15.3.1等腰三角形 训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，构建“性质应用-判定推理-综合实践”三阶训练体系，提炼“三线合一”“等角对等边”等核心方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|3题（边长计算/角度证明/面积）|“三线合一”证线段/角/垂直关系；等边对等角转化角关系|从性质（等边对等角/三线合一）到应用，建立“已知边等→角等”“已知三线→边等/角等”推导链| |判定应用|4题（证等腰/角平分线综合）|“等角对等边”判定；定义法（边等）判定；通过全等推导边等/角等|从判定（定义/等角对等边）到性质逆用，形成“角等→边等”“边等→性质应用”逻辑闭环| |综合实践|2题（尺规作图/实际检测）|利用性质解决实际问题（房梁水平检测）；尺规作直角三角形（斜边/直角边）|联结性质判定与现实应用，发展应用意识与空间观念|

性质 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线合一”） ．等腰三角形两腰相等是证明两底角相等的依据；“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直线互相垂直的依据； ．等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三个条件中 1. 用一条长的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为，第二条边是第一条边的倍少． （ 1 ）请用含的式子表示第三条边的长度． （ 2 ）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长． 2. 如图，在和中，，两点分别在，上，与相交于点，若 ，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图， 是一钢架， ，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管 、 、 、 ，添加的钢管长度都与 相等，则最多能添加这样的钢管（ ）根． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 4. 如图，在等腰三角形中，是边上的高，，，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 5. 如图，中，为上一点，且，设，，则图中的与的关系为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上的一点，，，求的度数． 7. 数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段、，利用尺规作图作使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下， 所以：为所求作的三角形 请你回答下列问题： （ 1 ）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ．（只填序号） ①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点． ②画直线． ③分别以点，为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点． ④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，联结 ⑤画射线，并在上截取线段． （ 2 ）小勇以线段为直角边，线段为斜边的理由是 ． （ 3 ） 的理由是 ． 8. 某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点．由此得出房梁是水平的（即挂铅锤的线绳与房梁垂直）．用到的数学原理是 ． 9. 如图，在中，，过点作于，过点作的平行线交于．求证：． 10. 如图，已知在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，求的度数． 11. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于 、两点，与相交于点． （ 1 ）若 的周长为 ，求 的长． （ 2 ）若 ，求 的度数． 12. 已知：如图，在中， ，是的角平分线，平分，交与点 ，． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）如果，求的长度． （ 3 ）判断与的位置关系： ．依据是 ． 判定 利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简称“等角对等边”） （1） 判定等腰三角形的定理只有上述两种 ①两条边等→等腰；②等角对等边→等腰 （2） 如若知道“顶角角分线、底边垂线、底边中线”的任意两组，也是可以判定其为等腰三角形的，但是，必须通过证全等来导出边等或角等才可以得到等 1. 如图，在中， ，，平分，为的中点，求证： ． 2. 如图，点，在上，，，，与交于点． （ 1 ）求证：． （ 2 ）试判断的形状，并说明理由． 3. 已知：如图，在中，，的垂直平分线 交于点，交于点． （ 1 ）求证： 是等腰三角形． （ 2 ）若 ，求的度数． （ 3 ）若 ， 的周长为，求 的周长． $ 性质 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线合一”） ．等腰三角形两腰相等是证明两底角相等的依据；“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直线互相垂直的依据； ．等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三个条件中 1. 如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点， ，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. A ∵ 平分 ． ， ． ， ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ． ， ， ． 10 学科网（北京）股份有限公司 故选： ． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 2. 如图，四边形中，，且，若，则（ ）． A. B. C. D. B 过 作 ， ，交 ， 于 ，过 作 ，交的延长线于 ， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∵ ∴在 ， ， ， ， 和 中， ， ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ． 【知识点】构造简单辅助线证明全等 3. 如图，等腰 中， ， 于点， 的平分线分别交 、 于 、两点， 为 的中点， 的延长线交 于点，连接 ，下列结论：① ；② 为等腰三角形；③平分；④，其中正确的结论是 （直接填序号）． ①②③④ ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ，∴①正确， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴④正确， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 、 ， 、 、 四点共圆， ， ， 平分 ，∴③正确， 答案：①②③④． 【知识点】等腰直角三角形与全等 4. 如图，中，，，，交边于点． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）求证：． （ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ， （等边对等角）， ， ， ， ． （三角形内角和定理）， ， （ 2 ）过点 作 在 ∵ ∴ ∴ 在 与 于点 中， 由 ， ， ． 中， ． ，得 ． ， ∴ ≌ ， ∴ ． ∵ ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 5. 探究：如图，中， ，，为边的中点，于，交延长线于点. 【能力】推理论证能力 【能力】运算能力 【知识点】30°特殊角的性质应用 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 求证：垂直平分． 小辉在研究此题时通过已知条件已经写出了前半部分过程如下： 证明：∵ ， ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴是的角平分线．小辉发现： 由于等腰三角形有三线合一性质，要想证明垂直平分，只需证明 为等腰三角形，即 ．（填边） 请根据提示，完成后半部分过程． ； ； ；证明见解析． ∵ ， ． ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ． ， ． ． ， ， ≌ ， ． ， ． 为等腰三角形． ， ． ， ． ，即 ． ． 是 的平分线． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 6. 如图所示，在中，， ，平分，于点，且 于点，交于点． （ 1 ）求证： ． （ 2 ）探究与的大小关系，并证明． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 1 ）延长 交 的延长线于 ． ．∵ ∴ ≌ ， ． ， ∴ ． ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ≌ ， ． ． ， ， ， ∵ ∴ ， ． 即 ． ， （ 2 ）连接 ， 中， ， ， ∴ ． 【知识点】等腰直角三角形与全等 7. 如图，中，，，点在斜边上 ，且，过点作 交直线于点． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）求证：． （ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）作 于点 ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ，即 ， ∴ ． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 8. 定义：如果两条线段将一个三角形分成个小等腰三角形．我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （ 1 ）如图，在中，，点在边上，且，求的大小． 图 （ 2 ）在图中过点作一条线段，使，是的三等分线，在图中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数． 图 （ 3 ）在中， ，和是的三分线，点在边上，点在边 上，且、，请直接写出所有可能的值． （ 1 ） ． （ 2 ）画图见解析． （ 3 ） 或 ． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴设则 可得 解得：则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （ 2 ）图 ： 平分 ； 图 图 ：设 ，作 交 于 ，过 作 交 于 ， （ 3 ） 图 则 ， ， ． 设 ，则 ， ， ①当 时， ， ∴ ． ②当 时， 中， ， ∴ ． ③当 时， 得 ，与 矛盾． 综上， 或 ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 9. 中，，，点，分别在，上，且， ． （ 1 ）如图，连，求的度数． （ 2 ）如图，过作于，求证：． （ 3 ）在（）的条件下，若，求的长． （ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴在 ， ， ， ， ， ， ， ， 和 中， ， ∴ ∴ （ 2 ）由（ ）有 ∵ ≌ ， ． ， ， ∴ ∴ 由（ ）有， ∴ ∴ ∴ 即： （ 3 ）如图 ， 由（ ）知 ∴ ∴ ， ， ≌ ， ， ， ， ． ， ， 过 作 ∴ ， 于 ， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 10. 如图，，平分线分别交、的延长线于点、，且是的中点． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）连接，判断与的位置关系并说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ， ， ∵ 是 的中点， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ≌ ． ≌ ， ， ， ，即 是 的中点， 平分 ， 是等腰三角形， 是 ，即 的中点， ． 【知识点】ASA 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 判定 利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简称“等角对等边”） （1） 判定等腰三角形的定理只有上述两种 ①两条边等→等腰；②等角对等边→等腰 （2） 如若知道“顶角角分线、底边垂线、底边中线”的任意两组，也是可以判定其为等腰三角形的，但是，必须通过证全等来导出边等或角等才可以得到等 1. 如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． （ 1 ）求证：是等腰三角形． （ 2 ）若，，，求的周长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ， 平分 ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （ 2 ）∵ ∴ ， 是 ， ， 是等腰三角形．的中点， ， ∵ ∴ ， ． 由对顶角相等可知： ． 在 和 中 ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ≌ ． ． ， ． ． 的周长 ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】角分线性质定理 【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边 【知识点】三角形的周长与面积问题 【知识点】三角形的三边关系 【知识点】平行线的性质 【能力】运算能力 【能力】推理论证能力 【思想】数形结合思想 2. 如图，在中，，，是的垂直平分线． （ 1 ）求证： 是等腰三角形． （ 2 ）若 的周长是， ，求 的周长．（用含， 的代数式表示） （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵在 中， ， ， 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【能力】推理论证能力 ∴ ， 又∵ ∴在 ∴ ∴故 是的垂直平分线， 中， ，则 ， 是等腰三角形． ， ， （ 2 ）由（ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ）知是等腰三角形，即 ， 是的垂直平分线， ， 的周长是， ， ， ， ∴ 的周长 ． 3. 如图， 中， ， 于 点， 交 于点 ，点 在 延长线上， 且 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴在 ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ， 和 中， ， ∴ ∴ ≌ （ ）． ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 4. 如图 ，在 中， ，点是边 上的一个动点，过点作 于点，过点 作 于点， 和 交于点． 图 （ 1 ）填空：直接写出一个和相等的角是 ． （ 2 ）连接，如图，若，判断的形状，并给出证明． 图 （ 3 ）在（）的条件下，若，，求的长． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． 为等腰三角形，证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ． （ 2 ）过 作 交 于 ，交 于 ， ∵ ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 为等腰三角形． （ 3 ）过 作 于 ，在 和 中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在 ≌ ， 和 中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ≌ ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】对应边 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】AAS 【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 5. 已知，如图所示，在和中，，，，且点 、、在一条直线上，连接、． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）若 、分别是和的中点，将绕点按顺时针旋转，如图所示，试证明在旋转过程中，是等腰三角形． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）此题考查是便是手拉手模型的重要结论，拉手的距离相等，即拉手线相等． 在 和 ，所以 中， ， ， ， ≌ ． （ 2 ）此题考查是便是手拉手模型的重要结论，拉手的距离相等，即拉手线相等． 【知识点】全等三角形的性质 【能力】推理论证能力 图 ≌ ，故 ， ，又因为 ，所以 ≌ ，故 ，此三角形为等腰三角形． $ 性质 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线合一”） ．等腰三角形两腰相等是证明两底角相等的依据；“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直线互相垂直的依据； ．等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三个条件中 1. 用一条长的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为，第二条边是第一条边的倍少． （ 1 ）请用含的式子表示第三条边的长度． （ 2 ）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长． （ 1 ） （ 2 ） ． ， ， ． （ 1 ）第一条边： ， 第二条边： 第三条边： （ 2 ）①若 ， ， ． ， 三边长为： ， ， ， 无上述三角形． ②若 ， ， 三边长为： ， ， ， 10 学科网（北京）股份有限公司 无法组成三角形． ③若 ， ， 三边长为，， ． 综上，三边长为 ， ， ． 2. 如图，在和中，，两点分别在，上，与相交于点，若 ，，则的度数为（ ）． 【能力】运算能力 【知识点】三角形的三边关系 【知识点】判断能否构成三角形 【知识点】等腰三角形的定义 A. B. C. D. C ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选 ， ， ， ， ， ， ． ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 3. 如图， 是一钢架， ，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管 、 、 、 ，添加的钢管长度都与 相等，则最多能添加这样的钢管（ ）根． A. B. C. D. B ∵由三角形的内角和为 ， ∴构成的等腰三角形的底角必须小于 ， ∵当添加第五根钢管时，底角为 ， ∴不能再继续添加．故选： ． 【知识点】三角形的外角定义及性质 【知识点】三角形内角和的应用 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 4. 如图，在等腰三角形中，是边上的高，，，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． ∵在等腰三角形 中， 是 边上的高， ∴ ∴ ∴ ∴ 平分 ， （三线合一）， ， ， ， 阴影 ． 【知识点】等腰三角形的对称性 5. 如图，中，为上一点，且，设，，则图中的与的关系为（ ）． A. B. C. D. B ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 6. 如图，在中，是边上的一点，，，求的度数． ． ∵ ， ∴设 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 7. 数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段、，利用尺规作图作使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下， 所以：为所求作的三角形 请你回答下列问题： （ 1 ）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ．（只填序号） ①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点． ②画直线． ③分别以点，为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点． ④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，联结 ⑤画射线，并在上截取线段． （ 2 ）小勇以线段为直角边，线段为斜边的理由是 ． （ 3 ） 的理由是 ． （ 1 ）⑤①③②④ （ 2 ）在直角三角形中，斜边大于直角边 （ 3 ）等腰三角形的三线合一 （ 1 ）⑤①③②④． （ 2 ）在直角三角形中，斜边大于直角边． （ 3 ）等腰三角形的三线合一． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 8. 某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点．由此得出房梁是水平的（即挂铅锤的线绳与房梁垂直）．用到的数学原理是 ．等腰三角形三线合一 ∵ 是个等腰三角形， ∴ ， ∵点 是 的中点， ∴ ， ∴ ． 即等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 9. 如图，在中，，过点作于，过点作的平行线交于．求证：． 证明见解析． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， 于点 ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边 10. 如图，已知在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，求的度数．． ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ 可知 ∴ ∴ 即 是线段 是等腰三角形， ①， 的垂直平分线， ， 的垂直平分线正好经过点 ，与 是等腰三角形， 相交于点 ， 是 的平分线， ， ②， ①②联立得， ． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 11. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于 、两点，与相交于点． （ 1 ）若 的周长为 ，求 的长． （ 2 ）若 ，求 的度数． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 、 ，的周长 的周长为 ． ， 分别垂直平分 ， 和 ， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】已知两边求第三边或周长 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【能力】运算能力 12. 已知：如图，在中， ，是的角平分线，平分，交与点 ，． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）如果，求的长度． （ 3 ）判断与的位置关系： ．依据是 ． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ）垂直 ; 等腰三角形三线合一 （ 1 ）∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ∵ 中， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）∵ ， ，又∵ ， ∴ ． （ 3 ） ， 依据是等腰三角形三线合一，证： ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 判定 利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简称“等角对等边”） （1） 判定等腰三角形的定理只有上述两种 ①两条边等→等腰；②等角对等边→等腰 （2） 如若知道“顶角角分线、底边垂线、底边中线”的任意两组，也是可以判定其为等腰三角形的，但是，必须通过证全等来导出边等或角等才可以得到等 1. 如图，在中， ，，平分，为的中点，求证： ． 证明见解析． 设 ，∵ ， 平分 ， ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ，∴ ，∴ ， ， ， ， ， 为 中点， （三线合一）． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 2. 如图，点，在上，，，，与交于点． （ 1 ）求证：． （ 2 ）试判断的形状，并说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 为等腰三角形． （ 1 ）∵ ∴ 即又∵ ∴ ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∴ ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ∴ 为等腰三角形． 【知识点】全等三角形的对应边与角 3. 已知：如图，在中，，的垂直平分线 交于点，交于点． （ 1 ）求证：是等腰三角形． （ 2 ）若，求的度数． （ 3 ）若， 的周长为，求的周长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 3 ） 的周长为 ． （ 1 ）∵ ∴ 的垂直平分线 ， 交 于点 ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∴ （ 3 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 是等腰三角形． 是等腰三角形， ， ， ， ． 的垂直平分线 交 于点 ， ， ， 的周长为 ， ， 的周长 ． 【能力】推理论证能力 【知识点】三角形的周长与面积问题 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 $ 性质 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线合一”） ．等腰三角形两腰相等是证明两底角相等的依据；“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直线互相垂直的依据； ．等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三个条件中 1. 如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点， ，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，四边形中，，且，若，则（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，等腰中，，于点，的平分线分别交、于 、两点， 为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；② 1 学科网（北京）股份有限公司 为等腰三角形；③平分；④，其中正确的结论是 （直接填序号）． 4. 如图，中，，，，交边于点． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）求证：． 5. 探究：如图，中， ，，为边的中点，于，交延长线于点. 求证：垂直平分． 小辉在研究此题时通过已知条件已经写出了前半部分过程如下： 证明：∵ ， ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴是的角平分线．小辉发现： 由于等腰三角形有三线合一性质，要想证明垂直平分，只需证明 为等腰三角形，即 ．（填边） 请根据提示，完成后半部分过程． 6. 如图所示，在中，， ，平分，于点，且 于点，交于点． （ 1 ）求证： ． （ 2 ）探究与的大小关系，并证明． 7. 如图，中，，，点在斜边上 ，且，过点作 交直线于点． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）求证：． 8. 定义：如果两条线段将一个三角形分成个小等腰三角形．我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （ 1 ）如图，在中，，点在边上，且，求的大小． 图 （ 2 ）在图中过点作一条线段，使，是的三等分线，在图中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数． 图 （ 3 ）在中， ，和是的三分线，点在边上，点在边 上，且、，请直接写出所有可能的值． 9. 中，，，点，分别在，上，且， ． （ 1 ）如图，连，求的度数． （ 2 ）如图，过作于，求证：． （ 3 ）在（）的条件下，若，求的长． 10. 如图，，平分线分别交、的延长线于点、，且是的中点． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）连接，判断与的位置关系并说明理由． 判定 利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简称“等角对等边”） （1） 判定等腰三角形的定理只有上述两种 ①两条边等→等腰；②等角对等边→等腰 （2） 如若知道“顶角角分线、底边垂线、底边中线”的任意两组，也是可以判定其为等腰三角形的，但是，必须通过证全等来导出边等或角等才可以得到等 1. 如图，在 中，已知点在线段 的反向延长线上，过 的中点作线段 交 的平 分线于，交 于，且 ． （ 1 ）求证：是等腰三角形． （ 2 ）若，，，求的周长． 2. 如图，在中，，，是的垂直平分线． （ 1 ）求证： （ 2 ）若 是等腰三角形． 的周长是， ，求 的周长．（用含， 的代数式表示） 3. 如图，且 中， ． ， 于 点， 交 于点，点 在 延长线上， （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：． 4. 如图 ，在 中， ，点是边 上的一个动点，过点作 于点，过点 作 于点 ， 和 交于点． 图 （ 1 ）填空：直接写出一个和相等的角是 ． （ 2 ）连接，如图，若，判断的形状，并给出证明． 图 （ 3 ）在（）的条件下，若，，求的长． 5. 已知，如图所示，在和中，，，，且点 、、在一条直线上，连接、． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）若 、分别是和的中点，将绕点按顺时针旋转，如图所示，试证明在旋转过程中，是等腰三角形．图 $