3.4相似三角形的性质第2课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比与面积比性质，通过全等三角形类比提问导入，结合相似比2的具体计算尝试，衔接相似三角形定义与判定，搭建从特例到一般的探究支架。 其亮点是通过“探究-证明-应用”链条培养推理意识与抽象能力，如从具体相似比到一般化证明，例题（平移重叠面积问题）体现模型意识。小结用表格梳理定理，跟踪训练巩固，助力学生提升逻辑推理与应用能力，教师可直接使用结构化内容提高教学效率。

第三章　3.4　相似三角形的性质 第2课时　相似三角形的周长 比与面积比 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.掌握相似三角形周长和面积的性质.(重点) 2.能综合运用相似三角形的性质进行计算与证明，在解题过程中提高逻辑推理的能力，增强符号感.(难点) 探究与应用 两个全等三角形的周长和面积都相等,那么两个相似三角形的周长和面积有怎样的关系呢? 探究 相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系 问题导入 解:略 (1)如果△ABC∽△A'B'C',相似比为2,那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少?面积比呢? 解:(1)△ABC与△A'B'C'的周长比是2,面积比是4. 尝试思考 问题　如图所示，已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k， (1)那么===　　；  (2)根据等比性质，得==　　；  (3)分别作△ABC，△A'B'C'的高CD，C'D'，那么==　　.根据三角形面积公式，得 ==·=　　.  k k k k2 知识梳理 定理 符号表示 相似三角形的周长比等于_______   如图所示，△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，则△ABC与△A'B'C'的周长比等于__ 相似三角形的面积比等于_______ _______ 如图所示，△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，则△ABC与△A'B'C'的面积比等于___ 相似比 相似比 的平方 k k2 (2)如图3-4-6,如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比吗? 图3-4-6 解：(2)由题意,得===k, ∴===k. 如图,分别作△ABC和△A'B'C'的高CD,C'D'. 图3-4-6 ∵△ABC∽△A'B'C', ∴==k(相似三角形对应高的比等于相似比). ∴==·=k2. 例　(课本P87例2)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 解　根据题意，可知EG∥AB. ∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A. ∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴==(相似三角形的面积比等于相似比的平方)， 即=， 例　(课本P87例2)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 解　∴EC2=2. ∴EC=. ∴BE=BC-EC=2-， 即△ABC平移的距离为2-. 相似三角形面积比的性质的“两点注意” (1)相似三角形的面积比等于相似比的平方,不要与周长比混淆. (2)在应用性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”时,注意由相似比求面积比时要平方;反过来,由面积比求相似比时要开平方. 防 易错 相似三角形周长比和面积比的性质定理:相似三角形的周长比等于　　　　,面积比等于　　　　　　　.  概括新知 相似比 相似比的平方 反思感悟 在根据相似三角形的性质解决与面积有关的问题时，容易出现的错误是丢掉了“平方”这个关键的运算，一定要高度重视. (1)两个相似四边形的周长比等于相似比吗?两个相似的n边形呢? 思考交流 解:(1)根据等比性质可知两个相似四边形的周长比等于相似比, 两个相似的n边形的周长比等于相似比. (2)两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗?你能利用相似三角形的性质说明吗?两个相似的n边形呢? 解：(2)等于.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,类比可得两个相似四边形的面积比等于相似比的平方,两个相似的n边形的面积比等于相似比的平方. 跟踪训练　(1)若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是 A.5 B.10 C.20 D.40 解析　设△DEF的周长为x， ∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2， ∴10∶x=1∶2， 解得x=20. √ (2)已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若=，则等于 A. B. C.6 D.8 √ 解析　∵△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，=， ∴△ABC与△A1B1C1的相似比为， ∴==. 相似多边形周长比和面积比的性质:相似多边形的周长比等于 　　　　,面积比等于　　　　　　　.  概括新知 相似比 相似比的平方 如图3-4-7,已知△ABC∽△DEF,AB=3,DE=2,若△DEF的周长为8,则△ABC的周长为　　　　.  应用一 　利用相似三角形周长之比和面积之比进行计算 例 1 12 图3-4-7 (3)如图所示，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1∶2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积. 解　∵△ADE和△ABC的相似比是1∶2， ∴==， 又∵△ADE的面积是1， ∴S△ABC=4S△ADE=4， ∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=4-1=3. (4)四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB=4，A'B'=5，若四边形ABCD的面积为12，求四边形A'B'C'D'的面积. 解　∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB=4，A'B'=5， ∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为=， ∴==， 即=， ∴S四边形A'B'C'D'=. 已知△FBC∽△EAD,它们的周长分别为30和15,若边FB上的中线长为10,则边EA上的中线长为　　　　.  5 变式1 两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm,它们的周长之差为12 cm,那么大三角形的周长为　　　　.  30 cm 变式2 课堂小结 相似三角形的性质 (教材典题)如图3-4-8,将△ABC沿BC方向平移,得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积S△GEC是△ABC面积S△ABC的一半.已知BC=2,求△ABC平移的距离. 例 2 图3-4-8 解:根据题意,可知EG∥AB, ∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A. ∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴=（ ）2=(相似三角形的面积比等于相似比的平方), 即=.∴EC2=2.∴EC=. ∴BE=BC-EC=2-, 即△ABC平移的距离为2-. 图3-4-8 1.将△ABC放大到3倍，得到△A'B'C'，则△ABC与△A'B'C'的面积比是 A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9 随堂演练 √ 解析　∵将△ABC放大到3倍，得到△A'B'C'， ∴AB∶A'B'=1∶3， ∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1∶9. 2.两个相似三角形的对应边上的中线比为1∶，则它们面积比为 A.5∶1 B.1∶5 C.1∶ D.∶1 随堂演练 √ 解析　∵相似三角形对应边上的中线的比为1∶，即相似比为1∶，而相似三角形的面积比等于其相似比的平方，∴其面积比为1∶5. (1)已知一个四边形的边长分别为3,4,5,6,与它相似的四边形的最短边长为4,那么这个相似四边形的周长是　　　　;  (2)两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm和4.5 cm.如果它们的面积和为78 cm2,那么较大多边形的面积为　　　　cm2.  应用二 　利用相似多边形周长之比和面积之比进行计算 例 3 24 54 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | $