第十三章三角形拔高卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学三角形拔高卷，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖三角形边与角、三线、等腰三角形等核心知识，从概念理解到新定义综合应用，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形分类、内角和、三线概念|选择1-3（三角形按边分类、内角比判断形状）、填空11-13（等腰三角形外角与周长）| |能力提升|三线综合、等腰三角形多解、内外角性质|选择4-10（角平分线与高综合计算）、解答16-20（三角形面积与中线性质）| |综合拓展|新定义应用、动态几何推理|解答23（“完美三角形”概念探究），融合分类讨论与创新思维|

2026-2027学年上学期人教版八年级数学第十三章三角形 拔高卷（原卷+详解） 本试卷测试内容：人教版（新课标）八年级上册第十三章 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）. 1.一个三角形的三边长之比是，周长是，此三角形按边分是. A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 以上都不对 2.在中，若三个内角的度数比为，则的形状是. A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 3.以下说法正确的有. 三角形的中线、角平分线都是射线 三角形的三条高所在直线相交于一点 三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 直角三角形的三条高相交于直角顶点． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.如图，在中，是边上的高，平分交边于，，，则的大小是. A. B. C. D. 5.已知，，是的三条边长，化简的结果为. A. B. C. D. 6.如图，在中，，，分别是，，的中点，，则等于. A. B. C. D. 7.将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是. A. B. C. D. 8.如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是. A. B. C. D. 9.以下是四位同学在钝角三角形中画边上的高，其中正确的是. A. B. C. D. 10.如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于. A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）. 11.已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为      ． 12.如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有      个． 13.已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为       ． 14.如图，在中，、分别平分、若，则      ． 15.在中，是高，，，平分，则的度数为         ． 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.本小题分如图，在中，，垂足为，是钝角，是上一点，且是锐角． 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 17.本小题分已知的三边长分别为，，． 化简： 若，，且三角形的周长为偶数． 求的值； 判断的形状． 18.本小题分用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． 如果腰长是底边长的倍，求三角形各边的长． 能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 19.本小题分如图，、分别是的高和角平分线，且，，求的度数． 20.本小题分如图， 是 的外角 的平分线，且 交 的延长线于点． 若，，求 的度数； 求证：． 21.本小题分如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，试求： 的长 的面积 与的周长的差． 22.本小题分如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． 已知，求，的度数； 不论为何值时，探索的值是否变化，并说明理由． 23.本小题分 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”如：三个内角分别为，，的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点点不与，重合 的度数为____，____填“是”或“不是”“完美三角形”； 若，请说明是“完美三角形”． 【拓展应用】 (3)如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，若是“完美三角形”，求的度数． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  【解析】解：三角形的中线、角平分线都是线段，不是射线，故错误， 三角形的三条高所在直线相交于一点正确； 三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点正确； 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分正确； 直角三角形的三条高相交于直角顶点正确． 故选B． 4.【答案】  【解析】 解：平分， ， 是边上的高， ， ． 故选B． 5.【答案】  【解析】 解：因为，，是的三条边长， 所以， 所以． 故选D． 6.【答案】  【解析】 解：是的中点，， ， 是的中点， ，， ， 是的中点， ． 故选B． 7.【答案】  【解析】解：如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行， ， ，， ， 故选． 8.【答案】  【解析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出的度数是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【解答】解：是的中线，，， ，． 是的角平分线， ． 故选． 9.【答案】  【解析】解：、高交的延长线于点处，符合题意； B、没有经过顶点，不符合题意； C、做的是边上的高线，不符合题意； D、没有经过顶点，不符合题意． 故选． 找到经过顶点且与垂直的所在的图形即可． 本题考查了三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高． 10.【答案】  【解析】 本题主要考查三角形中线的性质根据三角形的中线平分三角形的面积和同高的两个三角形面积之比等于底边长之比来解答即可． 【解答】 解：如图 设， ， ， 的面积为 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积 故选B． 11.【答案】或  【解析】解：等腰三角形的一个外角为， 与此外角相邻的内角为， 当为顶角时，其他两角都为、， 当为底角时，其他两角为、， 所以等腰三角形的顶角为或． 故答案为或． 等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论． 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理． 12.【答案】  【解析】解：于，且以为顶点的三角形有个， 以为高的三角形有个． 故答案为 由于于，图中共有个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数． 此题主要考查了三角形的高，掌握三角形高的概念是解题的关键． 13.【答案】或  【解析】解：当是等腰三角形的腰时，三边为，，， 而， 符合三角形的三边关系，此时周长为， 当是等腰三角形的腰时，三边为，，， 而， 符合三角形的三边关系，此时周长为， 故答案为或． 分两种情况，确定出三角形的三边，再判断是否能构成三角形，最后计算出周长即可． 此题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的概念，利用分类讨论的思想是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：、分别平分、， ，， 而， ， ， ， ， 而， ． 故答案为． 先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，则，由于，所以，然后把代入计算可得到的度数． 本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟练进行角度的转换是解题的关键 15.【答案】或  【解析】当为锐角时，如图所示， 易知， 平分， ， ． 当为钝角时，如图所示， 易知， 平分， ， ． 综上，或． 16.【答案】【小题】 解：题图中有个三角形，分别是，，，，，． 【小题】 题图中的锐角三角形有． 直角三角形有，，． 钝角三角形有，． 17.【答案】【小题】 解： 的三边长分别为，，． ，，， ． 【小题】 解： 的三边长分别为，，，，， ，即， 又三角形的周长为偶数，三角形的周长， 为奇数， ； ，，， ， 为等腰三角形． 18.【答案】解：设底边长为，则腰长为． 依题意，得， 解得． ． 三角形三边的长为、、． 若腰长为，则底边长为． 而，所以不能围成腰长为的等腰三角形． 若底边长为，则腰长为． 此时能围成等腰三角形，三边长分别为、、．  【解析】设底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； 题中没有指明的边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解． 19.【答案】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ．  【解析】本题考查角的平分线及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件；解答的关键是沟通外角和内角的关系． 由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，所以由可求得结果． 20.【答案】解：是的外角的平分线， ， ； 证明：是的一个外角， ， 是的外角的平分线， ， ． 【解析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 首先根据角平分线的定义和三角形的外角性质及平角的定义求出的度数，再根据三角形的外角的性质通过即可求出的度数； 首先根据三角形的外角的性质证得，然后根据角平分线的定义得到，最后根据三角形的外角的性质即可求解． 21.【答案】解：，是边上的高， ， ， 即的长为． 是直角三角形，，，， 又是的中线， ， ，即， ， 的面积是． 为边上的中线， ， 的周长的周长， 即与的周长的差是．  【解析】本题主要考查了三角形的三线，三角形的面积，解答此题的关键是弄清三线的定义． 根据同一个三角形的面积相等可得，代入已知数据可求的长； 先求出的面积，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得的面积； 由中线得到，然后将两个三角形的周长相减可得周长差就是线段与的差． 22.【答案】解：已知，是内角平分线， ， ， ， ． 又， ，是，的外角平分线， ， ； 不变，． ，， ，是内角平分线， ， ，是，的外角平分线， ， ，， 在四边形中，， ． 【解析】 本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等，熟练进行角度的和差计算是解题的关键此类题解答的关键是利用角平分线的定义．重点是运用内角和定理求出，． 已知，是内角平分线，为，可利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，即可． 本题考查的是三角形内角和定理．因为，是内角平分线，，是，的外角平分线，又因为，，即可求出的值不变． 23.【答案】；是； 证明：，， ， ， ， 是“完美三角形”； ，， ，   ，  ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“完美三角形”， ，或， ， 或．  【解析】 本题考查的是三角形内角和定理、“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； 根据“完美三角形”的概念证明即可； 根据同角的补角相等得到，根据平行线的性质得到，推出 ，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【解答】 解：， ， ， ， 为“完美三角形”， 故答案为；是； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $