限时训练卷11　导数及其应用-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数核心考点，从基础运算到综合应用，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，强化数学思维与推理能力、应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择9、填空12、解答15|导数公式与运算法则直接应用|从导数定义到基本公式，形成运算技能| |几何意义|选择1、6、解答17(1)、19(1)|切线方程求解及切线与曲线交点|导数几何意义与函数图像结合，体现数形结合| |函数性质|选择2、3、10、填空13、解答16、18|单调性判断、极值最值求解|导数与函数单调性、极值关系，构建性质研究框架| |综合应用|选择4、5、7、8、11、填空14、解答17(2)、19(3)|不等式恒成立、方程根、双变量问题|综合导数工具与函数性质，培养数学建模与逻辑推理|

2027年高考一轮限时训练卷11　导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·福建南平·期末）若曲线在点处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 4．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最大值为（   ） A．1 B． C．-1 D．0 5．（25-26高三·吉林·期末）已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·辽宁朝阳·期末）已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三·吉林长春·期末）定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数，若存在两个不等正数，，满足，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·江苏无锡·阶段检测）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·广西来宾·期末）已知函数在有极大值，则（   ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．方程有且只有一个实数解，则或 D．当时， 11．（25-26高三·广东深圳·期末）函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．是的极小值点 C．当时，函数有个零点 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·上海·三模）已知，则________． 13．（25-26高三·陕西商洛·期中）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为________. 14．（2026高三下·全国·专题练习）已知方程有四个不等的实数根，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·北京延庆·期末）求下列函数的导数． (1)①；②；③． (2)①；②． (3)①；②；③． 16．（25-26高三·甘肃武威·期末）已知函数 ． (1)求； (2)求函数 的单调区间； (3)求函数 在区间上的最大值和最小值． 17．（25-26高三·北京延庆·期末）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，成立，求的取值范围. 18．（25-26高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 19．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)当函数有两个极值点时，若恒成立，求的最大整数值.（参考数据：） 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷11　导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·福建南平·期末）若曲线在点处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，； ，，则切点， 曲线在点处的切线方程为，即； ，解得. 2．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式化为，转化为分析的最值，换元后使用导数求解. 【详解】， 令，，则函数转化为，， ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，最大值为，当时，最小值为0， 故，则， 当，时等号成立， 所以的最小值为：. 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 4．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最大值为（   ） A．1 B． C．-1 D．0 【答案】B 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，并求得其最大值，即可求得实数a的最大值. 【详解】令，则. 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 由不等式对任意恒成立， 得，所以，故实数a的最大值为. 5．（25-26高三·吉林·期末）已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】，使得可化为，使得，即. 令，，则. 令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为. 故a的取值范围是. 6．（25-26高三·辽宁朝阳·期末）已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求曲线在点处的切线方程，再令切线方程与相等并化简，最后通过判断化简后函数的单调性和零点情况确定公共点个数. 【详解】因为，所以， 则，又因为，所以曲线在点处的切线方程为： ，即，由， 得，令，则， 由于恒成立，故，因此在上是严格单调递增函数， 而，所以曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为1． 7．（25-26高三·吉林长春·期末）定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】构造函数，，则， 由于，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 而，所以， 所以， 则不等式等价于， 故，即，所以不等式的解集为. 8．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数，若存在两个不等正数，，满足，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导确定单调区间，然后通过构造函数证明恒成立. 【详解】的定义域为，. 当时, ，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 且，且当时，，时 ， 故在上递减，在上递增，最小值为. 若存在使，则、必位于的两侧，不妨设. 令，， 则， 即在上恒成立， 即在上单调递增， 又，所以当时，，即， 令，则， 又，即， 又，，且在上单调递增， 所以，即，故A错误，B错误； 令，. 则， 所以在上单调递减，故，即. 令，得， 又，所以. 由于，，且在单调递增， 故，即.因此C正确，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·江苏无锡·阶段检测）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数的四则运算和复合函数运算进行判断． 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C错误； D选项，根据复合函数求导法则可得，故D正确． 10．（25-26高三·广西来宾·期末）已知函数在有极大值，则（   ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．方程有且只有一个实数解，则或 D．当时， 【答案】BD 【分析】对于A，通过题目条件求出函数的具体表达式，从而求出c的值；对于B，利用导数求出切线方程，对于C求出函数的单调区间从而画出函数图像进行求解；对于D，利用函数的单调性进行求解. 【详解】对于A，由题可得，则， 因为为极值点，因此，解得或， 当时，， 令，则或， 当时，，当时，，当时，， 因此时，为极小值点，不合题意； 当时，， 令，则或， 当时，，当时，，当时，， 故为极大值点，因此，故A错误； 对于B，，所以切点为,斜率， 切线方程为，即，故B正确. 对于C，根据上述分析可得在与上单调递增，在上单调递减，故函数图像为 通过图像我们发现或时，就有且仅有一个解， 因此或，故C错误； 对于D，当时，， 又因为在上单调递增，所以，故D正确. 11．（25-26高三·广东深圳·期末）函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．是的极小值点 C．当时，函数有个零点 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】对于A：根据奇函数定义和性质求函数的解析式；对于B：求导，利用导数分析函数在内的单调性和极值；对于CD：根据奇函数的定义结合选项B可得函数的图象，根据图象分析判断. 【详解】对于A：因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，则，可得，故A正确. 对于B：当时，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增；在上单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C： 当时，由选项B可知：在内单调递增；在内单调递减， 则，且当x趋近于时，趋近于0， 结合奇函数性质可得函数的图象，如图所示，    由图象可知：当时，与的图象有3个不同的交点， 即函数有3个零点，故C错误； 对于D：由可得或， 由图象可得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·上海·三模）已知，则________． 【答案】 【分析】对求导，再将代入计算即可. 【详解】， 所以， ， 所以为. 13．（25-26高三·陕西商洛·期中）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】将原等式变形，根据导数的定义得到，进而求得函数解析式，然后化简不等式求得解集即可. 【详解】由题意得，所以. 令，则，因为，所以， 所以，所以不等式等价于，解得. 14．（2026高三下·全国·专题练习）已知方程有四个不等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由图象确定参数的取值范围，然后利用求根公式将所求表示为关于的函数借助导数求解取值范围. 【详解】根据题意可以得到函数的图象为 由图象可以知道的取值范围是. 且是方程的两个根，由求根公式可以知道， ， 同理，是方程的两个根 ， 所以 所以， 对求导有， 令. 所以在上单调递增，在上单调递减 所以当时，最大，此时 当时，，当时， 所以， 即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·北京延庆·期末）求下列函数的导数． (1)①；②；③． (2)①；②． (3)①；②；③． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② (3)①；②；③ 【分析】（1）（2）利用导数的运算法则求出导数. （3）利用复合函数导数运算法则求出导数. 【详解】（1）①；②；③. （2）①；②. （3）①；②； ③. 16．（25-26高三·甘肃武威·期末）已知函数 ． (1)求； (2)求函数 的单调区间； (3)求函数 在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为 和，单调递减区间为 (3)最大值为2，最小值为 【分析】（1） 直接根据求导公式求导； （2）利用导数求函数单调区间； （3）根据函数单调性求极值，即可得解. 【详解】（1）． （2）令，得或， 当或 时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 故函数的单调递增区间为 和，单调递减区间为； （3）根据（2），函数在区间上单调递增，在上单调递减， ，，． 故函数的最大值为2，最小值为． 17．（25-26高三·北京延庆·期末）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出函数的导函数并代入得到切线斜率，再算出确定切点坐标，最后用直线的点斜式整理得到切线方程； （2）先对求导得到含参数的导数函数，通过分类讨论的不同取值范围，分析导函数的正负以确定在时的单调性，进而验证是否恒成立，最终筛选出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 因，即切点为 ， 又，则切线斜率 ， 则曲线在点处的切线方程为. （2）当时，对任意，恒成立，则在上单调递增， 又，则当时， ，符合题意； 当时，，分子是开口向下的二次函数， 则存在，使得当时，当时 ， 即函数在处先增后减，当足够大时，增长远慢于负项， 则必然存在 使得 ，不符合题意. 综上，的取值范围是. 18．（25-26高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求导后分类讨论求函数的单调区间； （2）根据函数的单调性讨论函数的极小值，建立不等式求解即可. 【详解】（1）定义域为，， 当时，或，， 单调增区间为，，单调减区间为； 当时，，在上是增函数； 当时，或；， ∴的单调增区间为，，单调减区间为. 综上，时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知时，的极小值为， 令，即，解得； 当时，无极值，不符合题意； 当时，的极小值为，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 19．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)当函数有两个极值点时，若恒成立，求的最大整数值.（参考数据：） 【答案】(1) (2)当时，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为； (3) 【分析】（1）当时，求出，然后得到切点坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化为求函数最值求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，故切点坐标为， 又，所以， 故切线的斜率为，由点斜式可得，即， 故曲线在点处的切线方程为； （2）的定义域为， 又， 当，即时，在上恒成立， 故在上单调递减； 当，即， 令，解得， 若时，则当或时，， 当时，， 所以在上单调递减， 在上单调递增； （3）由（2）可知，当时，有两个极值点， 由韦达定理得，代入计算得， 即需满足，对于恒成立，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，故在单调递增， ， ， 故存在，使得，即， 此时在单调递减，在单调递增， ，由，得， ，， ，故，故k的最大整数值为 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $