9.2 库仑定律 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

本高中物理讲义聚焦库仑定律核心知识点，系统梳理从点电荷条件、库仑定律适用范围与表达式，到库仑扭秤实验与静电力常量，再到多个库仑力合成、平衡及加速度问题，延伸至电场、电势与等势面的知识脉络，构建完整学习支架。 资料以14类题型为框架，每题型配套解题知识与典例变式，强化物理观念中的相互作用观念，通过库仑扭秤实验培养科学探究能力，助力学生模型建构与科学推理。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第九章 第2节 库仑定律 内 容 导 航 题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换） 题型2 点电荷及其条件 题型3 库仑定律的适用范围 题型4 库仑定律的表达式及其简单应用 题型5 库仑扭秤实验和静电力常量 题型6 多个库仑力的合成 题型7 库仑力作用下的受力平衡问题 题型8 库仑力作用下的加速度问题 题型9 三（多）个点电荷在一条直线上时的平衡问题 题型10 多个点电荷不在一条直线上时的平衡问题 题型11 两个或多个带电体在库仑力作内力情况下一起运动 题型12 点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场 题型13 电势的定义、单位和物理意义及用定义式计算电势 题型14 等势面及其与电场线的关系 考 点 演 练 题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换） 解｜题｜知｜识 对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即 化简得到：GM＝gR2 其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。 【典例1】如图所示，假设地球质量分布均匀，其质量为M，地球外B点有一质量为m的质点，B点到球心O的距离为r。已知该质点受到地球对它的万有引力大小为F＝，其中G为引力常量。类比电场强度的定义式，可以推知地球在B点的引力场强度大小E'为（　　） A． B． C． D． 题型2 点电荷及其条件 解｜题｜知｜识 1.定义：当带电体之间的距离比他们自身的大小大得多，以致带电体的大小及形状对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。 2.点电荷是理想化模型 只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。 3.将带电体看成点电荷的条件 如果带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响很小，就可以忽略这些次要因素，只保留对研究的问题起关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。 4.注意区分点电荷与元电荷 （1）元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。 （2）点电荷只是不考虑带电体的大小，形状及电荷分布状况，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。 【典例1】关于电荷，下列说法正确的是（　　） A．质子或电子就是元电荷，物体所带的电荷量可以是任意数值 B．小的带电体就是点电荷，库仑定律适用于它们之间作用力的求解 C．摩擦起电就是人类创造了电荷 D．感应起电是导体中的自由电荷发生了转移 【变式1】电学是物理学中一个重要的分支，下列说法正确的是（　　） A．点电荷就是体积极小的电荷，体积较大的带电体不能被看作点电荷 B．密立根最早测算出了元电荷的数值 C．电场是物质存在的一种形式，因此描述电场的电场线也是真实存在的 D．物体带电的本质是得失电子，因此自然界实际只存在负电荷一种电荷 【变式2】物理学引入“点电荷”概念，从科学方法上来说是属于（　　） A．观察实验的方法 B．控制变量的方法 C．等效替代的方法 D．建立物理模型的方法 【变式3】如图甲所示，真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q（未画出）在周围空间产生电场，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2m和0.7m。在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。忽略A、B间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．B点的电场强度大小为0.25N/C B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向 C．点电荷Q的位置坐标为0.3m D．点电荷Q是正电荷 题型3 库仑定律的适用范围 解｜题｜知｜识 1、库仑定律只适用于真空中的静止点电荷，但在要求不很精确的情况下，空气中的点电荷的相互作用也可以应用库仑定律． 2、当带电体间的距离远大于它们本身的尺寸时，可把带电体看做点电荷．但不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞．其实在这样的条件下，两个带电体已经不能再看做点电荷了． 3、对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离． 4、对两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布． 【典例1】关于库仑定律，下列说法正确的是（　　） A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体 B．根据F＝k，当两个带电体间的距离趋近于零时，库仑力将趋向于无穷大 C．所带电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力是A受到的静电力的3倍 D．库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷 【变式1】（多选）如图所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个质量为m电荷量为+q且可视为质点的小球A。悬点O的正下方固定一体积较大的金属球B，其所带电荷量为+Q，小球A与金属球B的球心等高，两球心的距离为r，悬线与竖直方向的夹角为θ，已知静电力常量为k，重力加速度为g，B球半径相对于两球心距离r不可忽略，则（　　） A．悬线对小球A的拉力大小为 B．金属球B对小球A的库仑力大小为 C．悬线对小球A的拉力大小为 D．金属球B对小球A的库仑力大小为mgtanθ 题型4 库仑定律的表达式及其简单应用 解｜题｜知｜识 1．内容：在真空中两个静止的点电荷间的作用力跟它们的电量的乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上． 2．表达式：F＝k，式中k表示静电力常量，k＝9.0×109N•m2/C2． 3．适用条件：真空中的静止点电荷． 【典例1】两个分别带有电荷量﹣Q和+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F．两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为（　　） A．F B．F C．F D．12F 【变式1】如图所示，把系在丝线上的带电小球A挂在铁架台的P点，带电球C置于铁架台旁。小球A静止时与带电球C处于同水平线上，丝线与竖直方向的夹角为α。已知小球A的质量为m，重力加速度为g，不计丝线质量，则可知小球A受到的静电力的大小为（　　） A．mgsinα B．mgtanα C． D． 【变式2】小张同学在空气干燥的教室里进行一个小实验，将一塑料绳撕成细丝后，一端打结，做成“水母”的造型，用毛巾顺着细丝向下捋几下，同样用毛巾来回摩擦PVC（塑料）管。将“水母”抛向空中，然后把PVC管从下方靠近它，直到“水母”处于悬停状态，则（　　） A．PVC管带电方式属于感应起电 B．“水母”在空中悬停时，PVC管对它向上的静电力大于它所受重力 C．用毛巾摩擦后，“水母”与PVC管带异种电荷 D．PVC管与“水母”相互靠近过程中，两者间相互作用力变大 【变式3】下列哪位科学家得到了静电力的平方反比定律（　　） A．富兰克林 B．库仑 C．奥斯特 D．安培 题型5 库仑扭秤实验和静电力常量 解｜题｜知｜识 一、库仑的实验： 1.实验内容：库仑做实验用的装置叫作库仑扭秤。如图所示，细银丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个小球A，另一端通过物体B使绝缘棒平衡，悬丝处于自然状态。把另一个带电的金属小球C插入容器并使它接触A，从而使A与C带同种电荷。将C和A分开，再使C靠近A，A和C之间的作用力使A远离。扭转悬丝，使A回到初始位置并静止，通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小。改变A和C之间的距离r，记录每次悬丝扭转的角度，就可以找到力F与距离r的关系，结果是力F与距离r的二次方成反比，即F∝。 在库仑那个年代，还不知道怎样测量物体所带的电荷量，甚至连电荷量的单位都没有。不过两个相同的金属小球，一个带电、一个不带电，互相接触后，它们对相隔同样距离的第三个带电小球的作用力相等，因此，可以断定这两个小球接触后所带的电荷量相等。这意味着，如果使一个带电金属小球与另一个不带电的完全相同的金属小球接触，前者的电荷量就会分给后者一半。多次重复，可以把带电小球的电荷量q分为，，••• 这样又可以得出电荷之间的作用力与电荷量的关系：力F与q1和q2的乘积成正比，即 F∝q1q2 综合上述实验结论，可以得到如下关系式 F＝ 式中k是比例系数，叫作静电力常量。 2.扭秤实验体现的物理学方法：微小量放大法。 二、静电力常量的数值： 在国际单位制中，电荷量的单位是库仑（C），力的单位是牛顿（N），距离的单位是米（ m）。通过实验测定k的数值是 k＝9.0×109N•m2/C2 【典例1】关于各图中包含的物理知识，下列说法正确的是（　　） A．图甲，橡胶棒与毛皮摩擦后，毛皮所带电荷量是元电荷的整数倍 B．图乙，导体A端带正电，B端带负电 C．图丙，A、B两点与中心电荷的距离相等，故A、B两点的电场强度相同 D．图丁，利用库仑扭秤实验装置探究带电小球间库仑力大小相关因素时需要测出小球电荷量 【变式1】如图所示的实验装置为库仑扭秤．细银丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个带电的金属小球A，另一端有一个不带电的球B，B与A所受的重力平衡，当把另一个带电的金属球C插入容器并使它靠近A时，A和C之间的作用力使悬丝扭转，通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小，便可找到力F与距离r和电量q的关系．这一实验中用到了下列哪些方法（　　） ①微小量放大法 ②极限法 ③控制变量法 ④逐差法． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 题型6 多个库仑力的合成 解｜题｜知｜识 两个点电荷之间的作用力不受其他电荷的影响。如果一个点电荷受到其他多个点电荷的作用，可以根据矢量合成的方法，如平行四边形法则，求出这个点电荷受到的合力。 【典例1】如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知A、B都带正电荷，A所受B、C两个电荷的静电力的合力如图中FA所示．那么可以判定点电荷C所带电荷的电性为（　　） A．一定是正电 B．一定是负电 C．可能是正电，也可能是负电 D．无法判断 题型7 库仑力作用下的受力平衡问题 解｜题｜知｜识 本考点旨在针对带电体在有库仑力存在时的平衡问题。注意这个考点下只针对点电荷之间的作用力，不含电场类问题。 【典例1】如图所示，质量分别为mA和mB的两个带电小球，电荷量分别为qA和qB，用绝缘细线悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平位置，细线与竖直方向间夹角分别为θ1与θ2（θ1＞θ2），A、B两球对细线的拉力分别为TA和TB。则（　　） A．两小球带异种电性 B．qA：qB＝1：1 C．mA：mB＝tanθ1：tanθ2 D．TA：TB＝sinθ2：sinθ1 【变式1】在光滑绝缘斜面上有带电小球a与b，两球同时释放瞬间，b球的加速度刚好为零，则下列关于a、b的电性及初始位置，不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力分别为FA和FB；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为FA′和FB′，则（　　） A．FA＝FA′，FB＞FB′ B．FA＝FA′，FB＜FB′ C．FA＜FA′，FB＜FB′ D．FA＞FA′，FB＞FB′ 【变式3】如图所示，一个带电球体M放在绝缘支架上，把系在绝缘丝线上的带电小球N先后挂在横杆上的P1、P2和P3处。当小球N静止时，观察丝线与竖直方向的夹角。通过观察发现：当小球N挂在P1时，丝线与竖直方向的夹角最大；当小球N挂在P3时，丝线与竖直方向的夹角最小。根据三次实验结果的对比，可知（　　） A．小球N距球体M越近，它们之间的静电力越小 B．在距球体M越远的位置，M产生的电场越弱 C．小球N与球体M间的作用力与它们电荷量的乘积成正比 D．小球N与球体M间的作用力与它们电荷量的乘积成反比 题型8 库仑力作用下的加速度问题 解｜题｜知｜识 两个点电荷的质量分别是m1和m2，所带的电荷量分别是q1和q2，初始距离为r，那么它们之间的库仑大小为F＝， 由库仑力产生的加速度大小分别为 a1＝ a2＝ 当两个物体相互靠近时，它们之间的库仑力增大，各自的加速度也会增大；当两个物体相互远离时，它们之间的库仑力减小，各自的加速度也会减小。 【典例1】一根放在水平面内的光滑玻璃管绝缘性能良好，内部有两个完全相同的可看作点电荷的弹性金属小球A和B，电荷量分别为+9Q和﹣Q，两小球从图示位置由静止释放，那么两小球再次经过图中原静止释放位置时，A球的瞬时加速度为释放时的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D． 【变式1】如图所示，a、b为两个质量均为m、所带电荷量数值相等的小球，其中a固定在P点，b在a的库仑力作用下在空中一水平面内绕O点做半径为R的匀速圆周运动，已知O点位于P点正下方，此时OP＝R，取重力加速度为g，静电常量为k，下列说法正确的是（　　） A．小球a受到的库仑力大小为mg B．小球b的速度大小为 C．小球所带电荷量的大小为 D．小球b带负电 【变式2】质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为+q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，求： （1）三个小球一起运动的加速度大小； （2）恒力F的大小。 题型9 三（多）个点电荷在一条直线上时的平衡问题 解｜题｜知｜识 本考点针对的是三个点电荷在一条直线上的平衡问题。有两种类型：一是三个点电荷都不固定；二是其中两个点电荷固定。 【典例1】如图所示，在真空中同一直线上的三个点电荷A、B、C恰好都处于平衡状态，所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。已知A、B之间距离与B、C之间距离之比是3：2，除相互作用的静电力外不受其他外力作用，下列说法正确的是（　　） A．若A、B带正电，则C带负电 B．q1：q3＝25：4 C．q2：q3＝9：25 D．q1：q2＝9：4 【变式1】真空中有两个点电荷，Q1为4.0×10﹣8C、Q2为﹣1.0×10﹣8C，分别固定在x轴上坐标为0和6cm的位置上，则（　　） A．坐标为12cm处的合电场强度为0 B．坐标为3cm处的合电场强度为0 C．坐标为3cm处的合电场强度方向指向x轴的负方向 D．只考虑电场力，引入第三个电荷可以在坐标为5cm处平衡 【变式2】在绝缘水平地面上固定甲、乙两个完全相同的带电金属小球（可视为质点），甲所带的电荷量q1＝+2×10﹣5C，乙所带的电荷量q2＝﹣8×10﹣5C，两带电小球的间距L＝1m，已知静电常量k＝9.0×109N•m2/C2。下列说法正确的是（　　） A．若将两个金属小球相互接触后再放回原处，则它们之间的库仑力大小为8.1N B．若将两个金属小球相互接触后再放回原处，则它们之间的库仑力大小为7N C．若在绝缘地面上再放一带电小球丙，要使三个小球受到的电场力均为0，则丙球带电量为﹣8×10﹣6C D．若在绝缘地面上再放一带电小球丙，要使三个小球受到的电场力均为0，则丙球带电量为8×10﹣6C 【变式3】相距为L的点电荷A、B带电荷量分别为+4q和﹣q，如图所示，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是（　　） A．﹣q，在A左侧距A为L处 B．﹣2q，在A左侧距A为处 C．+4q，在B右侧距B为L处 D．+2q，在B右侧距B为处 题型10 多个点电荷不在一条直线上时的平衡问题 解｜题｜知｜识 1.本考点针对的是多个点电荷不在一条直线上时的平衡问题。 2.解决问题的思路与力学中的平衡问题一致。 【典例1】如图所示，在同一竖直平面内，三根不可伸长的绝缘细绳一端固定于O点，细绳OA、OB的长度均为L，另一端分别系有三个质量相同的带正电小球A、B、C，电荷量均为q。三球平衡时恰好组成一个正三角形，细绳OC沿竖直方向，细绳OA、OB与OC的夹角均为30°。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g。下列判断正确的是（　　） A．小球的质量m＝ B．小球的质量m＝ C．细绳OA与OC的拉力大小之比为 D．细绳OA与OC的拉力大小之比为1：3 题型11 两个或多个带电体在库仑力作内力情况下一起运动 解｜题｜知｜识 本考点旨在针对带电体在库仑力作用下的直线运动问题，侧重点是几个带电体通过库仑力的作用一起运动的问题。不包含电场类的问题。 【典例1】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变大，加速度变小 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变大 D．速度变小，加速度变大 【变式1】（多选）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为+q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为v1、v2、v3，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（　　） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中小球3一定向左做直线运动 C．从图甲到图乙位置，小球3向左运动 D．在图乙位置， 题型12 点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场 解｜题｜知｜识 1.点电荷是最简单的场源电荷，一个电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处的电场强度为E＝ 2.推导如下：如果以Q为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。Q为场源电荷电量。 3．方向：若Q是正电荷，Q和该点的连线指向该点；若Q是负电荷，Q和该点的连线值向Q。 3．使用范围：仅使用于真空中点电荷产生的电场。 4.点单荷电场的特点： 根据上式可知，如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。当Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外（图甲 ）﹔当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向内（图乙）。 即点电荷的电场是以电荷为球心向四周发散或由四周指向球心的。 5.带电球体（球壳）与点电荷等效：在一个比较大的带电体不能看作点电荷的情况下，当计算它的电场时，可以把它分成若干小块，只要每个小块足够小，就可以看成点电荷，然后用点电荷电场强度叠加的方法计算整个带电体的电场。可以证明，一个半径为R的均匀带电球体（或球壳）在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同（如下图），即 E＝ 式中的r是球心到该点的距离（ r＞R ），Q为整个球体所带的电荷量。 【典例1】如图所示，一个均匀带电球体所带电荷量为Q，在球外A点放置一个电荷量为q的检验电荷，A点到球心O的距离为r。可以证明，检验电荷受到的带电球体对它的电场力大小为F＝，其中k为静电力常量。根据电场强度的定义式，可以推知带电球体在A点的电场强度大小E为（　　） A． B． C． D． 题型13 电势的定义、单位和物理意义及用定义式计算电势 解｜题｜知｜识 1.定义：电荷在某一点的电势能与它的电荷量之比。 2.公式：φ＝ 3.单位：伏特，简称伏，符号为V，1V＝1J/C。 4.物理意义：描述电场的能的性质物理量。 5.特点： （1）电势是电场自身的性质，与试探电荷本身无关。 （2）相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势点的位置有关，一般情况下取离场源电荷无限远处或大地的电势为0. （3）标矢性：标量，有正负，正负表示大小。 6.拓展： （1）对于点电荷或均匀带电球体（球壳），周围的电势满足φ＝k （2）因为电势是标量，正负代表大小，同样以无限远处为零电势点的情况下，正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负，且越靠近正电荷，电势越正（大），越靠近负电荷，电势越负（小）。 【典例1】如图所示为两个等量异种点电荷所形成电场的一部分电场线，P、Q是电场中的两点。下列说法中正确的是（　　） A．P点场强比Q点场强大 B．P点电势比Q点电势低 C．电子在P点的电势能比在Q点的电势能小 D．电子从P沿直线到Q的过程中所受电场力恒定不变 题型14 等势面及其与电场线的关系 解｜题｜知｜识 1．定义：电场中电势相等的点组成的面（平面或曲面）叫做等势面． 2．特点： ①等势面与电场线一定处处正交（垂直）； ②在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功； ③电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面； ④任意两个电势不相同的等势面既不会相交，也不会相切； ⑤等差等势面越密的地方电场线越密． 【典例1】如图所示，带电粒子在匀强电场中以初动能20J穿过等势面L3，到达等势面L1时速度为零，三个等势面等距，且U2＝0，当此带电粒子的电势能为6J时，它的动能为（　　） A．4J B．6J C．14J D．16J 过 关 验 收 1．真空中有两个固定的带正电的点电荷Q1和Q2，以及一个可以自由移动的试探电荷q。当q置于Q1、Q2连线上某点时，恰好处于平衡，已知Q1＞Q2，则（　　） A．q离Q2比离Q1远 B．q离Q2比离Q1近 C．q一定是正电荷 D．q一定是负电荷 2．如图所示，在直角三角形ABC的顶点A、B分别固定有点电荷Q1、Q2，现将一试探电荷q固定于顶点C，测得q所受电场力与AB边垂直。已知AB：AC：BC＝5：4：3，则（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 3．如图所示，均可视为质点的三个物体A、B、C在倾角θ＝30°的光滑绝缘斜面上，A绝缘，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，质量分别为mA＝0.43kg，mB＝0.20kg，mC＝0.50kg，其中A不带电，C的电荷量qC＝+7×10﹣5C且保持不变，开始时BC间的距离L＝2m，三个物体均能保持静止。现给A施加一平行于斜面向上的力F，使A沿斜面做匀加速直线运动，经过时间t，向上运动1m，向上力F变为恒力，已知静电力常量为k＝9.0×109N•m2/C2，g取10m/s2。求： （1）B的电荷量和电性； （2）A做匀加速的加速度大小； （3）F从变力到恒力需要的时间t； （4）F变为恒力时的大小。 4．如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电介质小球a、b，左边放一个带正电的固定球+Q时，两悬球都保持竖直方向。下面说法中正确的是（　　） A．a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大 B．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大 C．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小 D．a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小 （多选）5．如图小滑轮O正下方B点用绝缘底座固定一电荷量为q的带正电的小球1，弹性绳一端悬挂在D点，另一端与质量为m的带电小球2连接，小球2恰好在A位置平衡，OA＝OB＝l，OA与竖直方向的夹角为60°。由于弹性绳的绝缘效果不是很好，小球2缓慢漏电，一段时间后，当滑轮下方的弹性绳与竖直方向夹角为30°时，小球2恰好在AB连线上的C位置。已知静电力常量为k，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球2带负电 B．小球2在A位置时，弹性绳的弹力小于mg C．小球2在C位置受到库仑力小于A位置受到库仑力 D．小球2在C位置时所带电荷量为 （多选）6．把一带正电小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使小球a能静止在如图所示的位置上，需在MN间放一带电小球b，则球b可能（　　） A．带正电，放在A点 B．带负电，放在A点 C．带负电，放在C点 D．带正电，放在C点 7．下列各组共线的三个自由电荷，可以平衡的是（　　） A．4Q 4Q 4Q B．4Q 5Q 3Q C．9Q﹣4Q 36Q D．﹣4Q 2Q﹣3Q 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 第2节 库仑定律 内 容 导 航 题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换） 题型2 点电荷及其条件 题型3 库仑定律的适用范围 题型4 库仑定律的表达式及其简单应用 题型5 库仑扭秤实验和静电力常量 题型6 多个库仑力的合成 题型7 库仑力作用下的受力平衡问题 题型8 库仑力作用下的加速度问题 题型9 三（多）个点电荷在一条直线上时的平衡问题 题型10 多个点电荷不在一条直线上时的平衡问题 题型11 两个或多个带电体在库仑力作内力情况下一起运动 题型12 点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场 题型13 电势的定义、单位和物理意义及用定义式计算电势 题型14 等势面及其与电场线的关系 考 点 演 练 题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换） 解｜题｜知｜识 对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即 化简得到：GM＝gR2 其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。 【典例1】如图所示，假设地球质量分布均匀，其质量为M，地球外B点有一质量为m的质点，B点到球心O的距离为r。已知该质点受到地球对它的万有引力大小为F＝，其中G为引力常量。类比电场强度的定义式，可以推知地球在B点的引力场强度大小E'为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意，地球在B点的引力场强度大小 E′＝＝＝ 故B正确，ACD错误。 故选：B。 题型2 点电荷及其条件 解｜题｜知｜识 1.定义：当带电体之间的距离比他们自身的大小大得多，以致带电体的大小及形状对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。 2.点电荷是理想化模型 只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。 3.将带电体看成点电荷的条件 如果带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响很小，就可以忽略这些次要因素，只保留对研究的问题起关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。 4.注意区分点电荷与元电荷 （1）元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。 （2）点电荷只是不考虑带电体的大小，形状及电荷分布状况，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。 【典例1】关于电荷，下列说法正确的是（　　） A．质子或电子就是元电荷，物体所带的电荷量可以是任意数值 B．小的带电体就是点电荷，库仑定律适用于它们之间作用力的求解 C．摩擦起电就是人类创造了电荷 D．感应起电是导体中的自由电荷发生了转移 【答案】D 【解答】解：A、元电荷是电荷量的最小单位，其值为1.6×10﹣19C，质子或电子是实物粒子，本身不是元电荷，物体所带电荷量必须是元电荷的整数倍，故A错误； B、点电荷是理想化模型，能否视为点电荷取决于带电体的大小与距离的比值是否足够小，不是只要体积小，库仑定律适用于点电荷间的相互作用，故B错误； C、摩擦起电是电荷的转移，故C错误； D、感应起电时，导体中的自由电荷在电场力作用下重新分布，导致电荷转移，故D正确。 故选：D。 【变式1】电学是物理学中一个重要的分支，下列说法正确的是（　　） A．点电荷就是体积极小的电荷，体积较大的带电体不能被看作点电荷 B．密立根最早测算出了元电荷的数值 C．电场是物质存在的一种形式，因此描述电场的电场线也是真实存在的 D．物体带电的本质是得失电子，因此自然界实际只存在负电荷一种电荷 【答案】B 【解答】解：A、点电荷是理想化模型，能否视为点电荷取决于研究问题中带电体的形状和大小是否可忽略，并非仅由体积决定，故A错误； B、密立根通过油滴实验首次精确测定了元电荷的数值，故B正确； C、电场是物质存在的一种形式，为了定性描述电场，引入了电场线，电场线是假想的，不是真实存在的，故C错误； D、物体带电的本质是得失电子，但自然界存在正电荷和负电荷两种电荷，故D错误。 故选：B。 【变式2】物理学引入“点电荷”概念，从科学方法上来说是属于（　　） A．观察实验的方法 B．控制变量的方法 C．等效替代的方法 D．建立物理模型的方法 【答案】D 【解答】解：“质点”、“点电荷”等都是为了研究问题简单而引入的理想化模型，所以它们从科学方法上来说属于理想化模型，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式3】如图甲所示，真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q（未画出）在周围空间产生电场，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2m和0.7m。在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。忽略A、B间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．B点的电场强度大小为0.25N/C B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向 C．点电荷Q的位置坐标为0.3m D．点电荷Q是正电荷 【答案】C 【解答】解：AB.由A处试探电荷的图线可得，该处的电场强度为＝N/C＝4×105N/C，方向水平向右；同理可得B处的电场强度为＝N/C＝0.25×105N/C，方向水平向左，故AB错误。 CD.由AB的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设到A点距离为l，由点电荷电场强度公式可得＝4×105N/C，＝0.25×105N/C，联立解得l＝0.1m，所以点电荷Q的位置坐标为0.3m，故C正确，D错误。 故选：C。 题型3 库仑定律的适用范围 解｜题｜知｜识 1、库仑定律只适用于真空中的静止点电荷，但在要求不很精确的情况下，空气中的点电荷的相互作用也可以应用库仑定律． 2、当带电体间的距离远大于它们本身的尺寸时，可把带电体看做点电荷．但不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞．其实在这样的条件下，两个带电体已经不能再看做点电荷了． 3、对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离． 4、对两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布． 【典例1】关于库仑定律，下列说法正确的是（　　） A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体 B．根据F＝k，当两个带电体间的距离趋近于零时，库仑力将趋向于无穷大 C．所带电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力是A受到的静电力的3倍 D．库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷 【答案】D 【解答】解：A、如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计，即可将它当成一个几何点，则这样的带电体就是点电荷，故A错误； B、两个带电体间的距离趋近于零时，带电体已经不能看成点电荷了，则库仑定律已经不再适用了，故B错误； C、根据牛顿第三定律可知，B受到的静电力和A受到的静电力大小相等，故C错误； D、库仑定律的适用条件是真空中静止的点电荷，故D正确； 故选：D。 【变式1】（多选）如图所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个质量为m电荷量为+q且可视为质点的小球A。悬点O的正下方固定一体积较大的金属球B，其所带电荷量为+Q，小球A与金属球B的球心等高，两球心的距离为r，悬线与竖直方向的夹角为θ，已知静电力常量为k，重力加速度为g，B球半径相对于两球心距离r不可忽略，则（　　） A．悬线对小球A的拉力大小为 B．金属球B对小球A的库仑力大小为 C．悬线对小球A的拉力大小为 D．金属球B对小球A的库仑力大小为mgtanθ 【答案】AD 【解答】解：体积较大的金属球B上的正电荷在A球的正电荷的电场的作用下，电荷分布发生了重新排布，不能认为电荷集中于B的球心，因此，小球A受到的库仑力不等于，以小球为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件有 ， 则 F＝mgtanθ， 故AD正确，BC错误。 故选：AD。 题型4 库仑定律的表达式及其简单应用 解｜题｜知｜识 1．内容：在真空中两个静止的点电荷间的作用力跟它们的电量的乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上． 2．表达式：F＝k，式中k表示静电力常量，k＝9.0×109N•m2/C2． 3．适用条件：真空中的静止点电荷． 【典例1】两个分别带有电荷量﹣Q和+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F．两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为（　　） A．F B．F C．F D．12F 【答案】A 【解答】解：相距为r时，根据库仑定律得： F＝K； 接触后，各自带电量变为Q′＝＝Q，则此时 F′＝K 两式联立得F′＝ F，故A正确，BCD错误， 故选：A。 【变式1】如图所示，把系在丝线上的带电小球A挂在铁架台的P点，带电球C置于铁架台旁。小球A静止时与带电球C处于同水平线上，丝线与竖直方向的夹角为α。已知小球A的质量为m，重力加速度为g，不计丝线质量，则可知小球A受到的静电力的大小为（　　） A．mgsinα B．mgtanα C． D． 【答案】B 【解答】解：对小球A受力分析，如图所示： 根据共点力平衡可知：＝tanα，解得：FC＝mgtanα，故B正确，ACD错误； 故选：B。 【变式2】小张同学在空气干燥的教室里进行一个小实验，将一塑料绳撕成细丝后，一端打结，做成“水母”的造型，用毛巾顺着细丝向下捋几下，同样用毛巾来回摩擦PVC（塑料）管。将“水母”抛向空中，然后把PVC管从下方靠近它，直到“水母”处于悬停状态，则（　　） A．PVC管带电方式属于感应起电 B．“水母”在空中悬停时，PVC管对它向上的静电力大于它所受重力 C．用毛巾摩擦后，“水母”与PVC管带异种电荷 D．PVC管与“水母”相互靠近过程中，两者间相互作用力变大 【答案】D 【解答】解：A．由题可知，用毛巾顺着细丝向下捋几下，同样用毛巾来回摩擦PVC（塑料）管，从而使PVC管带电，这种方式属于摩擦起电，故A错误； B．根据平衡条件得“水母”在空中悬停时，PVC管对它向上的静电力等于它所受重力，故B错误； C．用PVC管从下方靠近“章鱼”，直到“章鱼”处于悬停状态，说明二者带有同种电荷，相互排斥，故用毛巾摩擦后，“章鱼”与PVC管带同种电荷，故C错误； D．PVC管与“章鱼”相互靠近过程中，距离减小，根据库仑定律表达式F＝，距离r减小，k是静电力常量，q1和 q2不变，则静电力F变大，即两者间相互作用力变大，故D正确。 故选：D。 【变式3】下列哪位科学家得到了静电力的平方反比定律（　　） A．富兰克林 B．库仑 C．奥斯特 D．安培 【答案】B 【解答】解：A．富兰克林主要研究电荷性质及雷电，没有得出静电力平方反比关系，故A错误； B．库仑通过扭秤实验定量研究了电荷间作用力，总结出库仑定律，即静电力与距离平方成反比，故B正确； C．奥斯特发现电流磁效应，没有得出静电力平方反比关系，故C错误； D．安培研究电流间作用力，提出安培定则，没有得出静电力平方反比关系，故D错误。 故选：B。 题型5 库仑扭秤实验和静电力常量 解｜题｜知｜识 一、库仑的实验： 1.实验内容：库仑做实验用的装置叫作库仑扭秤。如图所示，细银丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个小球A，另一端通过物体B使绝缘棒平衡，悬丝处于自然状态。把另一个带电的金属小球C插入容器并使它接触A，从而使A与C带同种电荷。将C和A分开，再使C靠近A，A和C之间的作用力使A远离。扭转悬丝，使A回到初始位置并静止，通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小。改变A和C之间的距离r，记录每次悬丝扭转的角度，就可以找到力F与距离r的关系，结果是力F与距离r的二次方成反比，即F∝。 在库仑那个年代，还不知道怎样测量物体所带的电荷量，甚至连电荷量的单位都没有。不过两个相同的金属小球，一个带电、一个不带电，互相接触后，它们对相隔同样距离的第三个带电小球的作用力相等，因此，可以断定这两个小球接触后所带的电荷量相等。这意味着，如果使一个带电金属小球与另一个不带电的完全相同的金属小球接触，前者的电荷量就会分给后者一半。多次重复，可以把带电小球的电荷量q分为，，••• 这样又可以得出电荷之间的作用力与电荷量的关系：力F与q1和q2的乘积成正比，即 F∝q1q2 综合上述实验结论，可以得到如下关系式 F＝ 式中k是比例系数，叫作静电力常量。 2.扭秤实验体现的物理学方法：微小量放大法。 二、静电力常量的数值： 在国际单位制中，电荷量的单位是库仑（C），力的单位是牛顿（N），距离的单位是米（ m）。通过实验测定k的数值是 k＝9.0×109N•m2/C2 【典例1】关于各图中包含的物理知识，下列说法正确的是（　　） A．图甲，橡胶棒与毛皮摩擦后，毛皮所带电荷量是元电荷的整数倍 B．图乙，导体A端带正电，B端带负电 C．图丙，A、B两点与中心电荷的距离相等，故A、B两点的电场强度相同 D．图丁，利用库仑扭秤实验装置探究带电小球间库仑力大小相关因素时需要测出小球电荷量 【答案】A 【解答】解：A、和毛皮摩擦过的橡胶棒带负电，则是因为橡胶棒得到了电子带负电，则毛皮失去了电子带正电，元电荷是物体带电荷量的最小单位，所以毛皮所带电荷量一定是元电荷的整数倍，故A正确； B、导体棒AB处在正电荷的电场中，其中A端接地，根据感应带电规律可知，A端带负电，B端不带电，故B错误； C、电场强度是矢量，在图丙中，A、B两点与中心电荷的距离相等，故A、B两点的电场强度大小相同，但方向不同，故C错误； D、图丁，利用库仑扭秤实验装置探究带电小球间库仑力大小相关因素时是根据接触带电的特点，让小球所带电荷量成比例的减少的，所以不需要测出小球电荷量，故D错误。 故选：A。 【变式1】如图所示的实验装置为库仑扭秤．细银丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个带电的金属小球A，另一端有一个不带电的球B，B与A所受的重力平衡，当把另一个带电的金属球C插入容器并使它靠近A时，A和C之间的作用力使悬丝扭转，通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小，便可找到力F与距离r和电量q的关系．这一实验中用到了下列哪些方法（　　） ①微小量放大法 ②极限法 ③控制变量法 ④逐差法． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解答】解：当小球C靠近小球A时，旋转小角度，因此通过微小放大，能比较准确的测出转动角度。同时体现了控制变量法，即控制了电荷量，去研究库仑力与间距的关系，故C正确，ABD错误。 故选：C。 题型6 多个库仑力的合成 解｜题｜知｜识 两个点电荷之间的作用力不受其他电荷的影响。如果一个点电荷受到其他多个点电荷的作用，可以根据矢量合成的方法，如平行四边形法则，求出这个点电荷受到的合力。 【典例1】如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知A、B都带正电荷，A所受B、C两个电荷的静电力的合力如图中FA所示．那么可以判定点电荷C所带电荷的电性为（　　） A．一定是正电 B．一定是负电 C．可能是正电，也可能是负电 D．无法判断 【答案】B 【解答】解：对A电荷受力分析，B对A的是库仑斥力，沿AB的连线向上。C如果是正电荷，则C对A的库仑斥力沿CA连线向上，这两个斥力的合力是向上的，不可能偏向右。只有C带负电，C对A的库仑引力沿AC连线向下，与B对A的作用力的合力才偏向右侧，故C一定带负电，故B正确，ACD错误。 故选：B。 题型7 库仑力作用下的受力平衡问题 解｜题｜知｜识 本考点旨在针对带电体在有库仑力存在时的平衡问题。注意这个考点下只针对点电荷之间的作用力，不含电场类问题。 【典例1】如图所示，质量分别为mA和mB的两个带电小球，电荷量分别为qA和qB，用绝缘细线悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平位置，细线与竖直方向间夹角分别为θ1与θ2（θ1＞θ2），A、B两球对细线的拉力分别为TA和TB。则（　　） A．两小球带异种电性 B．qA：qB＝1：1 C．mA：mB＝tanθ1：tanθ2 D．TA：TB＝sinθ2：sinθ1 【答案】D 【解答】解：A.因为平衡时，A球向左偏，则A的受力情况如下： 由此可知，AB间的库仑力为斥力，因此AB两小球带同种电荷，故A错误； B.两个小球间的库仑力是相互作用力，总是大小相等，与两小球带电量大小无关，因此无法求出两球间电量的关系，故B错误； CD.由A中图可知，A球受到库仑斥力、绳子拉力、重力而处于平衡状态，由平衡条件得： F＝mAgtanθ1，F＝TAsinθ1， 同理，对于B也有： F＝mBgtanθ2，F＝TBsinθ2， 联立可得： ，，故C错误，D正确； 故选：D。 【变式1】在光滑绝缘斜面上有带电小球a与b，两球同时释放瞬间，b球的加速度刚好为零，则下列关于a、b的电性及初始位置，不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意分析可知，带电小球b在光滑绝缘斜面上，对其受力分析，受重力、支持力和带电小球a对它的库仑力。两球同时释放瞬间，b球的加速度刚好为零，即带电小球a对它的库仑力与重力和支持力的合力平衡，故带电小球a对小球b的库仑力沿斜面向上。综上所述只有B图不符合要求，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式2】如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力分别为FA和FB；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为FA′和FB′，则（　　） A．FA＝FA′，FB＞FB′ B．FA＝FA′，FB＜FB′ C．FA＜FA′，FB＜FB′ D．FA＞FA′，FB＞FB′ 【答案】A 【解答】解：根据题意分析可知，设两球质量均为m，两球不带电时，根据两球整体受力平衡有FA＝2mg 根据B球受力平衡有FB＝mg 两球带上异种电荷时，设两球间的库仑力大小为F，根据两球整体受力平衡有FA'＝2mg 根据B球受力平衡有FB'+F＝mg 解得FB'＝mg﹣F 所以FA＝FA'，FB＞FB'，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】如图所示，一个带电球体M放在绝缘支架上，把系在绝缘丝线上的带电小球N先后挂在横杆上的P1、P2和P3处。当小球N静止时，观察丝线与竖直方向的夹角。通过观察发现：当小球N挂在P1时，丝线与竖直方向的夹角最大；当小球N挂在P3时，丝线与竖直方向的夹角最小。根据三次实验结果的对比，可知（　　） A．小球N距球体M越近，它们之间的静电力越小 B．在距球体M越远的位置，M产生的电场越弱 C．小球N与球体M间的作用力与它们电荷量的乘积成正比 D．小球N与球体M间的作用力与它们电荷量的乘积成反比 【答案】B 【解答】解：A．对小球N分析，根据平衡条件可知F静电＝mgtanθ，则丝线与竖直方向的夹角θ越大，静电力越大，则小球N距球体M越近，它们之间的静电力越大，故A错误； B．在距球体M越远的位置，丝线与竖直方向的夹角越小，静电力越小，则M产生的电场越弱，故B正确； CD．根据库仑定律，小球N与球体M间的距离在变化，库仑力在变化，同时因为两球的带电量不变，所以实验不能反映小球N与球体M间的作用力与它们电荷量的乘积的关系，故CD错误。 故选：B。 题型8 库仑力作用下的加速度问题 解｜题｜知｜识 两个点电荷的质量分别是m1和m2，所带的电荷量分别是q1和q2，初始距离为r，那么它们之间的库仑大小为F＝， 由库仑力产生的加速度大小分别为 a1＝ a2＝ 当两个物体相互靠近时，它们之间的库仑力增大，各自的加速度也会增大；当两个物体相互远离时，它们之间的库仑力减小，各自的加速度也会减小。 【典例1】一根放在水平面内的光滑玻璃管绝缘性能良好，内部有两个完全相同的可看作点电荷的弹性金属小球A和B，电荷量分别为+9Q和﹣Q，两小球从图示位置由静止释放，那么两小球再次经过图中原静止释放位置时，A球的瞬时加速度为释放时的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D． 【答案】A 【解答】解：可看作点电荷的弹性金属小球A和B，电荷量分别为+9Q和﹣Q，释放时A受到的库仑力为 根据牛顿第二定律可得其加速度为 当两球碰撞后，所带电荷量为 故小球A再经过原位置时，受到的库仑力为 其加速度为，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式1】如图所示，a、b为两个质量均为m、所带电荷量数值相等的小球，其中a固定在P点，b在a的库仑力作用下在空中一水平面内绕O点做半径为R的匀速圆周运动，已知O点位于P点正下方，此时OP＝R，取重力加速度为g，静电常量为k，下列说法正确的是（　　） A．小球a受到的库仑力大小为mg B．小球b的速度大小为 C．小球所带电荷量的大小为 D．小球b带负电 【答案】B 【解答】解：A.设ab间的库仑力大小为F，对b球受力分析，如图所示： 竖直方向受力平衡：Fcos45°＝mg，代入数据可得：F＝，故A错误； B.b球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可知：Fsin45°＝m，代入数据可得：v＝，故B正确； C.由库仑定律可知：F＝，又F＝，代入数据可得：q＝，故C错误； D.由题意可知小球间的库仑力为引力，故带异种电荷，无法判断小球b的电性，故D错误。 故选：B。 【变式2】质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为+q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，求： （1）三个小球一起运动的加速度大小； （2）恒力F的大小。 【答案】（1）三个小球一起运动的加速度； （2）恒力大小为。 【解答】解：（1）由题意可知B球的电荷量为+q，设C球的电荷量为﹣Q，以三个小球为研究对象受力分析如图所示 对A球沿BA方向根据平衡条件可得 解得：Q＝2q，C球带负电 设三个小球的加速度都是a，根据牛顿第二定律和库仑定律，对A球受力分析可知 解得a＝. （2）对三个小球整体进行受力分析，整体受到恒力F，根据牛顿第二定律F＝3ma 可得F＝。 答：（1）三个小球一起运动的加速度； （2）恒力大小为。 题型9 三（多）个点电荷在一条直线上时的平衡问题 解｜题｜知｜识 本考点针对的是三个点电荷在一条直线上的平衡问题。有两种类型：一是三个点电荷都不固定；二是其中两个点电荷固定。 【典例1】如图所示，在真空中同一直线上的三个点电荷A、B、C恰好都处于平衡状态，所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。已知A、B之间距离与B、C之间距离之比是3：2，除相互作用的静电力外不受其他外力作用，下列说法正确的是（　　） A．若A、B带正电，则C带负电 B．q1：q3＝25：4 C．q2：q3＝9：25 D．q1：q2＝9：4 【答案】C 【解答】解：A、根据题意分析可知，三个点电荷都处于平衡状态，A、C电性相同且与B相反，故A错误； B、根据题意分析可知，A、B与B、C之间的距离之比 根据B受力平衡可得 可得 故B错误； C、根据题意分析可知，由A受力平衡可得 可得 故C正确； D、根据题意分析可知，由C受力平衡可得 可得 故D错误。 故选：C。 【变式1】真空中有两个点电荷，Q1为4.0×10﹣8C、Q2为﹣1.0×10﹣8C，分别固定在x轴上坐标为0和6cm的位置上，则（　　） A．坐标为12cm处的合电场强度为0 B．坐标为3cm处的合电场强度为0 C．坐标为3cm处的合电场强度方向指向x轴的负方向 D．只考虑电场力，引入第三个电荷可以在坐标为5cm处平衡 【答案】A 【解答】解：A.由于正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量，因此电场强度为0的点一定在负电荷右侧，设其坐标为x，则有， 代入数据解得x＝12cm，故A正确； BC.由点电荷电场强度公式以及单个点电荷的电场强度方向可知，坐标为2cm、3cm、5cm处的合电场强度方向均指向x轴的正方向，故BC错误； D.根据库仑定律可知，第三个电荷在坐标为5cm处所受的两个库仑力大小不相等，方向不相反，无法平衡，故D错误。 故选：A。 【变式2】在绝缘水平地面上固定甲、乙两个完全相同的带电金属小球（可视为质点），甲所带的电荷量q1＝+2×10﹣5C，乙所带的电荷量q2＝﹣8×10﹣5C，两带电小球的间距L＝1m，已知静电常量k＝9.0×109N•m2/C2。下列说法正确的是（　　） A．若将两个金属小球相互接触后再放回原处，则它们之间的库仑力大小为8.1N B．若将两个金属小球相互接触后再放回原处，则它们之间的库仑力大小为7N C．若在绝缘地面上再放一带电小球丙，要使三个小球受到的电场力均为0，则丙球带电量为﹣8×10﹣6C D．若在绝缘地面上再放一带电小球丙，要使三个小球受到的电场力均为0，则丙球带电量为8×10﹣6C 【答案】A 【解答】解：AB.两相同金属球接触后电荷均分，均分后每球所带电荷为量q'＝，库仑力大小F＝，代入数据联立解得F＝8.1N，故A正确、B错误； CD.要使三个小球受到的电场力均为0，放入的小球必须带负电、并且甲球必须在两个带负电的小球之间，设丙电荷为q3，距离甲为x、则对甲分析，根据平衡条件有，对乙分析、根据平衡条件有，代入数据解得，故CD错误。 故选：A。 【变式3】相距为L的点电荷A、B带电荷量分别为+4q和﹣q，如图所示，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是（　　） A．﹣q，在A左侧距A为L处 B．﹣2q，在A左侧距A为处 C．+4q，在B右侧距B为L处 D．+2q，在B右侧距B为处 【答案】C 【解答】解：A、B、C三个电荷要平衡，必须三个电荷的一条直线，外侧二个电荷相互排斥，中间电荷吸引外侧两个电荷，所以外侧两个电荷距离大，要平衡中间电荷的拉力，必须外侧电荷电量大，中间电荷电量小，所以C必须为正电，在B的右侧。 设C所在位置与B的距离为r，则C所在位置与A的距离为L+r，要能处于平衡状态， 所以A对C的电场力大小等于B对C的电场力大小，设C的电量为Q．则有： 解得：r＝L 对点电荷A，其受力也平衡，则： 解得：Q＝4q，即C带正电，电荷量为4q，在B的右侧距B为L处。 故选：C。 题型10 多个点电荷不在一条直线上时的平衡问题 解｜题｜知｜识 1.本考点针对的是多个点电荷不在一条直线上时的平衡问题。 2.解决问题的思路与力学中的平衡问题一致。 【典例1】如图所示，在同一竖直平面内，三根不可伸长的绝缘细绳一端固定于O点，细绳OA、OB的长度均为L，另一端分别系有三个质量相同的带正电小球A、B、C，电荷量均为q。三球平衡时恰好组成一个正三角形，细绳OC沿竖直方向，细绳OA、OB与OC的夹角均为30°。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g。下列判断正确的是（　　） A．小球的质量m＝ B．小球的质量m＝ C．细绳OA与OC的拉力大小之比为 D．细绳OA与OC的拉力大小之比为1：3 【答案】B 【解答】解：AB.对B球进行受力分析，如图所示： 设OB绳上拉力为T，A、C对B球的静电力大小为F，则F＝ 对B球，由平衡条件，水平方向有 竖直方向有 联立解得拉力 小球质量，故A错误，B正确； CD.细绳OC沿竖直方向，对C球受力分析，如图所示： 由平衡条件，竖直方向有TOC＝mg+2Fcos30° 解得 由于细绳OA与OB的受力情况相同，绳上拉力大小相等； 因此细绳OA与OC的拉力大小之比为＝＝，故CD错误。 故选：B。 题型11 两个或多个带电体在库仑力作内力情况下一起运动 解｜题｜知｜识 本考点旨在针对带电体在库仑力作用下的直线运动问题，侧重点是几个带电体通过库仑力的作用一起运动的问题。不包含电场类的问题。 【典例1】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变大，加速度变小 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变大 D．速度变小，加速度变大 【答案】A 【解答】解：由于两电荷间距离增大，依据库仑定律F＝，它们之间的静电力越来越小，再由F＝ma，故加速度越来越小； 因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，加速度与速度同向，故电荷将一直做加速运动，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式1】（多选）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为+q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为v1、v2、v3，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（　　） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中小球3一定向左做直线运动 C．从图甲到图乙位置，小球3向左运动 D．在图乙位置， 【答案】BD 【解答】解：A．剪断细线之前，三个小球处于静止状态，所受的合力为零；将球1和球2间的细线剪断瞬间，小球1和3，小球2和3之间细线上的弹力发生突变，小球3受到水平向左的合力作用；当小球3运动到图乙位置时，小球3所受的合力为零，即整个过程中小球3受到的合力大小先增加后减小，故A错误； B．小球3受两边细绳的拉力总是大小相等且是对称的，则小球3向左做直线运动，故B正确； C．由于三个小球组成系统所受外力之和为零，满足动量守恒的条件，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律mv3﹣mv1﹣mv2＝0 由于小球1、2的受力情况相同，故v1＝v2，化简得v3＝2v1＝2v2 即 代入数据得，故C错误； D．三个小球组成系统能量守恒，能量守恒定律ΔEp减＝ΔEk增 即 代入数据得，故D正确。 故选：BD。 题型12 点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场 解｜题｜知｜识 1.点电荷是最简单的场源电荷，一个电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处的电场强度为E＝ 2.推导如下：如果以Q为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。Q为场源电荷电量。 3．方向：若Q是正电荷，Q和该点的连线指向该点；若Q是负电荷，Q和该点的连线值向Q。 3．使用范围：仅使用于真空中点电荷产生的电场。 4.点单荷电场的特点： 根据上式可知，如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。当Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外（图甲 ）﹔当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向内（图乙）。 即点电荷的电场是以电荷为球心向四周发散或由四周指向球心的。 5.带电球体（球壳）与点电荷等效：在一个比较大的带电体不能看作点电荷的情况下，当计算它的电场时，可以把它分成若干小块，只要每个小块足够小，就可以看成点电荷，然后用点电荷电场强度叠加的方法计算整个带电体的电场。可以证明，一个半径为R的均匀带电球体（或球壳）在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同（如下图），即 E＝ 式中的r是球心到该点的距离（ r＞R ），Q为整个球体所带的电荷量。 【典例1】如图所示，一个均匀带电球体所带电荷量为Q，在球外A点放置一个电荷量为q的检验电荷，A点到球心O的距离为r。可以证明，检验电荷受到的带电球体对它的电场力大小为F＝，其中k为静电力常量。根据电场强度的定义式，可以推知带电球体在A点的电场强度大小E为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由检验电荷受到的带电球体对它的电场力大小为F＝k 根据电场强度的定义可得：E＝＝ 故A正确，BCD错误。 故选：A。 题型13 电势的定义、单位和物理意义及用定义式计算电势 解｜题｜知｜识 1.定义：电荷在某一点的电势能与它的电荷量之比。 2.公式：φ＝ 3.单位：伏特，简称伏，符号为V，1V＝1J/C。 4.物理意义：描述电场的能的性质物理量。 5.特点： （1）电势是电场自身的性质，与试探电荷本身无关。 （2）相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势点的位置有关，一般情况下取离场源电荷无限远处或大地的电势为0. （3）标矢性：标量，有正负，正负表示大小。 6.拓展： （1）对于点电荷或均匀带电球体（球壳），周围的电势满足φ＝k （2）因为电势是标量，正负代表大小，同样以无限远处为零电势点的情况下，正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负，且越靠近正电荷，电势越正（大），越靠近负电荷，电势越负（小）。 【典例1】如图所示为两个等量异种点电荷所形成电场的一部分电场线，P、Q是电场中的两点。下列说法中正确的是（　　） A．P点场强比Q点场强大 B．P点电势比Q点电势低 C．电子在P点的电势能比在Q点的电势能小 D．电子从P沿直线到Q的过程中所受电场力恒定不变 【答案】C 【解答】解：A、电场线密的地方电场的强度大，则P点场强比Q点场强小，故A错误； B、沿电场线的方向，电势降低，故φP＞φQ，故B错误； C、电子从P点到Q点，即从电势高到电势低，则电势能增加，那么P点的电势能比在Q点的电势能小，故C正确； D、因两点的电场强度不同，则电子从P沿直线到Q的过程中所受电场力是变化的，故D错误； 故选：C。 题型14 等势面及其与电场线的关系 解｜题｜知｜识 1．定义：电场中电势相等的点组成的面（平面或曲面）叫做等势面． 2．特点： ①等势面与电场线一定处处正交（垂直）； ②在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功； ③电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面； ④任意两个电势不相同的等势面既不会相交，也不会相切； ⑤等差等势面越密的地方电场线越密． 【典例1】如图所示，带电粒子在匀强电场中以初动能20J穿过等势面L3，到达等势面L1时速度为零，三个等势面等距，且U2＝0，当此带电粒子的电势能为6J时，它的动能为（　　） A．4J B．6J C．14J D．16J 【答案】A 【解答】解：从L3到L1，根据动能定理得W31＝0﹣Ek3＝﹣20J，可知从等势面L3处运动到L1处电势能增加20J。 由题可知，L2为零势面，则L1处电势能与L3处电势能绝对值相等且一正一负，故L1处电势能为10J，L3处电势能为﹣10J，则L3处电势能和动能之和为10J。在运动的过程中，电荷的电势能和动能之和保持不变，所以电荷的电势能为6J时它的动能为4J。故A正确，BCD错误。 故选：A。 过 关 验 收 1．真空中有两个固定的带正电的点电荷Q1和Q2，以及一个可以自由移动的试探电荷q。当q置于Q1、Q2连线上某点时，恰好处于平衡，已知Q1＞Q2，则（　　） A．q离Q2比离Q1远 B．q离Q2比离Q1近 C．q一定是正电荷 D．q一定是负电荷 【答案】B 【解答】解：当q置于Q1、Q2连线上某点时，恰好处于平衡，可知该电荷q可能带正电，也可能带负电， 根据平衡条件和库仑定律得， 已知Q1＞Q2，所以r1＞r2，即q离Q2比离Q1近，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．如图所示，在直角三角形ABC的顶点A、B分别固定有点电荷Q1、Q2，现将一试探电荷q固定于顶点C，测得q所受电场力与AB边垂直。已知AB：AC：BC＝5：4：3，则（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】A 【解答】解：根据试探电荷q受到的电场力方向，可以判断出点电荷Q1、Q2对q的电场力分别为F1和F2，如图 根据库仑定律，有 根据几何关系AB：AC：BC＝5：4：3 可知：∠A＝37°， 两式联立，代入数据可得：，故A正确，BCD错误； 故选：A。 3．如图所示，均可视为质点的三个物体A、B、C在倾角θ＝30°的光滑绝缘斜面上，A绝缘，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，质量分别为mA＝0.43kg，mB＝0.20kg，mC＝0.50kg，其中A不带电，C的电荷量qC＝+7×10﹣5C且保持不变，开始时BC间的距离L＝2m，三个物体均能保持静止。现给A施加一平行于斜面向上的力F，使A沿斜面做匀加速直线运动，经过时间t，向上运动1m，向上力F变为恒力，已知静电力常量为k＝9.0×109N•m2/C2，g取10m/s2。求： （1）B的电荷量和电性； （2）A做匀加速的加速度大小； （3）F从变力到恒力需要的时间t； （4）F变为恒力时的大小。 【答案】（1）B的电荷量，带正电； （2）A做匀加速的加速度大小为2.0m/s2； （3）F从变力到恒力需要的时间为1.0s； （4）F变为恒力时的大小为3.01N 【解答】解：（1）C带正电，由于开始时三个物体均能保持静止，则BC之间斥力，所以B带正电。 A、B、C静止时，以AB为研究对象，受力分析有 代入数据解得： （2）A向上运动1m，向上力F变为恒力，经分析知AB分离时两者之间弹力恰好为零，此后F变为恒力，即此时B向上运动了1m，对B由牛顿第二定律得 其中l＝L+1m＝3.0m 解得a＝2.0m/s2 （3）由匀加速运动规律得 解得t＝1.0s （4）在分离时刻，对A由牛顿第二定律有 F﹣mAgsinθ＝mAa 解得：F＝3.01N 答：（1）B的电荷量，带正电； （2）A做匀加速的加速度大小为2.0m/s2； （3）F从变力到恒力需要的时间为1.0s； （4）F变为恒力时的大小为3.01N 4．如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电介质小球a、b，左边放一个带正电的固定球+Q时，两悬球都保持竖直方向。下面说法中正确的是（　　） A．a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大 B．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大 C．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小 D．a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小 【答案】C 【解答】解：存在+Q球时，对a、b球受力分析，由于悬线都沿竖直方向，说明水平方向各自合力为零， 说明a球带负电，而b球带正电， a、b作为整体得+Q对a、b的水平方向的库仑力大小相等方向相反。 根据F＝得，a离+Q近点，所以a球带电荷量较小，b球带电荷量较大。故A、B、D错误，C正确。 故选：C。 （多选）5．如图小滑轮O正下方B点用绝缘底座固定一电荷量为q的带正电的小球1，弹性绳一端悬挂在D点，另一端与质量为m的带电小球2连接，小球2恰好在A位置平衡，OA＝OB＝l，OA与竖直方向的夹角为60°。由于弹性绳的绝缘效果不是很好，小球2缓慢漏电，一段时间后，当滑轮下方的弹性绳与竖直方向夹角为30°时，小球2恰好在AB连线上的C位置。已知静电力常量为k，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球2带负电 B．小球2在A位置时，弹性绳的弹力小于mg C．小球2在C位置受到库仑力小于A位置受到库仑力 D．小球2在C位置时所带电荷量为 【答案】CD 【解答】解：A、对小球2受力分析，两个小球间的库仑力为排斥力，小球2带正电，故A错误； B、小球2在A位置时，受力如图所示 结合合成原则可知，弹性绳的弹力F1＝mg，故B错误； C、小球2在A位置时，两小球之间的库仑力为FQ1＝mg 小球2在位置C时，受力如图 弹性绳拉力为 两小球的库仑力为，故C正确； D．小球2在位置C时则 代入数据可得q2＝，故D正确。 故选：CD。 （多选）6．把一带正电小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使小球a能静止在如图所示的位置上，需在MN间放一带电小球b，则球b可能（　　） A．带正电，放在A点 B．带负电，放在A点 C．带负电，放在C点 D．带正电，放在C点 【答案】AC 【解答】解：小球a处于平衡状态，受力平衡，合力为零。小球受重力，一定向下， 当小球b带正电，放在A点时，它们之间为静电斥力，当a球的重力和静电斥力恰好相等时，a球就可以处于静止状态，所以A正确，D错误； 当电荷之间为吸引力时，根据平衡条件，静电引力必然与重力和支持力的合力等大、反向且在同一条直线上，故应该放在C点，所以B错误，C正确； 故选：AC。 7．下列各组共线的三个自由电荷，可以平衡的是（　　） A．4Q 4Q 4Q B．4Q 5Q 3Q C．9Q﹣4Q 36Q D．﹣4Q 2Q﹣3Q 【答案】C 【解答】解：AB、假设A、B都是正电荷，C必定要带负电，并且在AB电荷之间，由于B的电荷量较小， 根据上述规律可知，由平衡条件和库仑定律有：两边电荷的电性是相同，中间电荷电性相反，两边的电量均大于中间电量，即“两同夹异，两大夹小”，故AB错误； CD、再依据各自电荷处于平衡状态，则有：，即有：，故C正确，D错误； 故选：C。 学科网（北京）股份有限公司 $