第一章 特殊的平行四边形 回顾与思考 提优特训A·B卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》单元复习提优卷，分A（基础）、B（提优）两卷，覆盖图形概念体系、判定推理、变换应用等核心内容，融合中考真题与创新题型，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|20题60分|从属关系、性质计算、折叠旋转|结合中国结文化情境，考查几何直观（如菱形性质计算）| |填空|20题60分|中点四边形、动点问题、面积公式|设计动态变换（如矩形折叠求线段长），发展空间观念| |解答|12题120分|菱形矩形判定、旋转全等、综合探究|设置中考改编题（如2026云岩区模考题），强化推理能力与模型应用|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形回顾与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1. 梳理四边形 → 平行四边形 → 矩形、菱形 → 正方形的层级从属关系，抽象四类图形边、角、对角线的共性与专属特征，建立完整图形概念体系。 2. 熟练区分矩形、菱形、正方形的判定路径，能结合全等三角形、直角三角形斜边中线定理、勾股定理完成几何证明，规范综合题推理步骤，突破判定条件混淆易错点。 3. 掌握四类图形轴对称、中心对称特点；识别对角线分割等腰三角形、直角三角形经典模型，解决折叠、动点、中点四边形等几何图形变换问题。 4. 灵活选用面积公式计算菱形、正方形面积；利用对角线与边长的数量关系进行线段长度计算，提升几何计算准确率。 ) 二．知识梳理 ( （一） 四类四边形包含关系 1.平行四边形是矩形、菱形的基础图形；正方形既是特殊矩形，也是特殊菱形，是本章图形最高层级。 2.通用规律：特殊图形 = 基础图形 + 专属限制条件；特殊图形天然拥有基础图形全部性质。 （二） 特殊的平行四边形知识 回顾 【 答案 】 ： ①相等　②互相垂直　③互相垂直　④相等　⑤直角 ⑥相等　⑦一半　⑧相等　⑨三　⑩相等 ⑪相等且互相垂直平分　⑫相等　⑬垂直　⑭是直角　⑮相等 ) ( （三）拓展 1.中点四边形结论 （1） 任意四边形中点连线构成平行四边形； （2） 原四边形对角线相等 → 中点四边形为菱形； （3） 原四边形对角线垂直 → 中点四边形为矩形； （4） 原四边形对角线既垂直又相等 → 中点四边形为正方形。 2. 矩形边上动点到两条对角线距离之和 = 定值（等于矩形短边/长边对应高） 3. 正方形半角模型、旋转全等模型：常以公共顶点旋转90 ° 构造全等三角形。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2026云岩区中考一模）下列从属关系正确的是（ ） A.正方形⊂矩形⊂平行四边形 B.平行四边形⊂矩形⊂正方形 C.菱形⊂正方形⊂平行四边形 D.矩形⊂菱形⊂平行四边形 【答案】：A 【解析】：平行四边形包含矩形与菱形，正方形既是矩形又是菱形，因此正方形属于矩形。 2．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵四边形是菱形，∴，．∵，， ∴，∴．∵，， ∴，∴． 3.下图入口处进入，最后到达的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】：D 【解析】：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；∴最后到达的是丁故选：D． 4.（2025山东青岛市北期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图，小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD,测得BD=16 cm,AC=12 cm,则此菱形的周长为 ( ) A.28 cm B.40 cm C.56 cm D.80 cm 【答案】B 【解析】∵ 四边形ABCD为菱形,且BD=16cm,AC=12cm, ∴AB=BC=CD=AD,OB=OD=BD=8cm，OA=OC=AC=6cm,AC⊥BD,∴∠AOB=90°,在Rt△OAB 中,由勾股定理得AB=10cm，∴菱形ABCD的周长=4AB=4×10=40(cm),故选 B. 5.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】由题意知，△BEG≌△HEG，则BE＝HE；∠BEG＝∠HEG，∠BEH＝2∠BEG.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴AE＝HE.∴∠EAH＝∠EHA.∵∠BEH＝∠EAH＋∠EHA＝2∠EAH.∴∠BEG＝∠EAH＝∠EHA＝∠HEG.则与∠BEG相等的角有3个 6．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3 【答案】A 【解析】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH＝FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠5（等量代换），同理∠5＝∠7＝∠8，∴∠1＝∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH＝CF＝FN，又∵HD＝HN，∴AD＝HF，在Rt△HEF中，EH＝3，EF＝4，根据勾股定理得HF＝＝5．又∵HE•EF＝HF•EM，∴EM＝，又∵AE＝EM＝EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB＝2EM＝，∴AD：AB＝5：＝．故选：A． 7.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】B 【解析】A、①有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意；B、③对角线相等的矩形不一定是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意；C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．故选：B． 8．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】如图，过点B作于O，由正方形的性质可∵，∴，，∴，∴，∴，由旋转的性质可得，∴，∴，∴，∴，故选：D． 9.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.以上都不对 【答案】A　 【解析】如图,已知四边形ABCD,E,N,M,F分别是DA,AB,BC,DC的中点,连接AC,BD,根据三角形中位线定理可得:EF平行且等于AC的一半,MN平行且等于AC的一半,根据平行四边形的判定,可知四边形MNEF为平行四边形.故选A. 10．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正方形边长为，是中点，∴设，则，由折叠性质得．在中，由勾股定理：，即，，，．∴，，．故选：C． 二．填空题（共30分） 11．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 【答案】15 【解析】：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB＝BC＝x，则EB＝9﹣x，AE＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE2+EB2＝AB2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得 x＝5，∴S菱形ABCD＝5×3＝15， 12．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【解析】如图，两个正方形，，， ， ，，． 13．如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为_________． 【答案】 【解析】∵四边形菱形且对角线交于原点O，∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴，∴． 14．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    【答案】75° 【解析】连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°． 15.如图,已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD相交于点O.若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD的面积为　　　　.  【答案】6　 【解析】∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.∵AO=BO,∴AC=BD,∴四边形ABCD为矩形.∵AD=3,AB=2,∴四边形ABCD的面积为AD·AB=3×2=6. 16.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为_________cm． 【答案】5 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD，AB＝8，BC＝10，∴AB'＝8，AD＝10，B'C'＝10．在Rt△ADB'中，由勾股定理，得DB'＝6．∴DC'＝4．设DE＝x，则CE＝C'E＝8－x．在Rt△C'DE中，由勾股定理，得DE2＝EC'2＋DC'2即x2＝(8－x)2＋42．∴x＝5．即线段DE的长为5cm． 17.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,则BD,AC应满足的条件是　 .  【答案】AC=BD且AC⊥BD　 【解析】满足的条件应为:AC=BD且AC⊥BD.理由:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点, ∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,∴HG∥AC且HG==AC;同理EF∥AC且EF=AC,EH=BD. 则HG∥EF且HG=EF,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AC=BD,∴EF=EH,∴四边形EFGH是菱形.∵AC⊥BD,EF∥AC,∴EF⊥BD.∵EH∥BD,∴EF⊥EH,∴∠FEH=90°,∴菱形EFGH是正方形. 18．如图，正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】∵正方形的边长为3，∴，，∵将绕点D逆时针旋转，得到∴， ∴，∴B，C，M共线，∵，∴，∴， 在与中，，∴，∴，故①正确；∴，故④正确；，故③正确；由题意无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 19．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【解析】如图所示，过点B作于O，由正方形的性质可得， ∵，∴，， ∴，∴，∴，由旋转的性质得， ∴，∴，∴．故答案为：． 20．如图，正方形的边长为5，对角线交于点E，线段的长为2，在边上移动，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【解析】如图，过E作，过G点作，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，作E点关于的对称点，连接， ∴，∴当H、G、三点共线时，的值最小，此时， ∵，∴，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：． 三．解答题（共60分） 21.（2025观山湖九上期中） (1) 写出平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系； (2) 分别说出四种四边形的对称性。 解：(1) 平行四边形包含矩形、菱形；矩形与菱形的交集为正方形。 (2) 普通平行四边形：仅中心对称； 矩形：轴对称（2条）+中心对称； 菱形：轴对称（2条）+中心对称； 正方形：轴对称（4条）+中心对称。 22.如图四边形ABCD，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． 解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形； （2）∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52． 23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O，连接AN，CM. (1)求证：四边形AMCN是菱形； (2)若AB＝3，AD＝6，求出AE的长． 解:(1)∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，AM＝CM，CN＝AN， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AMO＝∠CNO，在△AOM和△CON中 ，∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM＝CN，∴AM＝CM＝CN＝AN，∴四边形AMCN是菱形； (2)连接CE，如图所示：∵MN是AC的垂直平分线，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，则DE＝6－x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＋DE2＝CE2，即32＋(6－x)2＝x2，解得x＝，即AE的长为. 24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG. (1)求证：△ABE≌△CDF. (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF， ∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形． 25．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 解：（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN， ∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30． 26．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 解：（1）补全图形如图1所示： （2）①证明：如图1所示∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴PA＝PE，∠APE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，∵EFBC于F，∴∠PFE＝90°＝∠ABP，∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，∴∠APB＝∠PEF，在△APB和△PEF中， ，∴△APB≌△PEF（AAS），∴PB＝EF，AB＝PF，∵AB＝BC，∴BC＝PF，∴PB＝CF，∴EF＝CF； ②结论：CP﹣CD＝CE．理由：∵CD＝CB，∴CP﹣CD＝CP﹣CB＝PB＝CF，∵EF＝CF，∠CFE＝90°，∴CF＝CE，∴CP﹣CD＝CE； （3）CE＝（CD−CP）或CE＝（CD+CP） B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由矩形性质知，，由折叠性质知 2．如图，在菱形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四边形是菱形， ，，，． 3．如图，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：在正方形中，平分，．， ．又，． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，延长EO交BC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OF，∴OF＝， ∴根据菱形的对称性得EF＝2OF＝．故选：C． 5.（2024 上海崇明模拟）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】如图,∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°,∵ BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故选 C. 6.(2024甘肃中考)如图1,动点 P 从菱形ABCD 的点A 出发,沿边 AB→BC 匀速运动，运动到点 C 时停止.设点 P 的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点 P 运动到BC 中点时，PO 的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.2 【答案】C 【解析】结合图象可得,当x=0时,PO=AO=4,当点 P运动到点 B 时,PO=BO=2,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,∴ ∠AOB =∠BOC = 90°,∴ AB = BC = .当点 P 运动到BC 中点时,PO 的长为BC=故选 C. 7.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形的顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动．已知M是边AB的中点，连接OM，DM.下列判断正确的是( ) 结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变； 结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】：A（结论Ⅰ、Ⅱ都对） 【解析】：结论Ⅰ：△AOB是直角三角形，M是斜边AB中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，OM=AB=×6=3，长度恒为3，不变 。结论Ⅱ：∠OAB=45°，OA=OB，M是AB中点，OM⊥AB。矩形中AD=BC=3，AM=AB=3，→AM=AD=3，又∠DAM=90°-45°=45°，∠OMA=45°，得AD‖OM，且AD=OM=3。一组对边平行且相等，四边形OMDA是平行四边形。 8．如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是( ) 甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF＝CE A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行 C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行 【答案】：A（甲、乙都可行） 【解析】：矩形ABCD，∴AD‖BC，即AE‖FC。甲条件：速度相同，E从D、F从B同时出发，速度相同，则 DE=BF。∵AD=BC，∴AD-DE=BC-BF，即AE=FC。AE‖FC且AE=FC，一组对边平行且相等，四边形AECF是平行四边形 。乙条件：AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，得BF=DE，推出AE=FC。又AE‖FC，故AECF是平行四边形 。甲、乙两个条件都可行。 9.如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】B 【解析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴△EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝AF•EM，S△ABC＝AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B． 10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：则PE+PF的值最小＝EM；∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，∴EC＝10，FC＝5＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝＝＝5，同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使PE+PF＝5；∴满足PE+PF＝5的点P的个数是4个；故选：B． 二．填空题（共30分） 11．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是______. 【答案】2 【解析】因为正方形的周长为8个单位长度，所以正方形的边长为2个单位长度．表示2025的点与表示﹣1的点的距离等于2025﹣（﹣1）＝2026个单位长度，因为2026÷8＝253……2，所以253圈余2个单位长度，所以对应的数字是2. 12．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_______. 【答案】：2 【解析】：如图，连接BP，∵菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，∴AB＝BC＝＝3（cm），S△ABC＝＝3（cm2），∵S△ABC＝S△ABP+S△BPC，∴3＝AB•PF+BC•PE，∴3＝×3×PE+×3×PF＝（PE+PF），∴PE+PF＝2（cm）， 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 【答案】 【解析】过点A作AM⊥BC于点M′，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵AM⊥BC，∴BC×AM＝AB×AC，∴AM′＝＝＝，∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴∠MEA＝∠MFA＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，AM与EF互相平分，∵N为EF的中点，∴MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合， ∴MN＝AM′＝，故答案为：． 14．将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为2，则阴影部分的周长总和等于__. 【答案】8100 【解析】：根据题意知，将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2025个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致，如图，由题意知，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝∠EOF，由菱形的对角线平分一组对角可知∠EOC＝∠DAO，∴OE∥AD，∴OE是△ACD的中位线．∴OE＝AD＝1，∴一个阴影菱形的周长为：1×4＝4，∴2025个阴影菱形的周长和为：4×2025＝8100， 15.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________． 【答案】105°或45°　 【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°. 16．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为____． 【答案】7 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝，∴AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°.由折叠的性质，得EF⊥BO.又∵∠ABO＝∠CBO，∴BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF＝60°，∴∠OEF＝60°，∴∠AEO＝60°.又∵∠BAO＝60°，∴△AEO是等边三角形．同理，△CFO也是等边三角形，∴AE＝EF＝CF＝AO＝1，∴五边形AEFCD的周长为1＋1＋1＋2＋2＝7. 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 【答案】或8 【解析】如图1中，当∠DA′P＝90°时，由翻折的性质可知，∠PA′B＝∠A＝90°，BA＝BA′＝8，∴∠BA′P+∠DA′P＝180°，∴B，A′，D共线，∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝15， ∴BD＝＝＝17，∴DA′＝17﹣8＝9，设AP＝PA′＝x，则PD＝15﹣x，∵PD2＝PA′2+DA′2，∴（15﹣x）2＝x2+92，解得x＝，∴PA＝．如图2中，当∠A′PD＝90°时，四边形ABA′P是正方形，此时PA＝AD＝8．综上所述，满足条件的PA 的值为或8． 18．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C处．P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H．若AD＝14，CF＝5，则PG+PH＝　 　． 【答案】2 【解析】如图，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，∵PG⊥BE、PH⊥BC， ∴S△BEF＝S△BEP+S△BFP＝BE•PG+BF•PH＝BF（PG+PH），∵S△BEF＝BF•EQ，∴PG+PH＝EQ，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝14，CF＝5，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝14﹣5＝9．由折叠易知，△DCF≌△BC'F≌△BAE，∴C'F＝CF＝5， ∴BC'＝＝＝∴AB＝C'B＝2．∴EQ＝AB＝2．∴PG+PH＝EQ＝2．故答案是：2． 19．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 【答案】 【解析】由翻折可知，根据题意设，则，又点为边的中点，，在中，，即，解得：，即．故答案为：． 20．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　　． 【答案】16 【解析】在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，∴B、A、O、C四点共圆，∴∠ABO＝∠ACO，∵在△BAO和△CGO中，∴△BAO≌△CGO（SAS），∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG＝，即AC＝12+4＝16．故答案为：16 三．解答题（共60分） 21.（2026云岩区中考三模，3小问） (1) 画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含结构图； (2) 写出矩形与菱形所有共同性质； (3) 写出正方形独有的对称特征。 解：(1) 平行四边形包含矩形、菱形；矩形与菱形相交部分为正方形。 (2) 共同性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称。 (3) 正方形独有：4条对称轴，对角线既相等又互相垂直。 22．如图，在菱形ABCD中，∠A＝72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数． 解：如图(答案不唯一)． 23．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. (1)求证：△AEM≌△ANM. (2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长． 解:(1)∵△ABE是由△ADN旋转得到，∴△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AN＝AE，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM(SAS). (2)设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM＋DN＝5，∵∠C＝90°，∴在Rt△MCN中，根据勾股定理，得MN2＝CM2＋CN2，∴25＝(x－3)2＋(x－2)2，解得x＝6或－1(舍去)，∴正方形ABCD的边长为6. 24.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 解：（I）（i）利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2； （ii）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴四边形ABFE是菱形；（II）如图，必为a＞3，且a=4；②如图，必为2＜a＜3，且a=2.5；③如图，必为＜a＜2，且a﹣1+（a﹣1）=1，解得a=；④如图，必为1＜a＜，且3（a﹣1）=1，解得a=．综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 25．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． 解：（1）∵C的坐标为（0，4），∴OC＝4，∵OA＝2OC，∴OA＝2×4＝8，在矩形OABC中，BC＝OA＝8，∵D点坐标为（3，4），∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5； （2）如图1，过D作DH⊥OA于H，则∠DCO＝∠COH＝∠DHO＝90°，∴四边形OHDC是矩形， ∴OH＝CD＝3，DH＝OC＝4，由折叠可得，DE＝BD＝5，在Rt△DHE中，HE＝＝＝3，∴OE＝OH+HE＝3+3＝6，∴E点坐标为（6，0）； （3）OE＝2CD，理由如下：如图2，设直线DF与x轴交于I点，∵B点坐标为（b，n），D点坐标为（m，n），∴CD＝m，BC＝b，∴BD＝BC﹣CD＝b﹣m，由折叠的性质可得，DE＝BD＝b﹣m，∠BDF＝∠EDF，∵BC∥x轴，∴∠EID＝∠BDF＝∠CDG，∴∠EID＝∠EDF，∴EI＝DE＝b﹣m，在△GCD和△FAI中，，∴△GCD≌△FAI（AAS），∴AI＝CD＝m， ∴AE＝EI﹣AI＝b﹣m﹣m＝b﹣2m，∴OE＝OA﹣AE＝b﹣（b﹣2m）＝2m，∴OE＝2CD． 26．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）【问题解决】：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是 　 　； （2）【问题探究】：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）【拓展延伸】：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 解:（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQOC，∴PQ⊥BO，PQBO；故答案为：PQBO，PQ⊥BO． （2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，在△O′PE和△FPC中，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也为等腰直角三角形．又∵点Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形； （3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，在△O'GP和△BCP中,，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB为等腰直角三角形，∵点Q是O'B的中点，∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A，∴O'B，∴BQ．∴S△PQBBQ•PQ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形回顾与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1. 梳理四边形 → 平行四边形 → 矩形、菱形 → 正方形的层级从属关系，抽象四类图形边、角、对角线的共性与专属特征，建立完整图形概念体系。 2. 熟练区分矩形、菱形、正方形的判定路径，能结合全等三角形、直角三角形斜边中线定理、勾股定理完成几何证明，规范综合题推理步骤，突破判定条件混淆易错点。 3. 掌握四类图形轴对称、中心对称特点；识别对角线分割等腰三角形、直角三角形经典模型，解决折叠、动点、中点四边形等几何图形变换问题。 4. 灵活选用面积公式计算菱形、正方形面积；利用对角线与边长的数量关系进行线段长度计算，提升几何计算准确率。 ) 二．知识梳理 ( （一） 四类四边形包含关系 1.平行四边形是矩形、菱形的基础图形；正方形既是特殊矩形，也是特殊菱形，是本章图形最高层级。 2.通用规律：特殊图形 = 基础图形 + 专属限制条件；特殊图形天然拥有基础图形全部性质。 （二） 特殊的平行四边形知识 回顾 ) ( （三）拓展 1.中点四边形结论 （1） 任意四边形中点连线构成平行四边形； （2） 原四边形对角线相等 → 中点四边形为菱形； （3） 原四边形对角线垂直 → 中点四边形为矩形； （4） 原四边形对角线既垂直又相等 → 中点四边形为正方形。 2. 矩形边上动点到两条对角线距离之和 = 定值（等于矩形短边/长边对应高） 3. 正方形半角模型、旋转全等模型：常以公共顶点旋转90 ° 构造全等三角形。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2026云岩区中考一模）下列从属关系正确的是（ ） A.正方形⊂矩形⊂平行四边形 B.平行四边形⊂矩形⊂正方形 C.菱形⊂正方形⊂平行四边形 D.矩形⊂菱形⊂平行四边形 2．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3.下图入口处进入，最后到达的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4.（2025山东青岛市北期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图，小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD,测得BD=16 cm,AC=12 cm,则此菱形的周长为 ( ) A.28 cm B.40 cm C.56 cm D.80 cm 5.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3 7.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 8．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 9.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.以上都不对 10．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 12．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 13．如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为_________． 14．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    15.如图,已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD相交于点O.若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD的面积为　　　　.  16.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为_________cm． 17.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,则BD,AC应满足的条件是　 .  18．如图，正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 19．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为 ． 20．如图，正方形的边长为5，对角线交于点E，线段的长为2，在边上移动，连接，则的最小值是 ．    三．解答题（共60分） 21.（2025观山湖九上期中） (1) 写出平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系； (2) 分别说出四种四边形的对称性。 22.如图四边形ABCD，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． 23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O，连接AN，CM. (1)求证：四边形AMCN是菱形； (2)若AB＝3，AD＝6，求出AE的长． 24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG. (1)求证：△ABE≌△CDF. (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 25．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 26．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，延长EO交BC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 5.（2024 上海崇明模拟）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 6.(2024甘肃中考)如图1,动点 P 从菱形ABCD 的点A 出发,沿边 AB→BC 匀速运动，运动到点 C 时停止.设点 P 的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点 P 运动到BC 中点时，PO 的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.2 7.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形的顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动．已知M是边AB的中点，连接OM，DM.下列判断正确的是( ) 结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变； 结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 8．如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是( ) 甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF＝CE A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行 C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行 9.如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．28 B．24 C．20 D．16 10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．8 D．16 二．填空题（共30分） 11．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是______. 12．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_______. 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 14．将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为2，则阴影部分的周长总和等于__. 15.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________． 16．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为____． 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 18．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C处．P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H．若AD＝14，CF＝5，则PG+PH＝　 　． 19．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 20．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　　． 三．解答题（共60分） 21.（2026云岩区中考三模，3小问） (1) 画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含结构图； (2) 写出矩形与菱形所有共同性质； (3) 写出正方形独有的对称特征。 22．如图，在菱形ABCD中，∠A＝72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数． 23．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. (1)求证：△AEM≌△ANM. (2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长． 24.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 25．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． 26．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）【问题解决】：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是 　 　； （2）【问题探究】：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）【拓展延伸】：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $