3.4《相似三角形的性质》 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，核心内容为对应高、角平分线、中线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。课堂以故宫建筑为情境导入，类比全等三角形性质，通过问题链构建从特殊到一般的探究支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于融合文化情境与数学探究，以问题驱动引导学生经历猜想、证明过程，发展数学思维（推理意识）和数学眼光（观察现实应用）。通过表格对比全等与相似性质，强化结构化学习，实例如房梁建造、图形平移问题，帮助学生提升应用能力，教师可依托此资料实现高效教学。

第三章 图形的相似 第4课 相似三角形的性质 新版北师大数学九年级上册数学 学习目标 1.通过类比全等三角形对应线段相等的性质,经历猜想、证明相似三角形对应高、角平分线、中线之比的过程,掌握相似三角形对应特殊线段之比等于相似比的定理. 2.通过从特殊到一般的推理探究,理解并证明相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方的定理. 3.通过解决房梁建造、图形平移等实际与几何问题,能熟练运用相似三角形的性质进行计算和简单推理.对比全等与相似的研究脉络，感悟几何图形定义-判定-性质-应用的结构化学习方法,体会中国古代建筑中的数学智慧,增强文化自信. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 上面北京故宫太和殿的斗拱和房梁结构图.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一,距今已有600多年历史.古代工匠没有现代的测量仪器,却能按照1:100甚至更小的比例图纸,精准建造出几十米高的宫殿.他们的秘诀就藏在相似三角形的性质里.今天我们就沿着古代工匠的智慧之路,一起探究相似三角形的奥秘. 问题构建 问题1:我们已经学习了全等三角形的性质,全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线有什么关系？ 全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线都相等 追问:全等是相似的特殊情况（相似比为1）,如果两个三角形相似比为k（k≠1）,那么它们的对应高、对应角平分线、对应中线还会相等吗？你能大胆猜想它们之间的关系吗？ 不会相等，猜想它们的比和相似比k有关系 问题2：回到课本图3-22,小王以1:2的比例建造了模型房梁△A´B´C´，CD和C´D´分别是它们的立柱.△ACD与△A´C´D´相似吗？为什么？ 问题构建 相似.因为△ABC∽△A'B'C’,所以∠A=∠A’;又因为CD⊥AB,C'D'⊥A'B'，所以∠ADC=∠A'D'C'=90°.根据 "两角分别相等的两个三角形相似"，可得△ACD∽△A'C'D' 追问1:由△ACD∽△A'C'D'，你能推出 CD 与 C'D' 的比和△ABC与△A'B'C' 的相似比有什么关系吗？ ，即相似三角形对应高的比等于相似比 问题构建 追问2:如果图纸上的立柱CD=1.5cm,那么实际建造的模型房立柱 C'D' 有多高？ C'D'=2×CD=3cm 追问3:刚才我们证明了对应高的比等于相似比，那么对应角平分线的比是否也等于相似比呢？请你仿照刚才的方法,写出已知、求证并证明. 已知△ABC∽△A'B'C’,相似比为k,AD和A'D' 分别是角平分线.求证: =k. 证明:由相似得∠B=∠B’,∠BAC=∠B'A'C’ 因为角平分线,所以∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'= ∠B'A'C’， 故∠BAD=∠B'A’D’. 所以△ABD∽△A'B'D'，得 k 问题构建 追问4:类似地,你能证明相似三角形对应中线的比等于相似比吗？ 已知△ABC∽△A'B'C’,相似比为k,AD和A'D' 分别是中线.求证: k. 证明:由相似得∠B=∠B’ =k； 因为中线,所以 BD= BC,B'D'= B'C’， 故k 所以△ABD∽△A'B'D’,得 k. 问题3:通过以上证明,我们得到了相似三角形的第一个重要定理,你能完整地总结出来吗？ 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 问题构建 问题4:课本“操作・思考” 中,如图,已知△ABC∽△A'B'C’,△ABC 与△A'B'C' 的相似比为k,点D,E在BC边上,点D’,E'在B'C’ 边上. 若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'= ∠B'A'C’,则等于多少？若BE=BC,B'E'= B'C’,则等于多少？ 比值都等于借助类比探究可证明 追问1:你能提出更一般性的问题吗？与同伴进行交流. 追问2:借助探索规律的思路,把题目中的,结论是否成立？ 相似三角形所有对应线段的比都等于相似比 协作破冰 例1 如图,AD是△ABC 的高,AD=h,点R在 AC 边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当 SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢？ 解:∵SR⊥AD,BC⊥AD ∴ SR∥BC ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）∴ (相似三角形对应高的比等于相似比） 即 当SR= BC 时, 得 ,解得DE=h 当 SR=BC 时,得解得DE=h 问题构建 问题5:我们已经知道了对应线段的比等于相似比,翻回课本62页,你还记得下面这个题目吗？ 右图展示的两个矩形周长之比也等于相似比. 猜想:周长比等于相似比 追问1:请你用代数推理证明相似三角形的周长比等于相似比 设△ABC∽△A'B'C’,相似比为k,则 =k， 即AB=kA'B’,BC=kB'C’,AC=kA’C’ 周长比=k 追问2:上面的证明借助了前面学习的哪个知识？ 等比性质 协作破冰 追问3:周长已经研究清楚,那么面积比与相似比有什么关系呢？ 追问4:面积比的证明需要用到我们刚学的哪个性质？请你完成证明. 需要用到对应高的比等于相似比 证明：设AD和A'D'分别是高,则=k. 面积比== k×k=k² 追问5:由此我们得到了相似三角形的第二个重要定理,谁来总结一下？ 相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 教师示范 追问6:这个结论能推广到相似多边形吗？两个相似四边形的周长比和面积比分别是多少？n 边形呢？ 可以推广.相似四边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方;相似n边形也是如此.可以将多边形分割成若干个相似三角形来证明. 例2 如图,将△ABC沿BC方向平移,得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半.已知BC=2,求△ABC 平移的距离. 解：根据题意,可知EG∥AB ∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A ∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似） 教师示范 ∴ = ()² = （相似三角形的面积比等于相似比的平方）， 即= ∴EC²=2 ∴EC= ∴BE=BC−EC=2-即△ABC 平移的距离为 2- 问题6:请你对比全等三角形和相似三角形的性质,完成表格 性质 全等三角形 相似三角形（相似比 = k） 对应角 相等 相等 对应边 相等 成比例，比为 k 对应高 相等 比为 k 对应角平分线 相等 比为 k 对应中线 相等 比为 k 周长比 1:1 k 面积比 1:1 k² 巩固拓展 问题7:回顾全等三角形和相似三角形的学习过程，我们是按照什么顺序来研究的？这是几何图形研究的通用方法吗？ 几何图形 定义 性质 判定 应用 特殊平行四边形 圆 模型化 当堂检测 1.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则下列说法正确的是（ ） A. 对应角平分线的比为4:9 B. 对应高的比为2:3 C. 周长比为4:9 D. 面积比为2:3 B 请你列举解决本例所用到的定理 当堂检测 2.一只小风筝与一只大风筝形状相同,它们的形状如图所示,其中对角线AC⊥BD.已知它们的对应边之比为1:3,小风筝两条对角线的长分别为 12cm和14cm. (1) 小风筝的面积是多少？ （1）求小风筝的面积 ∵​小风筝的对角线AC⊥BD， ∴小风筝为对角线互相垂直的四边形,其面积公式为： S= 代入数据： AC=12cm，BD=14cm 答：小风筝的面积是84平方厘米 当堂检测 (2) 如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料（不计损耗）？ ∵​小风筝与大风筝“形状相同”,即两图形相似,且对应边之比为1:3， ∴相似比k = 3 根据相似图形性质:对应线段之比等于相似比 ∴大风筝的两条对角线分别为： A′C′=3×AC=3×12=36（cm） B′D′=3×BD=3×14=42（cm） 十字交叉支撑架=两条对角线长度之和： L=A′C′ +B′D′=36+42=78（cm） 答：至少需用78厘米长的材料. 当堂检测 (3) 大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 思路：​废弃面积=外接矩形面积−大风筝面积 ① 求大风筝面积 根据相似图形面积比=相似比的平方=3²=9 小风筝面积=84 cm² ∴ =84×9=756（cm²） ② 求矩形面积 由图中虚线可知,矩形的长和宽分别等于大风筝的两条对角线： 长=A′C′=36cm，宽=B′D′=42 cm ∴ = 36 × 42 = 1512（cm²） ③ 求废弃面积 S废弃=−=1512−756=756（cm²） 答：从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是756 平方厘米. 反思总结 1.本节课我们通过类比和推理得到了相似三角形的哪两条核心性质定理？它们的证明过程分别用到了哪些已学知识？ 2.在探究相似三角形性质的过程中,我们用到了哪些重要的数学思想方法？这些方法在以后的学习中还会用到吗？ 3.古代工匠运用相似三角形的性质建造了宏伟的建筑,你还能想到生活中哪些地方用到了相似三角形的性质？请举一个具体例子. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第86页 第1,3题 二、素养类作业 课本第87页 第8题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $