限时训练卷10 函数及其性质、指对幂函数-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数性质与指对幂函数，通过基础辨析、情境应用及综合问题构建知识网络，发展数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数性质基础|单选1-3、多选9|概念辨析与简单应用|从函数定义到奇偶性、单调性，构建性质认知链| |指对幂函数应用|单选4、填空12|实际情境与运算|结合指对运算、幂函数单调性，体现数学语言表达现实问题| |函数综合问题|单选5-8、多选10-11、解答15-19|多性质交汇与方程转化|以零点比较、方程根问题为载体，渗透函数与方程思想，发展逻辑推理能力|

2027年高考一轮限时训练卷10　函数及其性质、指对幂函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】注意到，即， 消去3得：，故设， 因为，所以 此时， 在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 由三角函数的对称性知，最小值在时取得，为，所以值域是. 2．（25-26高三·广东揭阳·期末）已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，即，故选项A正确. 3．（25-26高三·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 4．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 5．（25-26高三·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 6．（25-26高三·江西上饶·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在上的值域，利用二次函数性质求出函数在上的值域，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】对任意的，存在唯一的，使得， 则函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 函数的图象关于对称，当时，， 函数，，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，则， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 7．（25-26高三·辽宁本溪·期末）已知函数为偶函数，且满足，当时，，则（    ） A．0 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先利用赋值代入结合函数奇偶性求出 、，代入确定 ；再由条件推出周期性，即可求值． 【详解】在 中令 ，得 ，所以 ． 因为 为偶函数，所以 ． 再令 ，得 ，解得 ． 因为 ，且当时，， 所以即解得 ，． 于是当 时，，易得． 因，又由 为偶函数，可得 ． 则有 ，进而故 是函数的一个周期， 故 8．（25-26高三上·上海·期末）函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数值域的性质结合分离参数法得到，再得到时，，最后利用二次函数的性质分类讨论对称轴的位置，建立不等式，求解取值范围即可. 【详解】因为的值域为， 所以当时，恒成立， 而，则，即， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 当时，，可得， 因为，所以， 而，可得，且的值域为， 则当时，， 由二次函数性质得的对称轴为，， 当时，解得，此时，解得， 可得实数的取值范围是， 当时，解得，此时， 可得实数的取值范围是， 综上可得，实数的取值范围是，故B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·山西·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．已知是一次函数且，则 B．与表示同一个函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 【答案】ABD 【分析】根据待定系数法求解函数解析式判断A；根据同一函数及对数函数的定义判断B；根据抽象函数的定义域判断C；根据函数的定义即可判断D． 【详解】A，因为是一次函数，可设， 所以，即， 所以解得所以，A正确； B，与的定义域均为， 又， 所以对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确； C，函数的定义域为， 由，得，则函数的定义域为，故C错误； D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确． 10．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】ABD 【详解】当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，A正确； 当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，B正确； 当时，图像如下所示： 由图可知，不存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，C错误； 当时，图像如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，D正确. 11．（25-26高三·吉林·期末）设函数，则（     ） A． B．当时， C．方程有3个不等的实根 D．若方程有2个不等的实根，则或或 【答案】ACD 【分析】A.依据分段函数的递推定义，将转化为，代入第一段表达式计算即可判断； B.根据x的取值范围，将x-3代入第一段解析式，乘化简后验证表达式是否正确； C.分段梳理的图象与取值范围，结合对数函数的单调性，判断两函数图象交点总数； D.分区间讨论直线与分段函数图象的交点个数，对应得出斜率k的取值范围. 【详解】选项 A，，，因此， A 正确； 选项 B，当时，，满足， 因此，故，B 错误； 选项 C，分析与的图象交点情况： 是上的单调递增函数，在时，， 即图象上每一个点向右平移3个单位，纵坐标变为原来的， ：，，仅处，无交点. ：从递减到，从递增到，由零点存在定理，有个交点， ：从递增到，从递增到，有个交点. ：从递增到，时，，恰好，为第个交点， ：，，无交点， 综上，方程共个不等实根，C 正确； 选项 D，分析直线与的图象的交点个数： 当时，若方程有两个实根，显然是方程的一个实根，当时显然无实根， 因为时，，解方程得，解得； 当时，方程有无数个实根，不符合题意； 当时，若方程有两个实根，显然是方程的一个实根，当时显然无实根， 因为曲线在处的切线斜率为2，又， 由图可知，时，交点横坐标在，满足题意， 由于，由图可知，当时，交点横坐标在，也满足题意，所以D 正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·专题训练）函数的单调递增区间为___________. 【答案】 【分析】应用换元法结合对数函数单调性及复合函数单调法则计算判断求解. 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当时，由，得， 所以函数的单调递增区间是. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 【答案】0 【分析】根据题中函数奇偶性，得出函数的周期为4且，可求出结果. 【详解】根据题意知为偶函数，为奇函数， 所以， ， ， 可得， 所以，则是以4为周期的函数， 又因为奇函数，令，可得， 所以. 14．（25-26高三·广东深圳·期末）若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】构造函数，利用偶函数的性质，将问题转化成在区间上有2个零点，令，结合条件得有2个正根，再利用二次方程根的分布，即可求解. 【详解】令，则有4个零点， 由，当时，定义域为， 当时，，所以或，则的定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 则在正负半轴的定义域区间上各有个零点，且不是零点， 当在正半轴的定义域区间上时，，有2个零点， 令，则，消得， 即，因为，，所以， 则，所以， 则有2个正根，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据幂的运算法则和对数运算法则计算； （2）根据根式的定义与对数的运算法则、换底公式计算； （3）利用对数的运算法则、换底公式和根式的定义计算. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 16．（25-26高三·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 17．（25-26高三·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 18．（25-26高三·山东临沂·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域求解即可. （2）根据函数的对称性求解即可. （3）根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，即，解得或， 得到的定义域为． （2）由（1）可知，的定义域为. 因为函数的图象关于直线对称，所以， 则，即， 所以， 从而，解得，故，． （3）①当时，， 易知在和在上均单调递增， 由复合函数的单调性知在为增函数， 则等价于，即， 记，显然为上的增函数，，所以． ②当时，， 此时，， 所以当时，成立， 综上所述，不等式的解集为． 19．（2026高三上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明： 由（1）可知，， 任取，且， 则， ，又， 在上单调递增； (3) 【分析】（1）根据求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）令，，转化为在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）为定义域为的奇函数， ，即， ，整理得，，解得， 故， 函数的定义域为，则，解得， 所以，； （2）略 （3）当时，，由可得， 即当时，，令， 则， 又，当且仅当时等号成立，所以， 则， 实数m的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷10　函数及其性质、指对幂函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·广东揭阳·期末）已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高三·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 4．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 5．（25-26高三·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·江西上饶·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·辽宁本溪·期末）已知函数为偶函数，且满足，当时，，则（    ） A．0 B． C．2 D．1 8．（25-26高三上·上海·期末）函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·山西·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．已知是一次函数且，则 B．与表示同一个函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 10．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 11．（25-26高三·吉林·期末）设函数，则（     ） A． B．当时， C．方程有3个不等的实根 D．若方程有2个不等的实根，则或或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·专题训练）函数的单调递增区间为___________. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 14．（25-26高三·广东深圳·期末）若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 16．（25-26高三·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 17．（25-26高三·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 18．（25-26高三·山东临沂·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 19．（2026高三上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $