5.5三角恒等变换11题型分类讲义-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学三角恒等变换核心知识点，系统梳理两角和差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式，延伸至半角、积化和差、和差化积、辅助角公式，构建从基础公式到综合应用的学习支架。 资料以11类题型分类为特色，通过顺用、逆用、变用公式的例题设计，培养学生数学思维中的推理能力与数学语言表达能力，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升知识应用意识。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.5三角恒等变换11题型分类 一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的余弦 公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β∈R 两角和的余弦 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R 两角和的正弦 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ α，β∈R 两角差的正弦 公式 S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ α，β∈R 两角和的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tanαtanβ≠1 两角差的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanαtanβ≠－1 二、两角和与差的余弦公式的灵活运用 要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)公式． (1)顺用公式，如： cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)； cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ； cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. (2)逆用公式，如： cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α. (3)变用公式，如： cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ； cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ. 三、两角和与差的正切公式的灵活运用 (1)正切公式的逆用 ＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ； ＝＝tan. (2)正切公式的变形应用 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)； 1－tanαtanβ＝； 1＋tanαtanβ＝. 四、二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sinαcosα C2α cos2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ 五、二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α，cosα＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2. 六、“二倍”的含义 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 七、万能公式 用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. （一） 直接利用公式求值 (1)在利用两角差的三角公式求非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接化简求值．逆用公式时充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式． (2)两角差的余弦公式常见题型及解法: ①两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解; ②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解; ③含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)特殊角:0°,30,45° ,60°... (4)公式的运用有三种: ①正用;②逆用;③变形用，都要熟练. 题型1：直接利用公式求值 1．（2026高一·四川南充·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：将分解为，使用正弦的和角公式即可解决本题； 方法2：将分解为，使用诱导公式和“特殊角”的余弦值即可解决本题； 本题分解方式较多，例如还可以是等，解法类似，不再赘述. 【详解】方法1： . 方法2： . 2．（2026高一·广东广州·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为. 故选：C 3．（2026高一·全国·课堂例题）化简求值． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）原式 ． 4．（2026高一·全国·课堂例题）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】 . 故选：D. 5．（2026高一·全国·课堂例题）求值______． 【答案】 【详解】． 6．（2026高二·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【详解】. 所以. 故选：D. 7．（2026高一·江苏南京·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：B. （二） 给值求值 1、由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 2、已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系．　 题型2：给值求值 8．（2026高三·重庆九龙坡·开学考试）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，利用两角和的正弦公式求和. 【详解】因为，，所以 . 故选：D 9．（2026高三·江苏·学业考试）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 10．（2026高一·重庆·期末）已知是第三象限角且，，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正切公式结合同角的三角函数关系以及商数关系求解即可. 【详解】由于是第三象限角且，则, 所以, 由于，则, 所以 故选：A 11．（2026高一·江西赣州·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，由，，求出和，再由两角和的余弦公式得出结果 【详解】由题意知，，因为，所以， 因为，所以，则 故选：D （三） 给值求角 给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 题型3：给值求角 12．（2026高一·江西赣州·期中）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值. 【详解】（1）且，. 且， 因此，； （2）由（1）知，，，， ， 、，， 因此，. 13．（2026高一·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 14．（2026高一·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为_____. 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： （四） 二倍角公式的给值求值 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 题型4：利用二倍角公式给值求值 15．（2026高一·广东潮州·阶段检测）已知角为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由同角的平方关系可得，再由正弦的二倍角公式可得，即可得到结果. 【详解】因为角为第二象限角且， 所以， . 故选：B 16．（2026高二·贵州遵义·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和差的正切公式可得，利用两角和差公式以及倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为， 所以 . 17．（2026高一·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式及诱导公式求解即可. 【详解】由题意得 . 18．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两角差的余弦公式及条件可得，进而可得两角和的余弦值，再结合二倍角公式可得. 【详解】因为，，所以. 所以， 所以. 因此. （五） 二倍角公式的给角求值 1、直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． 2、若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 题型5：利用二倍角公式给角求值 19．（2026高三·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 . 20．（2026高三·全国·一轮复习）（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值 【详解】 . 故选：A. 21．（2026高三·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【分析】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和差公式变形化简即可. 【详解】由 故选：B 22．（2026·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. （六） 利用二倍角公式给值求角 1、利用二倍角公式给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 2、在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步． 题型6：二倍角公式给值求角的应用 23．（2026高一·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 24．（2026高一·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 25．（2026高一·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 26．（2026高三·宁夏银川·阶段检测）已知，，，，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案. 【详解】，，，故，故； ，，，， 故，； ，，故. 故选：C 27．（2026高三·山东青岛·期中）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解. 【详解】因为，则，因为，则，可得， 因为，则，， 所以，，， 所以， ， 所以，. 故选：A. 28．（2026高一·江苏苏州·期中）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可 【详解】因为，所以，且，所以，则 故选：A． （七） 简单的三角恒等变换 一、半角公式（只要求推导，不要求记忆） ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 二、积化和差与和差化积公式 1、积化和差 2、和差化积 三、辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 四、万能公式 ； ； 五、三角函数化简“三看”原则 六、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 题型7：半角公式与万能公式的应用 29．（2026·陕西·模拟预测）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角函数值及角的范围可得角及所在象限，再由同角三角函数关系式及半角三角函数关系式可得. 【详解】已知，且，因此是第四象限角，即， 得，该区间是第二象限，因此. 由同角三角函数基本关系​，代入， 所以， 结合是第四象限角，，得. 由半角公式，代入​得， 结合，，因此. 30．（2026·浙江金华·模拟预测）已知，则（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【详解】，所以， ， 当时，， 当时，， 所以或. 31．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 32．（2026高一·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 33．（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 34．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 35．（2026高一·甘肃张掖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得，结合二倍角正切公式及万能公式求函数值. 【详解】由，则，故， 由. 36．（2026高三·安徽·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 题型8：积化和差与和差化积的应用 37．（2026高二·安徽·竞赛）已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简原式，根据是方程的解，得到两个关于的三角等式，进而利用和差化积公式对、变形求出的值，再利用正切的二倍角公式计算. 【详解】因为是的两个解， 所以：， 两式相等移项得：. 因为， 所以代入等式得： ， 因为，所以， 所以, 令，可得. 38．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合三角形的性质可判断A；结合和差化积公式判断BCD. 【详解】在锐角中，，则， 即，. 对于A，由，根据正弦定理可得，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C， ， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故C错误； 对于D，， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故D错误. 39．（2026高一·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【详解】. 故选：B. 40．（2026高三·黑龙江佳木斯·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 41．（2026高一·全国·专题练习）函数的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用积化和差公式化简函数解析式，再根据余弦函数的性质求函数的最小值. 【详解】因为 . 故选：B 42．（2026高二·云南昆明·期末）函数在内的零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数为，得到或，结合正弦、余弦函数的性质，求得相应的的值，即可求解. 【详解】由函数，其中 令，即，所以或， 当时，可得或或， 当时，可得或或或， 所以的零点之和为. 故选：C. 题型9：辅助角公式及其应用 43．（2026高一·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得： ， 因为为偶函数， 所以， 解得：， 当时，可得. 44．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当，即时，函数取得最大值. 45．（2026高一·广东揭阳·期末）已知函数，其中，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由辅助角公式将函数化简为，再由正弦函数的性质可得最小值. 【详解】因为函数， 其中. 由，令. 因为，所以，. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 因此函数在区间的左端点或右端点取得最小值. 当时，即，； 当时，即，. 因为，所以当时，函数有最小值. 46．（2026高一·广东茂名·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以最小正周期． 47．（2026高一·广西北海·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则当，即时，函数有最大值. 48．（2026·北京大兴·模拟预测）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【答案】 / 【分析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数的值域即可求出的最大值，此时得到的值，再根据同角三角函数的关系，及诱导公式求出取最大值时的值． 【详解】由，，， 又，所以函数的最大值是， 此时，则，， 即，， 所以取最大值时，． 题型10：三角恒等变换的化简问题 49．（2026高三·全国·二轮复习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和两边平方并分别相加和相减，利用三角函数公式化简可得结果. 【详解】由题意，，， 则， 化简可得，所以， 又， 则， ， 即， 所以， 所以， 由，可得. 故选：A. 50．（2026高三·广东深圳·阶段检测）若为锐角，，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和差公式以及倍角公式可得，代入结合倍角公式运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，即， 且为锐角，则，则， 可得，即. 51．（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 即，得， 则. 因为， 所以，. 52．（2026高一·湖北·期中）函数，若在区间上单调递减，则实数m的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； ，； 在区间上单调递减，，解得， 实数的最小值为. 题型11：三角形中的三角恒等变换 53．（2026高二·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 54．（2026高二·湖南长沙·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，， 由得， 所以或（舍去） 所以，即， 由于，所以, 则， 所以一定成立的是：，； 故选：A 1．（2026高一·四川眉山·期末）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 2．（2026高一·江西九江·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用二倍角公式，弦化切计算. 【详解】 3．（2026高一·江苏镇江·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， . 4．（2026高一·江苏扬州·期末）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 已知，则， 在上单调递减，故， 即， ． 5．（2026高三·河北廊坊·期中）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换可得答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，则． 故选：B. 6．【多选】（2026高一·广东河源·期末）下列关系式与化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由三角函数诱导公式结合三角函数恒等变换依次验证选项即可. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 7．【多选】（2026高一·河北·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】首先确定范围，然后利用正弦的差角公式和余弦的半角公式进行求解. 【详解】因为，则，所以，， ，利用正弦的差角公式展开得：， 即：，所以， 又因为，所以联立解得：，或，， 当，时，， 当，时，， 所以. 8．（2026高一·陕西商洛·期中）=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及两角差的正弦公式即可求得答案. 【详解】 ， 故选：A 9．（2026高二·北京西城·开学考试）在中，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据条件，利用降幂升角公式及余弦的和差角公式，得到，即可求出结果. 【详解】因为，整理得到， 即， 又，得到，所以，即， 故选：A. 10．（2026高一·全国·课后作业）函数的最小正周期是（    ） A．π B． C．2π D． 【答案】A 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得到，从而利用最小正周期的公式进行求解 【详解】由， 故函数的最小正周期为. 故选：A 11．（2026高一·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据求出，注意求得的范围，再根据结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】角，由得， 则，又因为在上单调递增，则， 而， 同理有， 所以， 且，得. 故选：A. 12．【多选】（2026高一·四川遂宁·阶段检测）下列三角式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二倍角公式可判断ABD选项；计算出的值，可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A满足条件； 对于B选项，，B满足条件； 对于C选项，，C不满足条件； 对于D选项，，D满足条件. 故选：ABD. 13．【多选】（2026高一·安徽亳州·期中） 化简的结果可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用辅助角公式、诱导公式化简即可得答案. 【详解】. 故选：BD 14．【多选】（2026高一·内蒙古呼和浩特·期中）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用三角函数的和角公式判断AB，逆用三角函数的和角公式判断CD，从而得解. 【详解】对于A， ，故A正确. 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 15．（2026高三·广东湛江·阶段检测）已知角的终边与单位圆交于点，则___________ 【答案】/ 【分析】根据任意角的三角函数的定义结合正弦二倍角公式可求得结果 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 故答案为： 16．（2026高二·北京·期中）已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 【答案】 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性与最值特征，根据给定区间的最大值条件求解参数。 【详解】因为， 所以， 当时，， 若在区间上的最大值为， 则，， 则，即得. 17．（2026·江西·模拟预测）已知，且，则______，______． 【答案】 / 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以. ． 因为， 所以 ． 18．（2026高一·全国·专题练习）已知点是角的终边上一点，则______. 【答案】 【详解】由三角函数的定义可得，， 所以. 19．（2026高一·上海闵行·期中）已知，则__________. 【答案】 【详解】可知即，移项得， 利用辅助角公式可得，所以，又因为， 所以，得即，则. 20．（2026高二·天津南开·学业考试）已知，． (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知条件求出的值，再利用二倍角公式计算. （2）利用两角差的余弦公式进行计算. 【详解】（1）因为，， 所以． 所以． （2） . 21．（2026高一·山东德州·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和增区间； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，增区间为； (2) 【详解】（1）， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以的增区间为； （2）当时，，则，故， 令，得，即实数的取值范围是. 22．（2026高一·辽宁大连·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间： (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，， (2). 【分析】（1）利用三角变换公式化简，再根据周期公式可求周期，再结合整体法可求函数的单调增区间. （2）利用整体法可求函数的值域. 【详解】（1）. 所以. 令，，得，， 单调增区间为，, （2），则，， ，所以的值域为. 23．（2026高一·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据三角函数的性质即可求解最值； （3）由已知得出，结合及同角三角函数的平方关系得出，由两角和的正弦公式即可求解． 【详解】（1）， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.5三角恒等变换11题型分类 一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的余弦 公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β∈R 两角和的余弦 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R 两角和的正弦 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ α，β∈R 两角差的正弦 公式 S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ α，β∈R 两角和的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tanαtanβ≠1 两角差的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanαtanβ≠－1 二、两角和与差的余弦公式的灵活运用 要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)公式． (1)顺用公式，如： cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)； cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ； cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. (2)逆用公式，如： cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α. (3)变用公式，如： cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ； cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ. 三、两角和与差的正切公式的灵活运用 (1)正切公式的逆用 ＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ； ＝＝tan. (2)正切公式的变形应用 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)； 1－tanαtanβ＝； 1＋tanαtanβ＝. 四、二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sinαcosα C2α cos2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ 五、二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α，cosα＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2. 六、“二倍”的含义 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 七、万能公式 用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. （一） 直接利用公式求值 (1)在利用两角差的三角公式求非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接化简求值．逆用公式时充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式． (2)两角差的余弦公式常见题型及解法: ①两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解; ②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解; ③含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)特殊角:0°,30,45° ,60°... (4)公式的运用有三种: ①正用;②逆用;③变形用，都要熟练. 题型1：直接利用公式求值 1．（2026高一·四川南充·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·广东广州·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·课堂例题）化简求值． (1)； (2)； 4．（2026高一·全国·课堂例题）（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·课堂例题）求值______． 6．（2026高二·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·江苏南京·期中）（    ） A． B． C． D． （二） 给值求值 1、由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 2、已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系．　 题型2：给值求值 8．（2026高三·重庆九龙坡·开学考试）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026高三·江苏·学业考试）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高一·重庆·期末）已知是第三象限角且，，则值为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一·江西赣州·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． （三） 给值求角 给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 题型3：给值求角 12．（2026高一·江西赣州·期中）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 13．（2026高一·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 14．（2026高一·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为_____. （四） 二倍角公式的给值求值 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 题型4：利用二倍角公式给值求值 15．（2026高一·广东潮州·阶段检测）已知角为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·贵州遵义·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．已知，，则（    ） A． B． C． D． （五） 二倍角公式的给角求值 1、直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． 2、若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 题型5：利用二倍角公式给角求值 19．（2026高三·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 20．（2026高三·全国·一轮复习）（   ） A． B． C． D．2 21．（2026高三·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 22．（2026·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． （六） 利用二倍角公式给值求角 1、利用二倍角公式给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 2、在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步． 题型6：二倍角公式给值求角的应用 23．（2026高一·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 24．（2026高一·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（2026高三·宁夏银川·阶段检测）已知，，，，则（    ） A．或 B． C． D． 27．（2026高三·山东青岛·期中）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（2026高一·江苏苏州·期中）设，且，则（    ） A． B． C． D． （七） 简单的三角恒等变换 一、半角公式（只要求推导，不要求记忆） ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 二、积化和差与和差化积公式 1、积化和差 2、和差化积 三、辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 四、万能公式 ； ； 五、三角函数化简“三看”原则 六、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 题型7：半角公式与万能公式的应用 29．（2026·陕西·模拟预测）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 30．（2026·浙江金华·模拟预测）已知，则（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 31．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 32．（2026高一·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 33．（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 34．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 35．（2026高一·甘肃张掖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 36．（2026高三·安徽·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型8：积化和差与和差化积的应用 37．（2026高二·安徽·竞赛）已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 38．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（2026高一·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 40．（2026高三·黑龙江佳木斯·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 41．（2026高一·全国·专题练习）函数的最小值是（    ）． A． B． C． D． 42．（2026高二·云南昆明·期末）函数在内的零点之和为（    ） A． B． C． D． 题型9：辅助角公式及其应用 43．（2026高一·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 44．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 45．（2026高一·广东揭阳·期末）已知函数，其中，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 46．（2026高一·广东茂名·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 47．（2026高一·广西北海·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 48．（2026·北京大兴·模拟预测）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 题型10：三角恒等变换的化简问题 49．（2026高三·全国·二轮复习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 50．（2026高三·广东深圳·阶段检测）若为锐角，，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 51．（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 52．（2026高一·湖北·期中）函数，若在区间上单调递减，则实数m的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型11：三角形中的三角恒等变换 53．（2026高二·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 54．（2026高二·湖南长沙·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（2026高一·四川眉山·期末）（     ） A． B． C． D． 2．（2026高一·江西九江·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026高一·江苏镇江·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·江苏扬州·期末）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·河北廊坊·期中）设，且，则（    ） A． B． C． D． 6．【多选】（2026高一·广东河源·期末）下列关系式与化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．【多选】（2026高一·河北·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026高一·陕西商洛·期中）=（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·北京西城·开学考试）在中，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 10．（2026高一·全国·课后作业）函数的最小正周期是（    ） A．π B． C．2π D． 11．（2026高一·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高一·四川遂宁·阶段检测）下列三角式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 13．【多选】（2026高一·安徽亳州·期中） 化简的结果可以是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高一·内蒙古呼和浩特·期中）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026高三·广东湛江·阶段检测）已知角的终边与单位圆交于点，则___________ 16．（2026高二·北京·期中）已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 17．（2026·江西·模拟预测）已知，且，则______，______． 18．（2026高一·全国·专题练习）已知点是角的终边上一点，则______. 19．（2026高一·上海闵行·期中）已知，则__________. 20．（2026高二·天津南开·学业考试）已知，． (1)求的值； (2)求的值. 21．（2026高一·山东德州·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和增区间； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 22．（2026高一·辽宁大连·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间： (2)求函数在区间上的值域. 23．（2026高一·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $