第三章《图形的相似》单元复习课 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似的核心知识，涵盖比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等内容，通过知识网格图将定义、判定、性质及应用有机串联，构建完整的知识逻辑体系。 其亮点是以“校园改造实践”为主线设计典例，如海报尺寸计算、花坛面积求解等实际问题，培养数学建模和几何直观能力，结合分层作业与错题反思，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

新版北师大数学九年级上册数学 第三章 图形的相似 单元回顾与思考 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.掌握比例线段、黄金分割的概念及性质，能进行比例计算. 2.理解平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段长度问题. 3.掌握相似三角形的判定定理和性质定理，能证明三角形相似并进行相关计算. 4.了解位似图形的概念和性质，能画出位似图形并确定位似中心和相似比. 1.提高识图能力，能从复杂图形中识别出基本相似三角形模型（A型、X型） 2.发展逻辑推理能力，能规范书写相似三角形的证明和计算过程 3.培养数学建模能力，能运用相似知识解决实际测量、设计等问题 1.发展几何直观，通过图形分析理解相似关系. 2.提升逻辑推理素养，在相似证明中体会严谨的数学思维 3.增强数学建模意识，感受相似知识在现实生活中的广泛应用 目录 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 知识网格 1.举例说明比例的性质. 2.判定两个三角形相似的条件有哪些？你是如何得到它们的？三角形相似与三角形全等有怎样的关系？ 3.相似三角形有哪些性质？ 4.如何将一个图形放大或缩小？请举例说明. 5.在平面直角坐标系中，如何利用多边形各顶点坐标的变化得到与原多边形位似的多边形？请举例说明. 6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流. 知识网格 典例精选 故事主线：为迎接校园文化艺术节,学校成立了“校园改造数学实践小组”,同学们需要运用图形相似的知识解决改造过程中遇到的一系列实际问题 板块一：比例线段与黄金分割（基础概念关） 例题1:宣传海报尺寸设计题目来源:复习题第1题、第2题改编 题目内容： (1)实践小组设计宣传海报,长5dm,宽2dm,则长与宽的比是5:2（ ） (2)若海报按1:5000的比例缩小后,图上长度为7cm,则实际长度为35m（ ） (3)计划在长为m的宣传栏上设计一个黄金分割点放置校徽,且校徽在左侧更美观,则校徽到左端的距离为(5- )/2m（ ） (4)已知海报的长、宽、高之比为6:5:4,且长加宽减两倍高等于3dm,求海报的长 考查知识点：比例的基本性质、黄金分割的定义、比例尺的计算 典例精选 √ (2)× （实际距离=7×5000=35000cm=350m，原答案错误,此处纠正） (3)×（黄金分割较长段为(-1)/2× =(5- )/2cm,不正确） (4)设a/6=b/5=c/4=k，则a=6k,b=5k,c=4k代入a+b-2c=3得： 6k+5k-8k=3,3k=3,k=1∴a=6×1=6dm 做题反思： 1.注意比例尺计算时的单位换算,1m=100cm 2.黄金分割有两个点,要根据题意确定是较长段还是较短段. 3.遇到连比问题,通常设比值为k,转化为方程求解 典例精选 例题2：相似花坛面积计算 题目来源:复习题第10题改编 学校有两个相似三角形花坛,相似比为2:3，面积差为30m²，求它们的面积之和. 考查知识点：相似三角形面积比等于相似比的平方 解：设两个花坛的面积分别为4km²和9km² 则9k-4k=30，5k=30， k=6 面积之和=4k+9k=13k=13×6=78m² 做题反思： 1.相似三角形的面积比是相似比的平方,不要直接用相似比计算面积. 2.设参数k是解决比例问题的常用方法. 典例精选 板块二：平行线分线段成比例定理（基本定理关） 例题3:校园道路路灯间距 题目来源:复习题第3题改编 校园有三条平行的主干道a、b、c，分别与两条交叉的小路m、n相交于点A、C、E和B、D、F.已知AC=40m，CE=60m，BD=30m,求BF的长度 考查知识点：平行线分线段成比例定理 ∵a∥b∥c ∴AC/CE=BD/DF 即40/60=30/DF,解得DF=45m ∴BF=BD+DF=30+45=75m 做题反思： 1.平行线分线段成比例定理中,对应线段要找准,避免混淆 2.注意线段的和差关系，BF是BD与DF的和 典例精选 例题4：交叉路口栏杆设计 题目来源：复习题第8题改编 校园交叉路口的栏杆AB与CD相交于点O,且AC∥BD.求证:OA・OD=OC・OB 考查知识点：平行线分线段成比例定理的推论（X型相似） 成立.理由如下： ∵AC∥BD ∴△AOC∽△BOD ∴OA/OB=OC/OD 交叉相乘得：OA・OD=OC・OB 做题反思： 1.由平行线可直接得到三角形相似，这是证明比例式的常用方法. 2.比例式转化为等积式时，要注意交叉相乘的正确性 典例精选 板块三：相似三角形的判定（判定方法关） 例题5：教学楼楼梯相似识别 题目来源：复习题第4题、第9题改编 教学楼的楼梯侧面有三条平行的踏步线BC∥DE∥FG，图中有几对相似三角形？请说明理由 (2)已知楼梯侧面△ABC中，D、E分别在AB、AC上，AD=31dm，DB=29dm，AE=30dm，EC=32dm.请找出图中相等的角. 典例精选 (1)有3对相似三角形：△ABC∽△ADE，△ABC∽△AFG，△ADE∽△AFG. 理由：∵BC∥DE∥FG，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 (2)∵AD=31，DB=29，AE=30，EC=32 则 AD/AC=31/62=1/2，AE/AB=30/60=1/2 ∴AD/AC=AE/AB 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB ∴∠1=∠4，∠2=∠3 做题反思： 1.平行于三角形一边的直线是判定相似三角形最常用的方法,要熟练掌握A型和X型基本图形. 2.两边对应成比例且夹角相等时,必须是夹角相等,不能是其他角.遇到数据不匹配的题目，要先检查数据是否正确 典例精选 板块四：相似三角形的性质（性质应用关） 例题6：三角形花坛角度与边长计算 题目来源：复习题第5题改编 校园三角形花坛△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ABC，AD=2am，DB=am，BC=bm,∠A=70°，∠B=50° (1)求∠ADE的度数；(2)求∠AED的度数；(3)求DE的长 考查知识点：相似三角形的对应角相等、对应边成比例 ∵△ADE∽△ABC∴∠ADE=∠B=50° (2)在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60° ∵△ADE∽△ABC ∴∠AED=∠C=60° 巩固拓展 (3) ∵AD=2a，DB=a ∴AB=AD+DB=3a ∵△ADE∽△ABC ∴DE/BC=AD/AB即DE/b=2a/3a=2/3 ∴DE=2b/3m 做题反思： 1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例，要找准对应关系. 2.相似比是对应边的比.注意顺序.△ADE与△ABC的相似比是AD/AB,不是AB/AD. 例题7：草坪面积计算 题目来源：复习题第7题改编 学校有一块三角形草坪△ABC，面积为48m²，点 D、E分别在AB、AC 上，DE∥BC，且AD=3BD.求△ADE的面积. 考查知识点：相似三角形面积比等于相似比的平方 巩固拓展 解∵AD=3BD ∴AD/AB=3/(3+1)=3/4 ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴S△ADE/S△ABC=(AD/AB)²=(3/4)²=9/16 ∴S△ADE=48×9/16=27m² 做题反思： 1.相似三角形的面积比是相似比的平方,周长比等于相似比. 2.注意线段的比例关系，AD=3BD意味着AD:AB=3:4,不是3:1. 例题8：等边三角形雕塑角度计算 题目来源：复习题第11题改编 校园广场有一个等边三角形雕塑△PCD，点C、D在线段AB上,且△ACP∽△PDB.求∠APB的度数. 考查知识点：相似三角形的性质、等边三角形的性质 巩固拓展 解：∵△PCD是等边三角形 ∴PC=CD=PD，∠PCD=∠PDC=∠CPD=60° ∴∠ACP=∠PDB=120° ∵△ACP∽△PDB ∴∠A=∠DPB 在△ACP中，∠A+∠APC=180°-∠ACP=60° ∴∠DPB+∠APC=60° ∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=60°+60°=120° 做题反思： 1.利用相似三角形的对应角相等，将角进行转化是解决此类问题的关键 2.等边三角形的每个角都是60°，其外角是 120°，这是常用的角度条件 巩固拓展 板块五：位似图形（图形变换关） 例题9：校园地图绘制 题目来源：复习题第12题、第19题改编 学校矩形操场OABC的顶点坐标分别是O (0,0)，A(6,0)，B(6,4)，C (0,4).现要绘制一张操场地图,使地图的面积是实际面积的1/4,且以原点O为位似中心.求地图上点B´的坐标 (2) 以原点O为位似中心,画出与矩形OBCD位似且相似比为1:2的图形，你有几种方法？ 考查知识点：位似图形的性质、位似图形的坐标变化规律 巩固拓展 ∵面积比是1:4 ∴相似比是1:2 ∵位似中心是原点O ∴点B´的坐标为(3,2)或(-3,-2) (2) 有两种方法： 方法一：将矩形OBCD各顶点的横、纵坐标都乘以1/2,得到新的顶点坐标,顺次连接即可 方法二：将矩形OBCD各顶点的横、纵坐标都乘以-1/2,得到新的顶点坐标,顺次连接即可. 做题反思： 1.位似图形的面积比是相似比的平方，已知面积比要先求出相似比. 2.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标比等于相似比或相似比的相反数，有两种情况，不要遗漏. 巩固拓展 板块六：相似三角形的综合应用（实际问题关） 例题10：旗杆高度测量 题目来源：复习题第20题改编 校园有两根直立的旗杆AB和CD,AB高10m,CD高15m,两根旗杆之间的距离 BD=14m.两根钢绳AD和BC相交于点M,求点M到地面的距离MH. 考查知识点：相似三角形的综合应用、平行线分线段成比例 解:设MH=xm ∵AB⊥BD,CD⊥BD，MH⊥BD ∴AB∥MH∥CD ∴△DMH∽△DAB，△BMH∽△BCD ∴MH/AB=DH/BD，MH/CD=BH/BD即 x/10=DH/14，x/15=BH/14 两式相加得：x/10+x/15=(DH+BH)/14=BD/14=1 通分得：3x/30+2x/30=1，5x/30=1，x=6 ∴点M到地面的距离MH为6m 做题反思： 1.这是一个经典的双旗杆问题，利用两次相似得到两个比例式，再相加求解. 2.当遇到多个相似三角形时，要分别写出比例式，再寻找它们之间的关系. 思想方法 1.转化思想：将复杂的相似问题转化为基本的A型、X型相似三角形问题；将实际测量问题转化为相似三角形的计算问题. 2.数形结合思想：通过图形分析相似关系，结合代数计算解决问题，如位似图形的坐标变化. 3.分类讨论思想：在解决动点相似问题、位似图形问题时，需要考虑多种情况. 4.建模思想：将实际问题抽象为相似三角形模型，如测量高度、距离等问题. 5.从特殊到一般的思想：从平行线分线段成比例定理到相似三角形的判定定理，体现了从特殊到一般的认识过程. 当堂检测 学校有一块直角三角形木板，面积为1.5m²，一条直角边 AB长1.5m.现要将它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面.甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请说明哪位木匠的方法符合要求? 考查知识点：相似三角形的应用、正方形的性质 反思总结 1.本章学习了哪几种判定三角形相似的方法？它们分别适用于什么图形特征？ 2.在解决相似三角形的问题时,你最容易犯的错误是什么？你有哪些避免这些错误的好方法？ 3.请你结合校园生活,再举出两个可以用图形相似知识解决的实际问题,并尝试设计解题方案. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第103页 第23题 二、素养类作业 课本第103页 第24题 几何推理 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $