10.1 电势能和电势 同步讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

本高中物理讲义聚焦电势能和电势核心知识点，系统梳理从点电荷与均匀带电球体（球壳）电场强度计算，到电场力做功特点、电势能概念及变化关系，再到电势定义、电荷性质与电势关系，直至单个或多个点电荷及等量同种（异种）电荷电势分布的递进脉络，搭建完整知识支架。 该资料以11类题型为框架，“解题知识”模块助力模型建构，如通过等量异种电荷等势面特点总结电势分布规律，典例与变式题结合提升科学推理能力，过关验收部分便于课后查漏补缺，课中辅助教师高效教学，体现科学思维与知识应用的深度融合。

第十章 第1节 电势能和电势 内 容 导 航 题型1 点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场 题型2 电场力做功的计算及其特点 题型3 电势能的概念和计算 题型4 电场力做功与电势能变化的关系 题型5 电势的定义、单位和物理意义及用定义式计算电势 题型6 电荷性质、电势能和电势的关系 题型7 通过电场线的方向判断电势的高低 题型8 带电体周围的电势分布 题型9 单个或多个点电荷周围的电势分布 题型10 等量同种电荷的电势分布 题型11 等量异种电荷的电势分布 考 点 演 练 题型1 点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场 解｜题｜知｜识 1.点电荷是最简单的场源电荷，一个电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处的电场强度为E 2.推导如下：如果以Q为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。Q为场源电荷电量。 3．方向：若Q是正电荷，Q和该点的连线指向该点；若Q是负电荷，Q和该点的连线指向Q。 4．使用范围：仅使用于真空中点电荷产生的电场。 5.点电荷电场的特点： 根据上式可知，如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。当Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外（图甲 ）﹔当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向内（图乙）。 即点电荷的电场是以电荷为球心向四周发散或由四周指向球心的。 6.带电球体（球壳）与点电荷等效：在一个比较大的带电体不能看作点电荷的情况下，当计算它的电场时，可以把它分成若干小块，只要每个小块足够小，就可以看成点电荷，然后用点电荷电场强度叠加的方法计算整个带电体的电场。可以证明，一个半径为R的均匀带电球体（或球壳）在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同（如下图），即 E 式中的r是球心到该点的距离（ r＞R ），Q为整个球体所带的电荷量。 【典例1】如图所示，一个均匀带电球体所带电荷量为Q，在球外A点放置一个电荷量为q的检验电荷，A点到球心O的距离为r。可以证明，检验电荷受到的带电球体对它的电场力大小为F，其中k为静电力常量。根据电场强度的定义式，可以推知带电球体在A点的电场强度大小E为（　　） A． B． C． D． 题型2 电场力做功的计算及其特点 解｜题｜知｜识 1.静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。 2.静电力做功的公式：W＝qEl，其中l为电荷沿电场线移动的位移。 【典例1】一个带正电的质点，电荷量q＝2.0×10﹣9C，在静电场中由a点移到b点过程中，电场力做功2.0×10﹣5J，则a、b两点间电势差Uab为（　　） A．3.0×104V B．1.0×104V C．4.0×104V D．7.0×104V 【变式1】一带电小球在空中从a点运动到b点的过程中，重力做功5J，静电力做功2J，克服阻力做功1J。由此可判断出（　　） A．重力势能增加5J B．电势能增加2J C．动能减少6J D．机械能增加1J 【变式2】如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则（　　） A．A点的电场强度大小为E+k B．D点的电场强度大小不可能为0 C．A、C两点的电势相同 D．将电子沿直线从D点移动到B点，电场力做正功 【变式3】实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如图中的虚线所示（a、b只受电场力作用），则（　　） A．电场力对a做正功，对b做负功 B．a一定带正电，b一定带负电 C．a的速度将减小，b的速度将增大 D．a的加速度将减小，b的加速度将增大 题型3 电势能的概念和计算 解｜题｜知｜识 1.定义：电荷在电场中具有的与位置有关的能量即在电场中具有的势能叫电势能，用Ep表示。 2.相对性 电荷在电场中具有的电势能与电势能零点的选取有关。电势能零点的选取是任意的，习惯上取无限远处或大地为电势能零点。无限远处作为电势能零点与大地作为电势能零点是相同的。 3.大小 电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能点时静电力所做的功。 4.零势能位置 电场中规定的电势能为0的位置，通常把电荷离场源电荷无穷远处或大地表面的电势能规定为0。 5.系统性 电势能是相互作用的电荷所共有的，或者说是电荷及对它作用的电场所共有的。 6.标矢性 标量，但有正负。其正负表示大小，正值表示比电荷放在电势能零点时多多少，负值表示比放在电势能零点时少多少。 【典例1】图中实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面。A、B两点处电场强度大小分别为EA、EB，电势分别为φA、φB。下列说法正确的是（　　） A．该电场可能是正点电荷产生的 B．同一点电荷放在A点受到的静电力比放在B点时受到的静电力大 C．一点电荷在A点的电势能小于B点 D．正电荷在A点由静止释放，将始终沿A点所在的那条电场线运动 题型4 电场力做功与电势能变化的关系 解｜题｜知｜识 1．静电力做功的特点：静电力做功与路径无关，或者说：电荷在电场中沿一闭合路径移动，静电力做功为零。 2．电势能概念：电荷在电场中具有势能，叫电势能。电荷在某点的电势能，等于把电荷从该点移动到零势能位置时，静电力做的功，用EP表示。 3．静电力做功与电势能变化的关系： ①静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。 ②关系式：WAB＝EPA﹣EPB。 4．单位：J（宏观能量）和eV（微观能量），它们间的换算关系为：1eV＝1.6×10﹣19J。 （5）特点： ①系统性：由电荷和所在电场共有； ②相对性：与所选取的零点位置有关，通常取大地或无穷远处为电势能的零点位置； ③标量性：只有大小，没有方向，其正负的物理含义是：若EP＞0，则电势能比在参考位置时大，若EP＜0，则电势能比在参考位置时小。 理解与注意：学习电势能时，可以通过与重力势能类比来理解相关概念，上面列举的各项概念几乎是所有势能都有的，只是具体环境不同而已。 【典例1】如图所示，虚线为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面2的电势为零。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为30eV和6eV。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为﹣5eV时，它的动能应为（　　） A．27eV B．17eV C．16eV D．﹣8eV 【变式1】如图甲所示，A、B是某电场中一条电场线上的两点，一个负电荷从A点由静止释放，仅在静电力的作用下从A点运动到B点，其运动的v﹣t图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该电场线的方向是由A指向B B．该电场可能是负点电荷形成的电场 C．A点的电场强度比B点的电场强度小 D．电荷在A点电势能小于在B点电势能 【变式2】如图所示，空间立方体的棱长为a，O、P分别为立方体上下表面的中心，在两条竖直边MN和FG的中点处分别固定甲和乙两个带电荷量均为q的负点电荷，上下表面中心连线OP所在直线上O点的上方有一点S（图中未画出），S到O点的距离为r，电子的电荷量为e，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．重力不计、比荷为的电荷沿OP所在直线运动时，在O和P点的加速度最大，最大值为 B．在S点固定一个电荷量为4q的负电荷，当时，O点的电场强度恰好等于零 C．在S点固定一个电荷量为4q的负电荷，无论r为何值，比荷为的电荷在M点的电势能总大于在F点的电势能 D．在立方体所在空间加一方向竖直向上、电场强度为E的匀强电场，将一电子由M移动到G时，电子的电势能减少了 【变式3】电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色，透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图所示某一像素胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒，当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移（每个微粒电量保持不变），像素由黑色变成白色。下列说法正确的是（　　） A．像素由黑变白的过程中，电场力对黑色微粒做正功，对白色微粒做负功 B．像素由黑变白的过程中，黑色微粒向下迁移过程中电势能增大 C．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势 D．无论人眼看见的透明面板是白色还是黑色，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势 题型5 电势的定义、单位和物理意义及用定义式计算电势 解｜题｜知｜识 1.定义：电荷在某一点的电势能与它的电荷量之比。 2.公式：φ 3.单位：伏特，简称伏，符号为V，1V＝1J/C。 4.物理意义：描述电场的能的性质物理量。 5.特点： （1）电势是电场自身的性质，与试探电荷本身无关。 （2）相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势点的位置有关，一般情况下取离场源电荷无限远处或大地的电势为0. （3）标矢性：标量，有正负，正负表示大小。 6.拓展： （1）对于点电荷或均匀带电球体（球壳），周围的电势满足φ＝k （2）因为电势是标量，正负代表大小，同样以无限远处为零电势点的情况下，正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负，且越靠近正电荷，电势越正（大），越靠近负电荷，电势越负（小）。 【典例1】a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20V，b点的电势为24V，d点的电势为8V，如图，由此可知c点的电势为（　　） A．4V B．8V C．12V D．24V 【变式1】如图所示，将带负电的试探电荷沿着等量异种点电荷连线的中垂线从A点移动到B点，再沿连线从B点移动到C点。在此过程中，有关试探电荷的说法正确的是（　　） A．从A点到B点，电场力对电荷做正功 B．从A点到B点再到C点，电场力先变大再变小 C．从A点到B点再到C点，电势一直在减小 D．从B点到C点，电荷的电势能增加 【变式2】如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EPM、EPN．下列判断正确的是（　　） A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN C．φM＜φN，EPM＜EPN D．aM＜aN，EPM＜EPN 【变式3】（多选）关于电场，下列说法中正确的是（　　） A．某点的场强为零，检验电荷在该点的电势一定为零 B．电场中某点的电势高，检验电荷在该点的电势能一定大 C．电场力对点电荷做负功，该点电荷的电势能一定增加 D．静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面 题型6 电荷性质、电势能和电势的关系 解｜题｜知｜识 电势的定义式为：φ 计算时要代入正负号，这就意味： （1）正电荷在电势为正的地方电势能为正，在电势为负的地方电势能为负； （2）负电荷在电势为正的地方电势能为负，在电势为负的地方电势能为正。 （3）如果知道电势正负、电荷性质、电势能正负三者之二，就能判断第三者的性质。 【典例1】如图，在点电荷的电场中，ab所在的电场线竖直向下，在a点由静止释放一个质量为m，电荷量大小为q的带电小球，小球到达b点时速度恰好为零，a、b间的高度差为h，则说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．a、b两点间的电势差Uab C．b点小球所受重力与静电力平衡 D．a点场强大于b点场强 【变式1】如图所示为某种空气净化器的简化示意图，带负电的金属棒和带正电的格栅板形成图示的电场，实线为电场线，虚线表示等势面，M点和P点在同一电场线上。脏空气中的微粒带电后，运动到格栅板被吸收，从而达到清洁空气的目的，不考虑微粒的重力以及空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A．M点的电场强度比P点的大 B．M点的电势比P点的高 C．脏空气中的带电微粒在M点的电势能比在P点的小 D．脏空气中的带电微粒带正电 题型7 通过电场线的方向判断电势的高低 解｜题｜知｜识 1.结论：沿电场线方向，电势降低。 2.推导：如下图，一个带电荷量为q的正电荷仅在电场力的作用下由A点运动到B点。设A、B两点的电势分别为φA、φB 从A到B，根据电场力做功与电势能变化的关系 WAB＝EPA﹣EPB 又根据电场力做正功，且EP＝qφ，所以有 WAB＝qφA﹣qφB＝q（φA﹣φB）＞0 所以φA＞φB，即沿电场线方向，电势降低。可以证明在这一结论在任何电场中都适用。 【典例1】某区域的电场线分布如图所示，电场中a、b两点的电场强度大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb。下列说法正确的是（　　） A．Ea＞Eb，φa＞φb B．Ea＞Eb，φa＜φb C．Ea＜Eb，φa＞φb D．Ea＜Eb，φa＜φb 【变式1】《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，a、b为电场线上的两点，则（　　） A．a点的电势比b点的低 B．b点的场强一定比a点的大 C．电子在a点的电势能比在b点的小 D．电子在b点受到的电场力一定比a点的大 【变式2】下列有关电场说法正确的是（　　） A．根据E可知，电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比 B．由Uab＝Ed可知，匀强电场中的任意两点a、b的距离越大，则两点间的电势差也一定越大 C．电场中电势为零的点，电场强度也一定为零 D．电场中电场强度越大的位置，沿电场线方向电势降落越快 题型8 带电体周围的电势分布 解｜题｜知｜识 本考点旨在针对一般带电体周围的电势分布问题。 【典例1】如图所示，用绝缘柱支撑的不带电枕形导体A和B彼此接触。现把带正电的带电体C靠近导体A，下列说法正确的是（　　） A．导体A的电势等于导体B的电势 B．导体A内部的电场强度大于导体B内部的电场强度 C．导体A带负电，导体B带正电，且导体A的电荷量大于导体B的电荷量 D．手持绝缘柱把导体A和B分开，然后移走C，则导体A和B下部的金属箔会闭合 【变式1】如图所示，电量为Q正电荷均匀地分布在半径为r的圆环上M为圆环平面内点，过圆心O点的x轴垂直于环面，N为x轴上一点，ON＝h。则（　　） A．M、O两点场强都为零 B．O、N两点中O点电势低 C．N点场强大小为 D．圆环平面上，过M点以O点为圆心的圆是一条等势线 【变式2】如图所示，电荷量为q的正点电荷与竖直放置的均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心，垂线上的A、B两点到薄板的距离均为d。已知A点的电场强度为0，下列说法正确的是（　　） A．薄板带正电 B．B点电势高于A点电势 C．B点电场强度的方向向右 D．B点电场强度的大小为 题型9 单个或多个点电荷周围的电势分布 解｜题｜知｜识 本考点旨在针对单个或多个（两个不等量及两个以上）点电荷叠加情况下的电势分布问题。 【典例1】如图，M、N和P是以O为圆心、MN为直径的半圆弧上的三点，∠MOP＝60°，电荷量相同的两个正点电荷分别固定在N、P处。以无穷远处的电势为零，已知N处的电荷在O点的电势为φ、电场强度大小为E，则O点的电势和电场强度大小分别为（　　） A．φ和E B．φ和2E C．2φ和E D．2φ和 【变式1】如图为某电场中的三条电场线，A、B、C是其中一条电场线上的三个点。已知AB＝BC＝1cm。A、C两点的电势分别为φA＝20V，φC＝10V，下列说法正确的是（　　） A．φB＞15V B．UAB＝UBC C．A点的电场强度大小为10N/C D．B点的电场强度方向由B指向C 【变式2】如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为+q的点电荷固定在A点，则下列说法正确的有（　　） A．B、C两点电场强度相同 B．B、C两点电势相等 C．正电荷在B点电势能比在C点时要大 D．负电荷在B点电势能比在C点时要小 【变式3】（多选）如图所示，带电量为﹣Q（Q＞0）的小球甲固定在绝缘天花板的P点，带电小球乙获得一个初速度，绕P点正下方的O点在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，甲、乙两者的连线与竖直方向的夹角为37°，两小球均视为点电荷，重力加速度为g，静电力常量为k，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．乙带正电 B．乙的加速度大小为 C．乙的比荷为 D．若乙的电荷量为q，则动能为 题型10 等量同种电荷的电势分布 解｜题｜知｜识 对于两个等量同种电荷，其电势分布情况如下（以两个等量正电荷为例）： 1.等势面的特点：关于中垂面对称的闭合曲面，也关于两源电荷连线对称。 2.两电荷连线的中垂线上的电势分布如下图 （1）中垂面不是等势面，面上从O点向外电势逐渐降低，距O点距离相等的点电势相等 （2）在中垂面上，从中点O向外，等差等势线是以O点为圆心的同心圆 （3）O点是中垂面上电势最高的点 3.两电荷连线上的电势分布如下图 （1）各点电势均大于0，越靠近源电荷电势越高 （2）关于中点对称的点电势相等，关于某一源电荷对称的点，内侧电势高于外侧电势 （3）越靠近源电荷等差等势面越密集 4.总结 （1）中点是连线上电势最低点但φ≠0，是中垂面上电势最高点 （2）关于中点、连线或中垂面对称的点电势均相等 【典例1】如图甲中O是等量同种电荷，两点电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对于O点对称的两个点，B、C和A、D也相对于O点对称。则下列说法正确的是（　　） A．φA＞φO＞φB B．φC＝φO＝φD C．A、B两点电场强度不同 D．C、D两点电场强度相同 题型11 等量异种电荷的电势分布 解｜题｜知｜识 等量异种电荷的电势分布如下图（用等势面表示）： 1.等势面的特点： （1）关于中垂面对称的闭合曲面，也关于两源电荷连线对称。 （2）中垂面是电势为0的等势面，正电荷一侧各点电势大于0，负电荷一侧各点电势小于0。 2.两电荷连线上各点的电势情况如下： （1）连线上从正电荷到负电荷电势一直降低 （2）关于中点对称的点，电势互为相反数 （3）离正电荷越近电势越高，离负电荷越近电势越低 （4）越靠近源电荷时等差等势面越密集 3.总结： （1）中点电势为0，是左右两侧电势的正负分界点 （2）关于连线对称的点电势相等，关于中点、中垂面对称的点电势互为相反数（可同为0） 【典例1】下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相同的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，真空中固定着两个等量异号点电荷+Q、﹣Q，图中O点是两电荷连线的中点，a、b两点与+Q的距离相等，c、d是两电荷连线垂直平分线上关于O点对称的两点，bcd构成一个等腰三角形。则下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度相同 B．c、d两点的电势相同 C．将电子由b移到c的过程中电场力做正功 D．质子在b点的电势能比在O点的电势能小 【变式2】如图所示，AB、CD、EF都为半径为R的空间球面的直径，其中AB与EF同在水平面内，EF与AB的夹角θ＝45°，CD与水平面垂直，现在A、B两点分别固定等量异种点电荷，则（　　） A．将带负电的试探电荷从E点沿直线移到F点，电势能增加 B．E、F两点电场强度不同 C．C点和O点场强大小之比为 D．C、E、F三点中C点电势最高 过 关 验 收 1．电鳗瞬时放电时可产生高达800V的电压，电流通过水介质传导足以击晕大型猎物或敌人，如图甲。电鳗瞬时放电时周围的电场可简化为如图乙，P、Q两点间的电势差为500V，下列说法正确的是（　　） A．P点的电场强度小于Q点的电场强度 B．一电子从P点移到Q点，电场力做功﹣500eV C．一质子从P点由静止释放，质子将沿PQ间的电场线运动到Q点 D．一条小鱼分别靠近P、Q点，小鱼在Q点处体内形成的电流大 2．如图所示，Q1和Q2是两个等量异种点电荷，MN是两电荷的连线，HG是两电荷连线的中垂线，O是垂足。下列说法正确的是（　　） A．OM的中点与ON的中点电势一定相等 B．O点的电场强度为零 C．在MN连线上移动一个试探电荷，电场力不做功 D．在HG连线上移动一个试探电荷，电场力不做功 3．在点电荷+Q形成的电场中有一点A，当一个﹣q的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，电场力做的功为W，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点的电势分别为（　　） A．EPA＝﹣W，φA B．EPA＝W，φA C．EPA＝W，φA D．EPA＝﹣W，φA （多选）4．如图所示，一绝缘且光滑的竖直细杆处于两固定的等量异种点电荷+Q、﹣Q的连线的中垂线上，A、O、B为细杆上的三点，O为+Q、﹣Q连线的中点，AO＝BO＝h。现有电荷量为+q、质量为m的小球套在杆上，重力加速度为g，从A点静止释放，从A运动到B的过程中，则（　　） A．在A点时小球加速度大小等于g B．小球从A到B运动过程中先加速后减速 C．小球从A到B运动过程中电场力始终不做功 D．小球达到B点时速度大小为 （多选）5．如图，一均匀带正电圆环固定放置，O为圆心，OQ连线与圆环的中轴线重合。OQ连线上各处P点电场强度最大。一电子从O点以初动能5eV沿OQ方向飞出，到达Q处动能变为3eV。规定无限远处电势为零。下列说法正确的是（　　） A．O处电场强度为零，电势也为零 B．OQ连线上各处P点电势最高 C．电子从O到Q加速度先增大后减小 D．Q处电势比O处低2V （多选）6．下列各量中，与检验电荷有关的物理量是（　　） A．电场力F B．电场强度E C．电势差U D．电场力做的功W 7．静电场中的x轴上有A、B两点，一个带负电粒子在A点由静止释放，仅在电场力作用下沿直线运动到B点，粒子的加速度先减小后增大，粒子的动能先增大后减小，则A、B两点间电势φ随x的变化关系、电场强度E随x的变化关系可能正确的是（　　）（电场强度正方向沿x轴负方向） A． B． C． D． 8．如图，在直角△abc中bc＝4cm，∠acb＝30°，匀强电场的电场线平行于△abc所在平面，且a、b、c点的电势分别为3V、﹣1V、3V。下列说法中正确的是（　　） A．一个电子从c点移动到b点，电场力做功为4eV B．一个电子从a点移动到c点，电场力做功不可能为零 C．电场强度的方向沿ac方向 D．电场强度的大小为200V/m （多选）9．某一带正电粒子仅在电场力作用下从M点向N点运动的轨迹如图中的实线所示，图中的虚线a、b、c代表等差等势线。粒子经过M、N两点时的动能分别为EkM和EkN，粒子在M、N两点处的加速度大小分别为aM和aN，M、N两点处的电势分别为φM和φN，粒子在M、N两点处的电势能分别为EpM和EpN，下列判断正确的是（　　） A．aM＜aN B．EkM＜EkN C．EpM＞EpN D．φM＜φN 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 第1节 电势能和电势 内 容 导 航 题型1 点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场 题型2 电场力做功的计算及其特点 题型3 电势能的概念和计算 题型4 电场力做功与电势能变化的关系 题型5 电势的定义、单位和物理意义及用定义式计算电势 题型6 电荷性质、电势能和电势的关系 题型7 通过电场线的方向判断电势的高低 题型8 带电体周围的电势分布 题型9 单个或多个点电荷周围的电势分布 题型10 等量同种电荷的电势分布 题型11 等量异种电荷的电势分布 考 点 演 练 题型1 点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场 解｜题｜知｜识 1.点电荷是最简单的场源电荷，一个电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处的电场强度为E 2.推导如下：如果以Q为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。Q为场源电荷电量。 3．方向：若Q是正电荷，Q和该点的连线指向该点；若Q是负电荷，Q和该点的连线指向Q。 4．使用范围：仅使用于真空中点电荷产生的电场。 5.点电荷电场的特点： 根据上式可知，如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。当Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外（图甲 ）﹔当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向内（图乙）。 即点电荷的电场是以电荷为球心向四周发散或由四周指向球心的。 6.带电球体（球壳）与点电荷等效：在一个比较大的带电体不能看作点电荷的情况下，当计算它的电场时，可以把它分成若干小块，只要每个小块足够小，就可以看成点电荷，然后用点电荷电场强度叠加的方法计算整个带电体的电场。可以证明，一个半径为R的均匀带电球体（或球壳）在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同（如下图），即 E 式中的r是球心到该点的距离（ r＞R ），Q为整个球体所带的电荷量。 【典例1】如图所示，一个均匀带电球体所带电荷量为Q，在球外A点放置一个电荷量为q的检验电荷，A点到球心O的距离为r。可以证明，检验电荷受到的带电球体对它的电场力大小为F，其中k为静电力常量。根据电场强度的定义式，可以推知带电球体在A点的电场强度大小E为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由检验电荷受到的带电球体对它的电场力大小为F＝k 根据电场强度的定义可得：E 故A正确，BCD错误。 故选：A。 题型2 电场力做功的计算及其特点 解｜题｜知｜识 1.静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。 2.静电力做功的公式：W＝qEl，其中l为电荷沿电场线移动的位移。 【典例1】一个带正电的质点，电荷量q＝2.0×10﹣9C，在静电场中由a点移到b点过程中，电场力做功2.0×10﹣5J，则a、b两点间电势差Uab为（　　） A．3.0×104V B．1.0×104V C．4.0×104V D．7.0×104V 【答案】B 【解答】解：由电场力做功与电势差的关系可得：W＝qUab 代入数据可得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式1】一带电小球在空中从a点运动到b点的过程中，重力做功5J，静电力做功2J，克服阻力做功1J。由此可判断出（　　） A．重力势能增加5J B．电势能增加2J C．动能减少6J D．机械能增加1J 【答案】D 【解答】解：A、根据题意分析可知，重力做正功5J，重力势能减少5J，故A错误； B、根据题意分析可知，静电力做正功2J，电势能减少2J，故B错误； C、根据题意分析可知，已知重力做功5J、静电力做功2J、克服阻力做功1J，故合外力做功W合＝5J+2J+（﹣1J）＝6J 由动能定理W合＝ΔEk，动能增加6J，故C错误； D、根据题意分析可知，动能增加6J，重力势能减少5J，故机械能变化量ΔE机＝6J+（﹣5J）＝1J＞0，故机械能增加1J，故D正确。 故选：D。 【变式2】如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则（　　） A．A点的电场强度大小为E+k B．D点的电场强度大小不可能为0 C．A、C两点的电势相同 D．将电子沿直线从D点移动到B点，电场力做正功 【答案】C 【解答】解：A.根据场强叠加原理可知，A点的电场强度大小为，故A错误； B.O点正电荷在D点的场强方向水平向左，与匀强电场的场强方向相反，如果满足，则D点的电场强度大小为0，故B错误； C.O点正电荷产生的电场在A、C两点的电势相同，匀强电场在A、C两点的电势相同，则A、C两点的电势相同，故C正确； D.O点正电荷产生的电场在B、D两点的电势相同，所以将电子沿直线从D点移动到B点，只需要考虑匀强电场电场力做功，由于匀强电场对电子的电场力方向水平向左，所以电场力做负功，故D错误。 故选：C。 【变式3】实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如图中的虚线所示（a、b只受电场力作用），则（　　） A．电场力对a做正功，对b做负功 B．a一定带正电，b一定带负电 C．a的速度将减小，b的速度将增大 D．a的加速度将减小，b的加速度将增大 【答案】D 【解答】解：B.由轨迹弯曲方向可判断出电场力方向，由于不知道场强的方向，故不能确定电场力的方向与场强方向的关系，但两粒子的偏转方向相反，所以ab一定是异性电荷，但不能确定它们分别带什么电荷，故B错误； AC．由于出发后电场力始终对电荷做正功，两电荷的动能越来越大，故两个电荷的速度都将越来越大，故AC错误； D．电场线的疏密代表电场的强弱，由图可知越向左场强越小，故a出发后的一小段时间内其所处的位置的场强越来越小，而b出发后的一小段时间内其所处的位置场强越来越大，所以出发后的一小段时间内a受到的电场力变小，b受到的电场力变大，a的加速度将减小，b的加速度将增大，故D正确。 故选：D。 题型3 电势能的概念和计算 解｜题｜知｜识 1.定义：电荷在电场中具有的与位置有关的能量即在电场中具有的势能叫电势能，用Ep表示。 2.相对性 电荷在电场中具有的电势能与电势能零点的选取有关。电势能零点的选取是任意的，习惯上取无限远处或大地为电势能零点。无限远处作为电势能零点与大地作为电势能零点是相同的。 3.大小 电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能点时静电力所做的功。 4.零势能位置 电场中规定的电势能为0的位置，通常把电荷离场源电荷无穷远处或大地表面的电势能规定为0。 5.系统性 电势能是相互作用的电荷所共有的，或者说是电荷及对它作用的电场所共有的。 6.标矢性 标量，但有正负。其正负表示大小，正值表示比电荷放在电势能零点时多多少，负值表示比放在电势能零点时少多少。 【典例1】图中实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面。A、B两点处电场强度大小分别为EA、EB，电势分别为φA、φB。下列说法正确的是（　　） A．该电场可能是正点电荷产生的 B．同一点电荷放在A点受到的静电力比放在B点时受到的静电力大 C．一点电荷在A点的电势能小于B点 D．正电荷在A点由静止释放，将始终沿A点所在的那条电场线运动 【答案】B 【解答】解：A、电场线方向是从正电荷出发到无穷远处中止的，所以该电场不可能是正点电荷的电场，故A错误； B、根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小可知，EA＞EB，根据F＝qE可知，同一点电荷放在A点受到的静电力比放在B点时受到的静电力大，故B正确； C、对正电荷来说，电势越高，电势能越大；对负电荷来说，电势越低，电势能越大。沿电场线方向，电势逐渐降低，由此可知A点的电势低于B点的电势，但不知道该点电荷的电性，所以该电荷在A、B两点的电势能大小无法比较，故C错误； D、当电场线为直线，电荷仅受电场力作用，电荷的初速度为零或与电场线共线时，电荷的运动轨迹与电场线重合，但由图可知A点所在的那条电场线不是直线，所以正电荷从A点静止释放，不会始终在这条电场线上运动，故D错误。 故选：B。 题型4 电场力做功与电势能变化的关系 解｜题｜知｜识 1．静电力做功的特点：静电力做功与路径无关，或者说：电荷在电场中沿一闭合路径移动，静电力做功为零。 2．电势能概念：电荷在电场中具有势能，叫电势能。电荷在某点的电势能，等于把电荷从该点移动到零势能位置时，静电力做的功，用EP表示。 3．静电力做功与电势能变化的关系： ①静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。 ②关系式：WAB＝EPA﹣EPB。 4．单位：J（宏观能量）和eV（微观能量），它们间的换算关系为：1eV＝1.6×10﹣19J。 （5）特点： ①系统性：由电荷和所在电场共有； ②相对性：与所选取的零点位置有关，通常取大地或无穷远处为电势能的零点位置； ③标量性：只有大小，没有方向，其正负的物理含义是：若EP＞0，则电势能比在参考位置时大，若EP＜0，则电势能比在参考位置时小。 理解与注意：学习电势能时，可以通过与重力势能类比来理解相关概念，上面列举的各项概念几乎是所有势能都有的，只是具体环境不同而已。 【典例1】如图所示，虚线为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面2的电势为零。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为30eV和6eV。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为﹣5eV时，它的动能应为（　　） A．27eV B．17eV C．16eV D．﹣8eV 【答案】A 【解答】解：经过a、b点时的动能分别为30eV和6eV；图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，故电荷经过相邻两个等势面时的动能减小量为，故经过等势面2时的动能为22eV；只有电场力做功，电势能和动能之和守恒，故有0eV+22eV＝﹣5eV+Ek 代入数据得Ek＝27eV，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式1】如图甲所示，A、B是某电场中一条电场线上的两点，一个负电荷从A点由静止释放，仅在静电力的作用下从A点运动到B点，其运动的v﹣t图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该电场线的方向是由A指向B B．该电场可能是负点电荷形成的电场 C．A点的电场强度比B点的电场强度小 D．电荷在A点电势能小于在B点电势能 【答案】B 【解答】解：A.由题图乙可知，由于负电荷沿电场线运动过程中做加速运动，故点电荷所受电场力方向由A点指向B点，又由于负电荷所受电场力的方向与电场方向相反，所以电场线的方向由B点指向A点，故A错误； B.根据电场线的方向由B点指向A点，A点处的电场强度比B点处的电场强度大，可知该电场可能是由负点电荷产生的，故B正确； C.速度一时间图线的斜率表示物体的加速度，由题图乙可知点电荷从A点向B点运动的过程中加速度越来越小，故A点处的电场强度比B点处的电场强度大，故C错误； D.电场线的方向由B点指向A点，而沿电场线的方向电势降低，所以A点处的电势能比B点处的电势能高，故D错误。 故选：B。 【变式2】如图所示，空间立方体的棱长为a，O、P分别为立方体上下表面的中心，在两条竖直边MN和FG的中点处分别固定甲和乙两个带电荷量均为q的负点电荷，上下表面中心连线OP所在直线上O点的上方有一点S（图中未画出），S到O点的距离为r，电子的电荷量为e，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．重力不计、比荷为的电荷沿OP所在直线运动时，在O和P点的加速度最大，最大值为 B．在S点固定一个电荷量为4q的负电荷，当时，O点的电场强度恰好等于零 C．在S点固定一个电荷量为4q的负电荷，无论r为何值，比荷为的电荷在M点的电势能总大于在F点的电势能 D．在立方体所在空间加一方向竖直向上、电场强度为E的匀强电场，将一电子由M移动到G时，电子的电势能减少了 【答案】A 【解答】解：A．如图所示，连接甲、乙，设OP所在直线上某点Q（图中未画出）与甲、乙连线的夹角为θ，甲、乙两电荷间的距离为L，利用点电荷电场场强决定式和平行四边形定则可求出Q点电场强度大小的表达式为 令y＝sinθ﹣sin3θ，求导可知 y′＝cosθ﹣3sin2θcosθ＝0 解得当 时该点的场强最大，将代入以上关系式可求得最大值为 作图如图所示 Q点到甲、乙连线中点的距离为 可见Q点跟O点重合，可知在甲、乙等量同种电荷电场中O、P两点的场强最大，最大值为 则比荷为的电荷沿OP所在直线运动时，在O和P点的加速度最大，根据牛顿第二定律可知 Em＝mam 解得am，故A正确； B．在S点固定一个电荷量为4q的负电荷，O点的电场强度恰好等于零，有 解得 故B错误； C．在S点固定一个电荷量为4q的负电荷，根据电场的对称性特点可知，无论r为何值，M点和F点的电势总相等，所以比荷为的电荷在M点和F点的电势能总是相等的，故C错误； D．在立方体所在空间加一方向竖直向上、电场强度为E的匀强电场，将一电子由M移动到G，根据对称性可知，甲、乙电荷电场中M、G两点电势相等，则所加电场的电场力对电子做正功 W＝eEa 所以电子的电势能减少了eEa，故D错误。 故选：A。 【变式3】电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色，透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图所示某一像素胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒，当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移（每个微粒电量保持不变），像素由黑色变成白色。下列说法正确的是（　　） A．像素由黑变白的过程中，电场力对黑色微粒做正功，对白色微粒做负功 B．像素由黑变白的过程中，黑色微粒向下迁移过程中电势能增大 C．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势 D．无论人眼看见的透明面板是白色还是黑色，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势 【答案】D 【解答】解：AB、像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力向上，位移向上，由功的定义式可知，电场力对白色微粒做正功，黑色微粒受到的电场力向下，位移向下，由功的定义式可知，电场力对黑色微粒做正功，根据功能关系，可知黑色微粒向下迁移过程中电势能减小，故AB错误； CD、像素呈黑色时，胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，沿电场线方向电势降低，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，像素呈白色时，胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，沿电场线方向电势降低，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，即无论人眼看见的透明面板是白色还是黑色，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故C错误，D正确。 故选：D。 题型5 电势的定义、单位和物理意义及用定义式计算电势 解｜题｜知｜识 1.定义：电荷在某一点的电势能与它的电荷量之比。 2.公式：φ 3.单位：伏特，简称伏，符号为V，1V＝1J/C。 4.物理意义：描述电场的能的性质物理量。 5.特点： （1）电势是电场自身的性质，与试探电荷本身无关。 （2）相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势点的位置有关，一般情况下取离场源电荷无限远处或大地的电势为0. （3）标矢性：标量，有正负，正负表示大小。 6.拓展： （1）对于点电荷或均匀带电球体（球壳），周围的电势满足φ＝k （2）因为电势是标量，正负代表大小，同样以无限远处为零电势点的情况下，正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负，且越靠近正电荷，电势越正（大），越靠近负电荷，电势越负（小）。 【典例1】a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20V，b点的电势为24V，d点的电势为8V，如图，由此可知c点的电势为（　　） A．4V B．8V C．12V D．24V 【答案】C 【解答】解：根据题意，用直线段连接bd，将直线段等分四段，得出a的等势点为e，c的等势点为g，根据匀强电场中电势的规律作图如下 可知c点的电势为12V，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式1】如图所示，将带负电的试探电荷沿着等量异种点电荷连线的中垂线从A点移动到B点，再沿连线从B点移动到C点。在此过程中，有关试探电荷的说法正确的是（　　） A．从A点到B点，电场力对电荷做正功 B．从A点到B点再到C点，电场力先变大再变小 C．从A点到B点再到C点，电势一直在减小 D．从B点到C点，电荷的电势能增加 【答案】D 【解答】解：A．在等量异种点电荷连线的中垂线上，电场线垂直于中垂线，中垂线是一等势线，所以从A点到B点，电势差为零，由W＝qU可知电场力对电荷不做功，故A错误； B．根据等量异种点电荷的电场线分布可知，从A点到B点再到C点，电场线的分布逐渐变得密集，所以电场力一直变大，故B错误； C．由于中垂线是一等势线，从A点到B点，电势不变；从B点到C点，沿电场线方向电势降低，电势减小，故C错误； D．负电荷从B点到C点的过程中，电场力由C指向B，电场力与运动方向相反，由功的定义可知电场力做负功，所以电荷的电势能增加，故D正确。 故选：D。 【变式2】如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EPM、EPN．下列判断正确的是（　　） A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN C．φM＜φN，EPM＜EPN D．aM＜aN，EPM＜EPN 【答案】D 【解答】解：带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，根据带负电粒子受力情况可知，电场线方向斜向左上方，又沿着电场线方向，电势逐渐降低，故φM＞φN ①； 若粒子从M到N过程，电场力做负功，动能减小，电势能增加，故带电粒子通过M点时的速度比通过N点时的速度大，即vM＞vN ②， 在M点具有的电势能比在N点具有的电势能小，即EPM＜EPN ③； 根据电场线疏密可知，EM＜EN，根据F＝Eq和牛顿第二定律可知，aM＜aN ④； A、由②④可知，A错误； B、由①②可知，B错误； C、由①③可知，C错误； D、由③④可知，D正确； 故选：D。 【变式3】（多选）关于电场，下列说法中正确的是（　　） A．某点的场强为零，检验电荷在该点的电势一定为零 B．电场中某点的电势高，检验电荷在该点的电势能一定大 C．电场力对点电荷做负功，该点电荷的电势能一定增加 D．静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面 【答案】CD 【解答】解：A、电场强度与电势没有直接关系，某点的场强为零，检验电荷在该点的电势不一定为零，故A错误； B、根据电势能与电势的关系为Ep＝qφ，可知电势高的地方，放在该点的正电荷的电荷量越大，它所具有的电势能也越大，相反，放在该点的负电荷的电荷量越大，它所具有的电势能越小，故B错误； C、根据功能关系可知，电场力对点电荷做负功，该点电荷的电势能一定增加，故C正确； D、静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面，故D正确。 故选：CD。 题型6 电荷性质、电势能和电势的关系 解｜题｜知｜识 电势的定义式为：φ 计算时要代入正负号，这就意味： （1）正电荷在电势为正的地方电势能为正，在电势为负的地方电势能为负； （2）负电荷在电势为正的地方电势能为负，在电势为负的地方电势能为正。 （3）如果知道电势正负、电荷性质、电势能正负三者之二，就能判断第三者的性质。 【典例1】如图，在点电荷的电场中，ab所在的电场线竖直向下，在a点由静止释放一个质量为m，电荷量大小为q的带电小球，小球到达b点时速度恰好为零，a、b间的高度差为h，则说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．a、b两点间的电势差Uab C．b点小球所受重力与静电力平衡 D．a点场强大于b点场强 【答案】B 【解答】解：A、根据题意分析可知，在a点由静止释放小球，到达b点时速度恰好为零，可知小球所受电场力与重力方向相反，也与电场线方向相反，故小球带负电，故A错误； B、根据题意分析可知，由于小球在a点由静止，到达b点也静止，根据动能定理，有mgh﹣qUab＝0 解得，故B正确； C、根据题意分析可知，小球先向下加速后向下减速，在b点有向上的加速度，故C错误； D、根据题意分析可知，从a到b先加速后减速，因为重力不变，故电场力逐渐变大，即b点场强大于a点场强，故D错误。 故选：B。 【变式1】如图所示为某种空气净化器的简化示意图，带负电的金属棒和带正电的格栅板形成图示的电场，实线为电场线，虚线表示等势面，M点和P点在同一电场线上。脏空气中的微粒带电后，运动到格栅板被吸收，从而达到清洁空气的目的，不考虑微粒的重力以及空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A．M点的电场强度比P点的大 B．M点的电势比P点的高 C．脏空气中的带电微粒在M点的电势能比在P点的小 D．脏空气中的带电微粒带正电 【答案】A 【解答】解：A、M点的电场线较P点密集，根据电场线的疏密程度可知，M点电场强度较P点大，故A正确； B、沿电场线方向电势逐渐降低，故M点的电势比P点低，故B错误； D、格栅板为正极，脏空气中的带电微粒向正极聚集，可知带负电，故D错误； C、微粒带负电，从M点运动到P点，即由低电势运动到高电势，根据 Ep＝qφ 电势能减小，电场力做正功，动能增大，即带电微粒在M点的电势能比在P点的大，带电微粒在M点的动能比在P点的小，故C错误。 故选：A。 题型7 通过电场线的方向判断电势的高低 解｜题｜知｜识 1.结论：沿电场线方向，电势降低。 2.推导：如下图，一个带电荷量为q的正电荷仅在电场力的作用下由A点运动到B点。设A、B两点的电势分别为φA、φB 从A到B，根据电场力做功与电势能变化的关系 WAB＝EPA﹣EPB 又根据电场力做正功，且EP＝qφ，所以有 WAB＝qφA﹣qφB＝q（φA﹣φB）＞0 所以φA＞φB，即沿电场线方向，电势降低。可以证明在这一结论在任何电场中都适用。 【典例1】某区域的电场线分布如图所示，电场中a、b两点的电场强度大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb。下列说法正确的是（　　） A．Ea＞Eb，φa＞φb B．Ea＞Eb，φa＜φb C．Ea＜Eb，φa＞φb D．Ea＜Eb，φa＜φb 【答案】C 【解答】解：电场线越密，电场强度越大，b点电场线较密，则Ea＜Eb，又沿电场线电势降低，则φa＞φb，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式1】《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，a、b为电场线上的两点，则（　　） A．a点的电势比b点的低 B．b点的场强一定比a点的大 C．电子在a点的电势能比在b点的小 D．电子在b点受到的电场力一定比a点的大 【答案】A 【解答】解：A．沿着电场线的方向电势逐渐降低，则a点的电势比b点的低，故A正确； BD．一条电场线不能判断电场线疏密，故无法判断a、b点的电场强度大小，则无法判断电子在b点和a点的电场力大小，故BD错误； C．根据负电荷在电势低处电势能大，可知电子在a点的电势能比在b点的大，故C错误。 故选：A。 【变式2】下列有关电场说法正确的是（　　） A．根据E可知，电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比 B．由Uab＝Ed可知，匀强电场中的任意两点a、b的距离越大，则两点间的电势差也一定越大 C．电场中电势为零的点，电场强度也一定为零 D．电场中电场强度越大的位置，沿电场线方向电势降落越快 【答案】D 【解答】解：A.电场强度由电场本身决定，与试探电荷的受力及电荷量无关，故A错误； B.公式中d为沿电场方向的距离，若两点距离大但沿场方向距离小，电势差不一定大，故B错误； C.电势零点是人为选取的，电势为零的点电场强度可以不为零，故C错误； D.由U＝Ed可知，E越大，相同距离下电势差越大，电势降落越快，故D正确。 故选：D。 题型8 带电体周围的电势分布 解｜题｜知｜识 本考点旨在针对一般带电体周围的电势分布问题。 【典例1】如图所示，用绝缘柱支撑的不带电枕形导体A和B彼此接触。现把带正电的带电体C靠近导体A，下列说法正确的是（　　） A．导体A的电势等于导体B的电势 B．导体A内部的电场强度大于导体B内部的电场强度 C．导体A带负电，导体B带正电，且导体A的电荷量大于导体B的电荷量 D．手持绝缘柱把导体A和B分开，然后移走C，则导体A和B下部的金属箔会闭合 【答案】A 【解答】解：AB、导体发生静电感应且处于静电平衡的导体是等势体，故导体A和导体B的电势相等，且导体内部电场强度为零。故B错误，A正确。 CD、由于静电感应，导致导体A带负电、导体B带正电，电荷量相等，若手持绝缘柱把导体A和B分开，然后移走C，则导体A和B下部的金属箔都会张开，故CD错误。 故选：A。 【变式1】如图所示，电量为Q正电荷均匀地分布在半径为r的圆环上M为圆环平面内点，过圆心O点的x轴垂直于环面，N为x轴上一点，ON＝h。则（　　） A．M、O两点场强都为零 B．O、N两点中O点电势低 C．N点场强大小为 D．圆环平面上，过M点以O点为圆心的圆是一条等势线 【答案】D 【解答】解：A、对于圆心O：圆环上对称的电荷元在O点产生的电场强度大小相等、方向相反，根据电场强度叠加原理，合场强为0； 对于圆环平面内的点M（非圆心）：圆环上电荷元在M点产生的电场强度无法完全抵消，合场强不为0； 因此，M点场强不为0，O点场强为0，故A错误； B、正电荷的电场中，电势沿电场线方向降低。x轴上（从O到N），电场方向沿x轴正方向（正电荷电场向外辐射），因此O点电势高于N点电势，故B错误； C、计算N点的场强时，将圆环分成无数个电荷元Δq； 每个电荷元在N点产生的场强大小为； 由于对称性，垂直于x轴方向的场强分量相互抵消，仅保留沿x轴方向的分量； 沿x轴的分量为； 对所有电荷元叠加（积分），总场强大小为（而非，故C错误。 D、在圆环平面内，过M点以O为圆心的圆上，各点到圆环上所有电荷元的距离相等。根据电势的叠加原理，圆上各点的电势是圆环上所有电荷元在该点产生电势的代数和，因此各点电势相等，即该圆是等势线，故D正确。 故选：D。 【变式2】如图所示，电荷量为q的正点电荷与竖直放置的均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心，垂线上的A、B两点到薄板的距离均为d。已知A点的电场强度为0，下列说法正确的是（　　） A．薄板带正电 B．B点电势高于A点电势 C．B点电场强度的方向向右 D．B点电场强度的大小为 【答案】B 【解答】解：+q在A点产生的电场强度大小为：，方向向左，A点合场强为0，可知带电薄板在A点产生的场强方向向右，薄板带负电，在A点产生的电场强度大小为：，由对称性可知，薄板在B点产生的电场强度大小等于E2方向向左，可知B点的电场强度大小为：，方向沿BA向左，B点靠近正电荷，B点电势高于A点电势，故B正确，ACD错误。 故选：B。 题型9 单个或多个点电荷周围的电势分布 解｜题｜知｜识 本考点旨在针对单个或多个（两个不等量及两个以上）点电荷叠加情况下的电势分布问题。 【典例1】如图，M、N和P是以O为圆心、MN为直径的半圆弧上的三点，∠MOP＝60°，电荷量相同的两个正点电荷分别固定在N、P处。以无穷远处的电势为零，已知N处的电荷在O点的电势为φ、电场强度大小为E，则O点的电势和电场强度大小分别为（　　） A．φ和E B．φ和2E C．2φ和E D．2φ和 【答案】C 【解答】解：根据题意分析可知，O点到P、N两点的距离相等，已知N处的电荷在O点的电势为φ，则P处的电荷在O点的电势也为φ，电势是标量，根据电势的运算法则，则O点的电势为2φ，已知N处的电荷在O点的电场强度大小为E，则P处的电荷在O点的电场强度大小也为E，根据场强的叠加得O点的电场强度大小为E′＝2×Ecos60°＝E，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式1】如图为某电场中的三条电场线，A、B、C是其中一条电场线上的三个点。已知AB＝BC＝1cm。A、C两点的电势分别为φA＝20V，φC＝10V，下列说法正确的是（　　） A．φB＞15V B．UAB＝UBC C．A点的电场强度大小为10N/C D．B点的电场强度方向由B指向C 【答案】D 【解答】解：AB．电场线疏密程度代表场强大小，越往右电场线越稀疏，所以从左向右场强逐渐减小； 根据U＝Ed，在距离相等的情况下AB间电势差大于BC，φB＜15V，故AB错误； C．该电场为非匀强电场，无法计算场强，故C错误； D．因为A点电势大于C，沿电场线方向电势降低，所以电场线方向向右，场强方向与电场线方向相同，即电场强度方向由B指向C，故D正确； 故选：D。 【变式2】如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为+q的点电荷固定在A点，则下列说法正确的有（　　） A．B、C两点电场强度相同 B．B、C两点电势相等 C．正电荷在B点电势能比在C点时要大 D．负电荷在B点电势能比在C点时要小 【答案】B 【解答】解：A、由于B、C两点与点电荷A的距离相同，根据点电荷电场特性，两点的场强大小相同但方向不同，故A错误； B、根据点电荷电势分布规律，B、C两点与A点等距，故电势相等，故B正确； C，D、由电势能公式Ep＝φq可知，正电荷在B、C两点的电势能相同，负电荷在两点的电势能也相同，故CD错误。 故选：B。 【变式3】（多选）如图所示，带电量为﹣Q（Q＞0）的小球甲固定在绝缘天花板的P点，带电小球乙获得一个初速度，绕P点正下方的O点在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，甲、乙两者的连线与竖直方向的夹角为37°，两小球均视为点电荷，重力加速度为g，静电力常量为k，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．乙带正电 B．乙的加速度大小为 C．乙的比荷为 D．若乙的电荷量为q，则动能为 【答案】ACD 【解答】解：A、根据题意分析可知，甲对乙的库仑力是引力才能让乙的向心力沿水平方向，则乙带正电，故A正确； B、根据题意分析可知，由二力合成的矢量三角形可得，乙的向心力为mgtan37°，由牛顿第二定律可得mgtan37°＝man 解得，故B错误； C、根据题意分析可知，由二力合成的矢量三角形可得 则有，故C正确； D、根据题意分析可知，乙的动能为，库仑力在水平方向的分力充当向心力，则有 综合可得，故D正确。 故选：ACD。 题型10 等量同种电荷的电势分布 解｜题｜知｜识 对于两个等量同种电荷，其电势分布情况如下（以两个等量正电荷为例）： 1.等势面的特点：关于中垂面对称的闭合曲面，也关于两源电荷连线对称。 2.两电荷连线的中垂线上的电势分布如下图 （1）中垂面不是等势面，面上从O点向外电势逐渐降低，距O点距离相等的点电势相等 （2）在中垂面上，从中点O向外，等差等势线是以O点为圆心的同心圆 （3）O点是中垂面上电势最高的点 3.两电荷连线上的电势分布如下图 （1）各点电势均大于0，越靠近源电荷电势越高 （2）关于中点对称的点电势相等，关于某一源电荷对称的点，内侧电势高于外侧电势 （3）越靠近源电荷等差等势面越密集 4.总结 （1）中点是连线上电势最低点但φ≠0，是中垂面上电势最高点 （2）关于中点、连线或中垂面对称的点电势均相等 【典例1】如图甲中O是等量同种电荷，两点电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对于O点对称的两个点，B、C和A、D也相对于O点对称。则下列说法正确的是（　　） A．φA＞φO＞φB B．φC＝φO＝φD C．A、B两点电场强度不同 D．C、D两点电场强度相同 【答案】C 【解答】解：A.根据沿电场线方向电势逐渐降低，等量正电荷连线上，A、B 均靠近各自正电荷，电场线从电荷指向中间，所以φA＝φB＞φC，故A错误； B.据沿电场线方向电势逐渐降低，等量正电荷中垂线O点电势高于C、D点，故B错误； C.A、B关于O对称，场强大小相等，但A点场强向右、B点场强向左，故C正确； D.C、D关于O对称，场强大小相等，但C点场强向下、D点场强向上方向不同，故场强不同，故D错误。 故选：C。 题型11 等量异种电荷的电势分布 解｜题｜知｜识 等量异种电荷的电势分布如下图（用等势面表示）： 1.等势面的特点： （1）关于中垂面对称的闭合曲面，也关于两源电荷连线对称。 （2）中垂面是电势为0的等势面，正电荷一侧各点电势大于0，负电荷一侧各点电势小于0。 2.两电荷连线上各点的电势情况如下： （1）连线上从正电荷到负电荷电势一直降低 （2）关于中点对称的点，电势互为相反数 （3）离正电荷越近电势越高，离负电荷越近电势越低 （4）越靠近源电荷时等差等势面越密集 3.总结： （1）中点电势为0，是左右两侧电势的正负分界点 （2）关于连线对称的点电势相等，关于中点、中垂面对称的点电势互为相反数（可同为0） 【典例1】下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．图中a、b两点处于匀强电场，且a、b两点不在同一等势面上，所以这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相同，故A错误； B．图中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，根据点电荷场强公式，这两点的场强大小相等、方向不同，故B错误； C．图中a、b两点关于两等量同种电荷的连线对称，所以电势相等，两点的场强大小相等、方向不同，故C错误； D．图中，a、b两点的电势相等，而且场强的方向相同、大小相等，故D正确。 故选：D。 【变式1】如图所示，真空中固定着两个等量异号点电荷+Q、﹣Q，图中O点是两电荷连线的中点，a、b两点与+Q的距离相等，c、d是两电荷连线垂直平分线上关于O点对称的两点，bcd构成一个等腰三角形。则下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度相同 B．c、d两点的电势相同 C．将电子由b移到c的过程中电场力做正功 D．质子在b点的电势能比在O点的电势能小 【答案】B 【解答】解：A.a、b两点虽然关于+Q对称，但是由于﹣Q的影响，根据电场的叠加原理和矢量性可知，两点的电场强度并不相同，故A错误； B.c、d两点在等量异种电荷的中垂线上，电势相等，故B正确； C.电子从b点移到c点，由于b点电势高于c点，则电场力做负功，故C错误； D.根据正电荷在电势高的地方电势能大，又由b点电势高于O点的电势，则质子在b点的电势能大，故D错误。 故选：B。 【变式2】如图所示，AB、CD、EF都为半径为R的空间球面的直径，其中AB与EF同在水平面内，EF与AB的夹角θ＝45°，CD与水平面垂直，现在A、B两点分别固定等量异种点电荷，则（　　） A．将带负电的试探电荷从E点沿直线移到F点，电势能增加 B．E、F两点电场强度不同 C．C点和O点场强大小之比为 D．C、E、F三点中C点电势最高 【答案】A 【解答】解：AD．根据等量异种电荷电场线分布规律可知，结合几何关系可知，CD为等量异种点电荷的中垂线，而等量异种点电荷的中垂线为等势线且电势为零，且无穷远处电势为零，因此CD所在中垂面即为等势面，电势为零，而电场线从正电荷出发指向负电荷或无穷远处，且沿着电场线的方向电势降低，则可知，CD所在等势面左侧电势大于零，而CD所在等势面右侧电势小于零，因此φE＞φC＞φF，E点电势比F点电势大。带负电的电荷在电势越低的地方电势能越大，因此可知将带负电的检验电荷从E点沿直线移到F点，电势能增大，故A正确，D错误； B．根据等量异种电荷电场规律可知，关于O点对称的E、F两点电场强度大小相等，方向相同，故B错误； C．根据几何关系结合点电荷产生的场强的叠加法则可得 方向从O指向B； 同理C点场强 方向平行于AB向右，则可得，故C错误。 故选：A。 过 关 验 收 1．电鳗瞬时放电时可产生高达800V的电压，电流通过水介质传导足以击晕大型猎物或敌人，如图甲。电鳗瞬时放电时周围的电场可简化为如图乙，P、Q两点间的电势差为500V，下列说法正确的是（　　） A．P点的电场强度小于Q点的电场强度 B．一电子从P点移到Q点，电场力做功﹣500eV C．一质子从P点由静止释放，质子将沿PQ间的电场线运动到Q点 D．一条小鱼分别靠近P、Q点，小鱼在Q点处体内形成的电流大 【答案】B 【解答】解：A、P点电场线分布密集，P点的电场强度大于Q点的电场强度，故A错误； B、P点电势高，电子从P点移到Q点的过程中，电场力做功为W＝﹣e×500V＝﹣500eV，故B正确； C、PQ间的电场线不是直线，电场强度方向不断改变，质子受到的电场力方向不断改变，轨迹不可能是PQ间的电场线曲线，故C错误； D、由于P点电势高于Q点，小鱼分别靠近P、Q点，由于小鱼方位未知，电势差、电阻大小无法判断，所以电流大小无法比较，故D错误。 故选：B。 2．如图所示，Q1和Q2是两个等量异种点电荷，MN是两电荷的连线，HG是两电荷连线的中垂线，O是垂足。下列说法正确的是（　　） A．OM的中点与ON的中点电势一定相等 B．O点的电场强度为零 C．在MN连线上移动一个试探电荷，电场力不做功 D．在HG连线上移动一个试探电荷，电场力不做功 【答案】D 【解答】解：．根据题意Q1和Q2是两个等量异种点电荷，电场线从正电荷指向负电荷，MN间各点的电势一定不等，则OM的中点与ON的中点电势一定不相等，故A错误； B．在O点，两点电荷的产生的电场方向相同，将电场线叠加，可得O点电场强度一定不为0，故B错误； C．在MN连线上移动一个试探电荷，试探电荷受到的电场力在MN连线上，电场力一定做功，故C错误； D．根据两个等量异种点电荷电场线分布规律，在HG连线上任意点电场强度方向与HG连线垂直，所以在HG连线上移动一个试探电荷时电场力总与速度方向垂直，则电场力不做功，故D正确。 故选：D。 3．在点电荷+Q形成的电场中有一点A，当一个﹣q的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，电场力做的功为W，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点的电势分别为（　　） A．EPA＝﹣W，φA B．EPA＝W，φA C．EPA＝W，φA D．EPA＝﹣W，φA 【答案】A 【解答】解：依题意，﹣q的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，电场力做的功为W，则电荷的电势能减小W，无限处电荷的电势能为零，则电荷在A点的电势能为ɛA＝﹣W，A点的电势UA。 故选：A。 （多选）4．如图所示，一绝缘且光滑的竖直细杆处于两固定的等量异种点电荷+Q、﹣Q的连线的中垂线上，A、O、B为细杆上的三点，O为+Q、﹣Q连线的中点，AO＝BO＝h。现有电荷量为+q、质量为m的小球套在杆上，重力加速度为g，从A点静止释放，从A运动到B的过程中，则（　　） A．在A点时小球加速度大小等于g B．小球从A到B运动过程中先加速后减速 C．小球从A到B运动过程中电场力始终不做功 D．小球达到B点时速度大小为 【答案】AC 【解答】解：等量异种点电荷的电场线分布如图所示 AD．可知中垂线上的电场方向都与中垂线垂直，水平向右，故小球在竖直方向只受重力的作用，水平方向杆的弹力与电场力平衡，故小球的加速度为重力加速度g，从A到B的过程，只有重力做功，根据动能定理可得，解得，故A正确，D错误； B．小球从A到B运动过程中，合力等于重力，所以一直做加速度为g的匀加速直线运动，故B错误； C．由于中垂线上的电场方向都与中垂线垂直，小球从A到B运动过程中，电场力方向一直与速度方向垂直，电场力始终不做功，故C正确。 故选：AC。 （多选）5．如图，一均匀带正电圆环固定放置，O为圆心，OQ连线与圆环的中轴线重合。OQ连线上各处P点电场强度最大。一电子从O点以初动能5eV沿OQ方向飞出，到达Q处动能变为3eV。规定无限远处电势为零。下列说法正确的是（　　） A．O处电场强度为零，电势也为零 B．OQ连线上各处P点电势最高 C．电子从O到Q加速度先增大后减小 D．Q处电势比O处低2V 【答案】CD 【解答】解：A、根据场强叠加原理和对称性可知，O处合场强为零，OQ连线上各处场强方向由O指向Q，根据沿电场线方向电势逐渐降低，无限远处电势为零，可知O处电势大于零，故A错误； B、OQ连线上各处场强方向由O指向Q，则O处电势最高，故B错误； C、OQ连线上各处P点电场强度最大，由O到Q场强先增加后减小，电子受电场力先增大后减小，所以电子从O到Q加速度先增大后减小，故C正确； D、电子从O到Q，根据动能定理有 ﹣eUOQ＝EkQ﹣EkO 可得UOQ2V 则UOQ＝φO﹣φQ＝2V，所以Q处电势比O处低2V，故D正确。 故选：CD。 （多选）6．下列各量中，与检验电荷有关的物理量是（　　） A．电场力F B．电场强度E C．电势差U D．电场力做的功W 【答案】AD 【解答】解：A、电场力F＝qE，知电场力与检验电荷有关，故A正确。 B、电场强度的大小由电场本身的性质决定，与检验电荷的电量无关，故B错误。 C、电场中两点间电势差由电场中两点的电势决定，电势与检验电荷无关，所以电势差与检验电荷无关，故C错误。 D、电场力做功W＝qU，知电场力做功与检验电荷的电量有关，故D正确。 故选：AD。 7．静电场中的x轴上有A、B两点，一个带负电粒子在A点由静止释放，仅在电场力作用下沿直线运动到B点，粒子的加速度先减小后增大，粒子的动能先增大后减小，则A、B两点间电势φ随x的变化关系、电场强度E随x的变化关系可能正确的是（　　）（电场强度正方向沿x轴负方向） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：CD、一个带负电粒子在A点由静止释放，仅在电场力作用下沿直线运动到B点，粒子的加速度先减小后增大，则电场力先减小后增大，所以电场强度先增大后减小，方向应先沿x轴负方向，再沿x轴正方向，故CD错误； AB、粒子的动能先增大后减小，则电势能先减小后增大，粒子带负电，所以电势先增大后减小，故A错误，B正确； 故选：B。 8．如图，在直角△abc中bc＝4cm，∠acb＝30°，匀强电场的电场线平行于△abc所在平面，且a、b、c点的电势分别为3V、﹣1V、3V。下列说法中正确的是（　　） A．一个电子从c点移动到b点，电场力做功为4eV B．一个电子从a点移动到c点，电场力做功不可能为零 C．电场强度的方向沿ac方向 D．电场强度的大小为200V/m 【答案】D 【解答】解：A、一个电子从c点移动到b点，电场力做功为：Wcb＝qUcb＝q（φc﹣φb）＝﹣e[3﹣（﹣1）]V＝﹣4eV，故A错误； B、由题意可知，a点和c点电势相等，ac为一条等势线，粒子在等势线上移动时电场力不做功，所以电子从a点移动到c点时电场力做功为零，故B错误； C、ac为一条等势线，电场线与等势线垂直，沿着电场线电势逐渐降低，所以电场方向垂直于ac，且指向斜上方，故C错误； D、根据匀强电场的电压与场强的关系可得，电场强度的大小为：EV/m＝200V/m，故D正确。 故选：D。 （多选）9．某一带正电粒子仅在电场力作用下从M点向N点运动的轨迹如图中的实线所示，图中的虚线a、b、c代表等差等势线。粒子经过M、N两点时的动能分别为EkM和EkN，粒子在M、N两点处的加速度大小分别为aM和aN，M、N两点处的电势分别为φM和φN，粒子在M、N两点处的电势能分别为EpM和EpN，下列判断正确的是（　　） A．aM＜aN B．EkM＜EkN C．EpM＞EpN D．φM＜φN 【答案】AD 【解答】解：A.等势线越密的地方，电场线越密，带电粒子所受电场力越大，带电粒子的加速度越大，所以M、N两点处的加速度一定满足aM＜aN，故A正确； BC.带电粒子的轨迹向左弯曲，说明带电粒子所受电场力偏左，又电场线与等势面垂直，所以带电粒子所受电场力向左上方，与带电粒子的运动方向成钝角，则电场力对带电粒子做负功，带电粒子的动能减小，电势能增大，即EkM＞EkN，EPM＜EPN，故BC错误； D.根据EP＝qφ，q＞0，可知φM＜φN，故D正确。 故选：AD。 学科网（北京）股份有限公司 $