象大致为 (　D　) 2.如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　B　） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 3.若 是抛物线 上的点， 是抛物线 上的点，则 __3_. 4. 已知二次函数 ，当时， 的取值范围为______−2≤y≤10_______. 5.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 教学反思 本课借助画图对比顺利掌握图象性质，但不足较多：部分学生只会机械记忆平移口诀，不理解本质；增减区间判断时常出错，学困生跟不上归纳节奏。今后要多利用动态图象演示平移过程，增加分层随堂练习，强化解析式、图象、性质三位一体梳理，多预留自主总结时间，打通数形之间的思维壁垒。 学科网（北京）股份有限公司 $