21.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质（第2课时）教案 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过情境导入回顾y=x²的图象与性质，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从已知过渡到探究不同a值的函数特征。 以描点法作图为基础，对比a>0与a<0的函数图象，从特殊到一般归纳性质，发展几何直观和推理意识。用表格梳理性质培养模型意识，例题与分层练习结合，帮助学生提升作图与应用能力，为教师提供清晰的探究式教学流程。

第21章 二次函数与反比例函数 21.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 第2课时 一、教学目标 1．会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点． 2．掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用． 3．经历列表、描点、画图完整探究过程，熟练运用数形结合思想分析函数图象，提升自主作图、观察归纳、数学建模与逻辑推理的综合解题能力． 4．体会从特殊到一般的探究方法，发展直观想象、数学抽象核心素养． 二、教学重难点 重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点． 难点：掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用． 三、教学过程设计 环节一：情境导入 问题1：二次函数y=x²的图象是怎样的? 预设： 问题2：二次函数y=x²的性质又是怎样的? 预设：函数y=x²的图象可以简称为抛物线y=x²．抛物线y=x²开口向上；抛物线y=x²的对称轴是y轴(直线x=0)；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，坐标是(0，0)． 设计意图：回顾旧知，为新知的学习做准备． 环节二：探究新知 【探究】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²、y=2x²的图象． 同样需要按照列表、描点、连线三个步骤画． (1)列表． (2)描点． (3)连线． 设计意图：把几个不同的函数图象画在同一坐标系中，通过观察、类比得出其性质，再次感受数形结合在研究函数中的作用． 【思考】1．观察二次函数y=x²，y=x²和y=2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？ 预设：观察图象很容易知道：开口都是向上的；对称轴都是y轴；它们的顶点坐标是(0，0)，且它们都有最低点；都是当x＞0时上升，当x＜0时下降． 2．你能根据函数y=x²、y=x²和y=2x²的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax²(a＞0)的性质吗？ 提示：可以从取值范围、图象的形状、增减性、最值等方面考虑． 总结如下表： 3．在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x²、y=– x²、y=–2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？(建议学生按照列表、描点、连线三步骤画图．) 预设：观察图象，很容易得到这三条抛物线都是开口向下，对称轴是y轴，它们的顶点坐标是(0，0)，且它们都有最高点；都是当x＞0时下降，当x＜0时上升． 4．根据函数y=–x²、y=–x²和y=–2x²的图象特点，仿照上面的表格，总结出二次函数y=ax²(a＜0)的性质． 提示：可以从取值范围、图象的形状、增减性、最值等方面考虑． 总结如下表： 5．分别比较函数y=x²与y=–x²、y=x²与y=–x²、y=2x²与y=–2x²的图象，指出它们之间相同与不同之处． 根据学生的回答情况，教师进行纠正、总结如下表： 设计意图：借助前边探究a＞0的情形，进一步探究a＜0的情况，使知识学习更全面透彻，加深对数形结合，特殊到一般方法的理解，再次强化类比学习方法的重要性． 【想一想】当a＞0时，函数y=ax²的图象与a＜0时有什么不同？ 提示：可以从开口方向、顶点坐标、对称性、增减性、最值等方面考虑． 总结如下表： 设计意图：综合前边的分析和探究，对比总结a＞0和a＜0的两类函数的相同点和不同点，并进一步对比总结出函数y=ax2的图象的特点和性质． 环节三：应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答．然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程． 例1：已知下列二次函数： ①y=–x²；②y=x²；③y=15x²；④y=–4x²；⑤ y=4x²． (1)其中开口向上的是 (填序号)； (2)其中开口向下且开口最大的是 (填序号)； (3)有最高点的是 (填序号)． 根据二次函数y=ax²的图象的特点和性质判断即可． 答案：(1)②③⑤；(2)①；(3)①④． 例2：已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是( ) 分析：因为b＜0，所以直线y=ax+b与y轴的交点在y轴的负半轴，因此B，D错误；选项A，C中，抛物线y=ax2都是开口向下，得到a＜0，所以直线y=ax+b是下降的．因此选项C正确． 设计意图：通过典例讲解，进一步了解二次函数y=ax²的图象和性质． 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解． 1．按要求完成下列各题． (1)在同一坐标系中画出函数y=x²、y=–x²、y=3x²、y=–3x²的图象； (2)观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； (3)说出各图象中的最高点或最低点坐标； (4)说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 2．在下列抛物线中，开口最大、最小的各是哪一个？ y=–x²、y=–x²、y=x²、y=(2+)x²． 3．二次函数y=ax2的图象经过点(2，-2)． (1)求这个函数的表达式； (2)当x为何值时，y随x的增大而增大? 答案： 1．解：(1)画图如下图： (2)顶点坐标都是(0，0)；y=x²和y=3x²开口向上，y=–x²和y=–3x²开口向下；对称轴都是y轴． (3) y=x²和y=3x²开口向上，所以都有最低点为(0，0)；y=–x²和y=–3x²开口向下，所以都有最高点为(0，0)． (4) y=x²和y=3x²，在对称轴的左侧，函数y随x增大而减小；在右侧，函数y随x增大而增大．y=–x²和y=–3x²，在对称轴的左侧，函数y随x增大而增大；在右侧，函数y随x增大而减小． 2．解：二次项系数的绝对值分别为、、、2+，它们从小到大排列：＜＜＜2+， 所以开口最大的是y=–x² ，开口最小的是y=(2+)x²． 3．解：(1)∵二次函数y=ax2的图象经过点(2，-2)， ∴-2=a×22，解得a=−；∴二次函数的表达式为y=−x2． (2)∵a=−＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴；∴当x＜0时，y随x的增大而增大． 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． 环节五：总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识 学科网（北京）股份有限公司 $