21.3.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数图象求一元二次方程近似根，通过填表回顾二次函数与方程根的关系（交点个数、Δ与根的情况），搭建知识支架，衔接旧知与新知。 以数形结合为主线，探究环节通过x²+2x-10=0实例，引导学生画图象、确定区间、列表逼近，培养几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）。拓展提升将方程转化为函数交点问题，结合课件演示，发展模型意识（数学语言），助力学生掌握方法，教师教学更高效。

第2课时　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 课题 第2课时　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 授课人 教 学 目 标 1.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 2.通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 3.能够从函数表达式的角度分析二次函数与一元二次方程之间的关系,同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程之间的关系. 4.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步体会数形结合思想. 教学 重点 　　会利用函数图象求一元二次方程的近似解. 教学 难点 　　利用二次函数的性质用逐步逼近去试探求一元二次方程的近似根. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系 二次函数y=ax2+ bx+c的图象 与x轴的交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ>0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ=0 没有交点 没有实数根 Δ<0 　　师生活动:让学生独立完成填表,老师巡视指导. 　　回顾前面所学内容,让学生厘清二次函数图象和一元二次方程的关系,为本节课的内容学习做铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 图21-3-13 【探究1】探究新知 针对[课堂引入]的内容进一步探究,老师总结过程. 1.二次函数与x轴交点的坐标就是一元二次方程的根吗? 答案:交点的横坐标是对应一元二次方程的实数根. 2.用图象法求一元二次方程的根. 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗? 画函数y=x2+2x-10的图象如图21-3-13,由图象可知,方程x2+2x-10=0有　两　个根,一个根在　-5　和　-4　两个连续整数之间,另一个根在　2　和　3　两个连续整数之间.  (1)先求位于-5和-4之间的根. 在-5和-4之间取x的一些值,利用计算器进行探索,见下表. x … -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 … x2+2x-10 … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 … 　　在图象上表示,如图21-3-14,因此,x=-4.3是方程的一个近似根. 图21-3-14 图21-3-15 　　(2)另一个根可以类似地求出: x … 2.1 2.2 2.3 2.4 … x2+2x-10 … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 … 　　在图象上表示,如图21-3-15,因此,x=2.3是方程的另一个近似根. 思考:方程的根还有其他求解方法吗? 一元二次方程x2+2x-10=0的近似根还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+10的图象,如图21-3-16所示. 图21-3-16 　　它们的交点的横坐标就是方程x2+2x-10=0的近似根. 【探究2】归纳总结 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的一般步骤: ①画出二次函数y=ax2+bx+c的图象; ②确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个连续整数之间; ③列表,在②中的两个连续整数之间取值,进行估计. 近似根就出现在对应值正负交换的位置. 　　1.利用函数图象解决方程根的问题,让学生把方程与函数统一起来,体会数与形结合带来的方便. 2.思考环节使学生掌握通过函数图象求方程的根的另一种方法,并把方程与函数建立联系,促使学生能够积极主动地投入到探索活动中. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　利用函数图象求一元二次方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1). 师生活动:教师引导学生画出函数图象,或求出抛物线与x轴的交点坐标,学生进行计算. 解:画二次函数y=x2-2x-2的图象,如图21-3-17. 图21-3-17 它与x轴的交点的横坐标x1≈-0.7,x2≈2.7, 所以一元二次方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7. 播放课件:函数的图象与求一元二次方程的解,前一个课件用来画图,可根据图象估计出方程x2-2x-2=0的近似解,后一个课件可以准确地求出方程的解,体会其中的差异. 　　通过多媒体教学的过程展示,从而引起学生对数学的学习兴趣,也是为了更精确计算近似根. 【拓展提升】 例2　你还能利用二次函数y=x2+2x-10的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗? 解:抛物线y=x2+2x-10 和直线y=3交点的横坐标就是方程x2+2x-10=3 的根(如图21-3-18). 图21-3-18 由图象可知x2+2x-10=3的近似根为x1≈2.7,x2≈-4.7. 师生活动:学生自主解答后,教师进行讲解,学生再次审题,完成对题目的重新整理. 　　由抛物线与x轴的交点问题拓展思考:当方程右边不是0时应怎么求.进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识,提升学生灵活运用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是 (D) A.a>0,b2-4ac<0　　　 　B.a<0,b2-4ac>0 C.a>0,b2-4ac>0 D.a<0,b2-4ac<0 2.如图21-3-19是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是 (D) 图21-3-19 A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥1 D.x≤-1或x≥3 3.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2-bx-c=0在-3<x<2的范围内有解,则c的取值范围是 (D) A.c≥-1 B.-1≤c<3 C.3<c<8 D.-1≤c<8 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 谈一谈你在本节课中有哪些收获,有哪些进步,还有哪些困惑. 教师总结:利用抛物线与x轴的交点问题可以求解对应方程的近似根,具体的求解方法需灵活运用. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的环节中,教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示,使学生能够理解“数”与“形”之间的关系;课堂训练环节中,教师给予学生自主解答问题的时间,教师做好点评. ②[讲授效果反思] 教师引导学生注意以下几点:(1)抛物线与x轴交点的求法,即利用逼近法根据y值的正负求近似值;(2)抛物线与x轴的交点问题也可以转化成两个函数交点问题. ③[师生互动反思] 教学过程中,以学生为主体,通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $