第三章 图形的相似【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似全章核心知识，涵盖比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质、位似变换及实际应用，通过全章精讲讲义将知识点连贯整合，构建“概念-定理-性质-应用”的逻辑链条，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于融合“解题模板+易错点警示+分层训练”策略，如通过“测高三大模型”培养学生模型意识，利用相似判定定理的标准证明发展推理能力，针对训练题从基础到综合分层设计。这种方式既巩固知识又提升数学思维，教师可直接用于课堂，提高复习效率。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 章末复习 第三章 图形的相似 第三章 图形的相似 全章精讲讲义（含证明、性质、模型、习题） 本讲义整合九年级上册图形的相似全章所有核心考点：比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形三大判定、相似图形性质（线段/周长/面积）、位似变换、坐标位似、相似测高模型。全文知识点连贯、证明标准、例题经典、可直接背诵用于考试。 一、相似预备知识：比例线段 1. 基本概念 四条线段 $$a、b、c、d$$，若 $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，则称这四条线段成比例线段。 比例基本性质：$$ad=bc$$（交叉相乘相等）。 2. 黄金分割（3.2.4） 点C在线段AB上（$$AC>BC$$），若 $$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$$，则C为AB的黄金分割点。 黄金比：准确值$$\frac{\sqrt5-1}{2}$$，近似值 0.618。 重要结论：一条线段有2个黄金分割点；黄金矩形截去最大正方形后仍为黄金矩形。 二、平行线分线段成比例（3.3.1） 1. 基本定理 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 2. 三角形推论（高频考点） 平行于三角形一边的直线，截另外两边，所得对应线段成比例。 若 $$DE\parallel BC$$，则： $$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC},\quad \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$ 此定理是相似三角形证明的核心依据。 三、相似三角形三大判定定理（含标准证明） 定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 已知：△ABC与△A₁B₁C₁中，$$\angle A=\angle A_1,\angle B=\angle B_1$$ 求证：$$\triangle ABC \backsim \triangle A_1B_1C_1$$ 证明： 由三角形内角和得 $$\angle C=\angle C_1$$。 在AB上截取$$AD=A_1B_1$$，作$$DE\parallel BC$$，则$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$。 可证$$\triangle ADE\cong\triangle A_1B_1C_1(\text{ASA})$$， 故 $$\triangle A_1B_1C_1\backsim\triangle ABC$$。 定理2：两边成比例且夹角相等（SAS） 已知：$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$，$$\angle A=\angle A_1$$ 证明： 截取$$AD=A_1B_1$$，作$$DE\parallel BC$$，得$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$。 由比例关系推得$$AE=A_1C_1$$， 证得$$\triangle ADE\cong\triangle A_1B_1C_1(\text{SAS})$$， 因此两三角形相似。 易错：必须是夹角，对角相等不能判定相似。 定理3：三边成比例（SSS） 已知：$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$ 证明： 截取线段作平行线构造相似小三角形， 由三边比例推得构造三角形与原三角形全等， 传递得到两三角形相似。 四、相似三角形全部性质（必考公式） 设相似比为 $$k$$ 1. 对应线段比 = 相似比 对应高、对应中线、对应角平分线、对应边长之比，均等于 $$k$$。 2. 周长比 = 相似比 $$\frac{C_1}{C_2}=k$$ 3. 面积比 = 相似比的平方 $$\frac{S_1}{S_2}=k^2$$ 口诀 线段、周长一次比，面积二次平方比 知面积比求相似比必须开方，知相似比求面积比必须平方。 五、位似多边形及其性质（3.5.1） 1. 位似定义三要素 ① 图形相似；② 对应顶点连线交于同一点（位似中心）；③ 对应边平行或共线。 结论：位似一定相似，相似不一定位似。 2. 位似核心性质 对应点到位似中心的距离之比 =位似比 周长比=位似比，面积比=位似比平方。 3. 平面直角坐标系中的位似变换（重难点） 以原点为位似中心，位似比k 点 $$(x,y)$$ 变换后：$$(kx,ky)$$ 或 $$(-kx,-ky)$$ 正负含义： $$k>0$$ 同向位似；$$k&lt;0$$ 反向位似 $$|k|>1$$ 放大；$$0<|k|<1$$ 缩小 任意点(a,b)位似公式： $$x'=a+k(x-a),\;y'=b+k(y-b)$$ 六、相似三角形实际应用：测高三大模型 模型1：太阳光影子法 同一时刻太阳光平行，直角三角形相似。 $$\frac{\text{物高}_1}{\text{影长}_1}=\frac{\text{物高}_2}{\text{影长}_2}$$ 模型2：标杆测高法 三点共线构造相似，注意最后加上人眼高度。 $$\frac{\text{标杆高差}}{\text{人杆距}}=\frac{\text{建筑高差}}{\text{人物距}}$$ 模型3：镜面反射法（最稳） 反射角=入射角，直角三角形AA相似。 $$\frac{\text{物高}}{\text{人高}}=\frac{\text{物镜距}}{\text{人镜距}}$$ 七、全章满分解题模板（证明题通用） 1. 找平行、公共角、直角，证两角相等（AA最优）； 2. 有边有角优先SAS，三边比例优先SSS； 3. 相似后：边长、周长用$$k$$，面积用$$k^2$$； 4. 坐标位似勿忘正负双解。 八、全章易错点汇总 1. 相似只看形状，位似还要看位置共点平行； 2. SAS相似一定是夹角； 3. 面积比是平方比，反向计算必须开方； 4. 原点为中心位似有两组坐标答案； 5. 标杆测高千万不要漏加眼高。 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等，三条边成比例) 2. 相似三角形的判定 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 4. 相似三角形的应用 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心. 5. 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应线段平行或者在一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B G C E D F ●P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ●P (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点异侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ A B C D E F G H 解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm. M 考点一 相似三角形的判定和性质 ∵ EF//BC，∴△AEF ∽ △ABC. 又∵ AM＝AD－MD＝80－x， 解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm. A B C D E F G H M 则 ∴ 考点一 相似三角形的判定和性质 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°． ∵CE 是外角平分线， ∴∠ACE＝60°. ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED． 例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. (1) 求证：△ABD ∽△CED； A B C D F E 考点一 相似三角形的判定和性质 (2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长. 解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6，∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1. A B C D F E M 在Rt△ABM和Rt△BDM中， 由(1) △ABD ∽△CED得， 即 ∴ 考点一 相似三角形的判定和性质 1．如图所示，当满足下列条件之一时，都可判定 △ADC ∽△ACB． (1) ； (2) ； (3) . ∠ACD =∠B ∠ACB =∠ADC B C A D 或 AC² = AD · AB 【针对训练】 考点一 相似三角形的判定和性质 2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为 ． 36 和 39 3. 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与△ABC 相似，则 AF =　　　　. B C A E 2 或 4.5 考点一 相似三角形的判定和性质 4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 .　　　　　　 1 : 9 E D C B A F 考点一 相似三角形的判定和性质 2 m 1.2 m 3.6 m A 例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长． 考点二 相似的应用 ∴ BC＝6 m. 在 Rt△ABC 中， ∵ ∠A＝30°， ∴ AB＝2BC＝12 m. 即树长 AB 是 12 m. 2 m 1.2 m 3.6 m A 解：如图，CD＝3.6 m， ∵△BDC∽△FGE， 即 ∴ 考点二 相似的应用 例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？” 请你利用初中数学知识， 设计一种方案测量纪念碑的 高度 (画出示意图)，并说明理由． 考点二 相似的应用 解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A. 若人眼到地面距离为 CD，测量出 CD、DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 根据 ，即可算出 AB 的高． 你还有其他方法吗？ 理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 考点二 相似的应用 5. 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离他起跳点 2 m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m， 假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面 离地多高的地方？ A B O C D 2 m 6 m 1.8 m 考点二 相似的应用 【针对训练】 A B O C D 2 m 6 m 1.8 m 解：∵∠ABO = ∠CDO = 90°，∠AOB = ∠COD， ∴△AOB ∽ △COD. ∴ 即 解得 CD = 5.4 m. 故球能碰到墙面离地 5.4 m 高的地方． 考点二 相似的应用 例5 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 考点三 位似的性质及应用 6. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( ) B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A C' B C A' A B C D B 考点三 位似的性质及应用 【针对训练】 7. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC 是以点 为位似中心的位似图形，其相似比为 ，面积比为 . D A E B C C 4 : 3 16 : 9 8. 在平面直角坐标系中， 点 A，B 的坐标分别为(－6， 3)， (－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′ 的坐标为 . (4，－3) 考点三 位似的性质及应用 例6 找出下列图形的位似中心. 考点三 位似的性质及应用 9. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. A B C O A′ B′ C′ (1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，相似比为 2 : 3. 解：如图所示. (2) 线段 AA′ 的长度是 . 考点三 位似的性质及应用 【针对训练】 10. 如图，△ABC 在方格纸中. (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A (2，3)，C (6，2)，并求出 B 点坐标； 解：如图所示， B (2，1). x y O 考点三 位似的性质及应用 x y O (2) 以原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′； A′ B′ C′ 解：如图所示. 考点三 位似的性质及应用 (3) 计算△A′B′C′的面积 S. x y O A′ B′ C′ 解： 考点三 位似的性质及应用 考点1 成比例线段与相似多边形 1. 下列四组线段是成比例线段的是( ) B A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 返回 考试考法 30 2. 若，且 ，则下列比例式中成立的是( ) D A. B. C. D. 3. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是( ) A A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 返回 考试考法 31 考点2 相似三角形的判定与性质 （第4题） 4. 如图，已知 ， ， 是三个全等的等腰三角 形，底边，， 在同一直线上， 且，，连接 ，分别 交，，于点，， .有下列 C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 结论：；； ； 平分 .其中正确的有( ) 考试考法 32 （第4题） 【点拨】，， 是 三个全等的等腰三角形， ， . .又 ， ，故①正确;由题意得 ， 考试考法 33 . ， ，故②正确;易知 ， . ，. ， 故③正确; ， ， （第4题） 考试考法 ， ， 故④错误.故选C. （第4题） 返回 考试考法 （第5题） 5. [2025宜宾] 如图，一张锐角三角形纸片 ，点，分别在边， 上， ，沿将 剪成面积相等 的两部分，则 的值为( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考试考法 36 【点拨】如图所示，过点作交 于点，， . ， 易得 . 考试考法 37 . 设 ，则 沿将 剪成面积相等 的两部分， . . .故选C. 返回 考试考法 6. 如图，已知正方形，，在 上， ，连接,交于，连接 ，则图中阴影部分的面 积是__. 考试考法 39 【点拨】 四边形 是正方形， ，.如图，过点 作 于点，交于点 ，则易得 ， ， ，即 ， .又 ， 考试考法 40 ，. . 返回 考试考法 7.[2025扬州] 如图，在中，对角线 的垂直平分线 与边，分别相交于点， . 考试考法 42 （1）求证：四边形 是菱形； 【证明】 四边形 是平行四边形， . 对角线的垂直平分线是 ， ， . ， . 四边形 是平行四边形. 又， 四边形 是菱形. 考试考法 43 （2）若，，平分，求 的长. 考试考法 44 【解】如图，平分， . 四边形是菱形， . . 四边形 是平行四边形， ， . . .. . 返回 考试考法 考点3 平行线分线段成比例 8. 一段加固后的 护栏如图所示，该护栏竖直部 分是由等距（任意相邻两根木 条之间的距离相等）且平行的 C A. B. C. D. 木条构成.已知，则 的长度为( ) 返回 考试考法 46 （第9题） 9. 作业本中有一道题：“如图， 在中，为的中点，点在 上， 且,,交于点，求 的值.” 小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点 作，交于点 ，最后小明求 解正确，则 __. 考试考法 47 （第9题） 【点拨】， . , . 为的中点，. , . 返回 考试考法 48 考点4 位似 10. 若与关于点 位似，其相似比 是，，则对应点， 之间的距离是_________ ______. 或 【点拨】和关于点 位似，且相似比为 ，,.当与在点 的 异侧时，；当与 在 点的同侧时， . 返回 考试考法 49 （第11题） 11. 如图，在平面直 角坐标系中，点的坐标为 ， 的顶点的坐标为.以点 为位似中心作与 位似， 相似比为2，且与位于点 同侧； 以点为位似中心作与 位似，相似比为2， 且与位于点同侧……按照以上规律作图，点 的 坐标为_ ________. 考试考法 50 （第11题） 【点拨】依题意， ， , ，设直线 的表达 考试考法 51 式为，代入 ， ， 解得 .设 ， （第11题） 考试考法 ， 解得, （舍去） . （第11题） 返回 考试考法 考点5 相似三角形的应用 12.如图，小明同学用自制的直 角三角形纸板 测量树的高度 .他调整自己的位置，设法使 斜边保持水平，并且边 与 5 点在同一直线上，已知纸板的两条直角边 ， ，测得边离地面的高度, ,则 树高___ . 考试考法 54 【点拨】 ， ， . ， ，， . . . 返回 考试考法 55 思想1 方程思想 13.如图， 是一块锐角三角形余料， 边，高 ，要把 它加工成正方形零件，使正方形的一边 在上，其余两个顶点， 分别在 24 ，上，则这个正方形零件的边长是____ . 考试考法 56 【点拨】设与的交点为 ，正方形 的边长为 ，则易得 , . 四边形 是正方形，， ,易得 ，，即，解得 ， 这个正方形零件的边长是 . 返回 考试考法 57 思想2 分类讨论思想 14. 如图， 的两 条直角边，，，点 沿从向运动，速度是 ，同时， 点沿从向运动，速度为 .动 点到达点时运动终止.连接,, . 设运动时间为 ，解答下列问题： 考试考法 58 （1）______，__________.（用含 的代数式表示） 考试考法 59 （2）求当动点运动多少秒时，与 相似? 考试考法 60 【解】 的两条直角边, , , . 当，即 时， ， . ，解得 ； 考试考法 61 当，即 时， ， . ，解得 . 当动点运动或时， 与 相似. 考试考法 （3）在运动过程中，当时，求 的值. 过点作于点， . 又， . 考试考法 63 . ， 解得， . . ， . . ， . . ， . 考试考法 .. . 返回 考试考法 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 课堂小结 $