5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质7题型分类 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学正弦函数、余弦函数的性质，通过对比表格系统梳理定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值、对称性等核心内容，再以7类题型（单调区间、参数求解、比较大小等）搭建从性质理解到应用的学习支架。 资料特色在于性质与题型深度融合，通过分类例题（如单调区间求解、根据单调性求参数）培养数学思维的推理与运算能力，对比表格助于数学眼光的抽象能力形成，题型设计帮助学生用数学语言解决问题，课中辅助教学，课后强化练习查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质7题型分类 一、正弦函数、余弦函数的性质 函数名称 函数性质 y＝sinx y＝cosx 相 同 处 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 周期性 最小正周期2π 最小正周期2π 不 同 处 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在(k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 二、解读正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间． (2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． (3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断． 三、解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性 (1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数的定义域来定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值． (4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． (5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0. （一） 正弦函数、余弦函数的单调区间 1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 2、求y=Asin(ωx＋φ)和y= Acos(ωx＋φ)的单调区间，可以把ωx＋φ看作一个整体(保证ω>0)放入y=sinx和y=cosx的单调区间内，解不等式求得.尤其注意保证x的系数为正，否则应按“同增异减”的复合函数单调性求解. 题型1：正弦函数、余弦函数的单调区间 1．（2026高一·河南驻马店·阶段检测）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦函数的性质逐项判断即可求解. 【详解】A．当时，单调递减，单调递减，故A正确； B．当时，单调递减，单调递增，故B错误； C．当时，单调递增，单调递增，故C错误； D．当时，单调递增，单调递减，故D错误； 故选：A. 2．（2026高一·广东佛山·阶段检测）函数的一个递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质，令即可求函数的递增区间，进而判断各选项是否符合要求. 【详解】令，可得， 当时，是的一个单调增区间，而其它选项不符合. 故选：A. 3．（2026高一·全国·课后作业）函数的定义域是_____________，单调递减区间是_____________． 【答案】 【分析】解三角不等式，即可求定义域，再结合正弦函数的单调性即可求第二空. 【详解】由，得， 解得：， 即函数的定义域是． 与的单调性相反， 又的单调递增区间为 再结合的定义域为 ∴函数的单调递减区间． 故答案为：； 4．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）求函数，的单调减区间___________． 【答案】 【详解】令，的单调递减区间为， 则，解得， 取，得递减区间，与的公共部分为． 5．（2026高二·天津南开·学业考试）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【详解】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减. 6．（2026高一·辽宁朝阳·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的单调区间直接求解即可． 【详解】， 令，则． 所以函数的单调递减区间是. 题型2：根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数 7．（2026高一·山东日照·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】(0,1] 【详解】由，，得， 而函数在上单调递增，则， 因此，解得， 所以的取值范围为. 8．（2026高一·浙江宁波·期末）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 9．（2026高三·上海虹口·阶段检测）若函数在是单调的，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】运用余弦型函数的单调性，列不等式组计算即可. 【详解】在是单调的，则，则，则.则. 并且， 则或， 解得或，则，则最大值为. 故答案为：. 10．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】求得的单调递增区间，根据题目要求求得的取值范围. 【详解】由解得，， 令，得， 依题意，在区间上单调递增， 则实数的取值范围为. 故答案为： 11．（2026高一·全国·课后作业）已知函数，若在内单调递减，则的值为______． 【答案】 【分析】根据求出，结合和函数的单调性，得到且，求出答案. 【详解】，， 因为， 所以，， 要想在内单调递减， 则且， 解得，故． 故答案为： 12．（2026高三·福建·期中）已知，函数在上单调递增，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】利用整体法，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由于，所以， 要使在上单调递增，则，解得， 故的最大值为， 故答案为： 13．（2026高三·云南保山·期末）已知（）在区间上单调递增，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】借助正弦型函数的单调性计算即可得. 【详解】对于，令，，则， 因为，所以， 结合正弦函数的单调性可知： 又，所以. 故答案为：. （二） 利用三角函数的单调性比较大 比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单调性比较． 题型3：利用三角函数的单调性比较大小 14．（2026高一·江西南昌·阶段检测），，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数的单调性即可判断大小. 【详解】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以. 故选：B 15．（2026高一·江苏苏州·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数、余弦函数的单调性可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 所以，所以. 故选：C. 16．（2026高三·北京·阶段检测）已知，，，则，，三个数从小到大的顺序是__________. 【答案】 【分析】利用，和的单调性，再结合条件，即可求解. 【详解】因为在定义域上单调递增，则， 又在上单调递增，则， 又在定义域上单调递增，则，所以. 故答案为：. 17．（2026高一·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是___________.（填编号） ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【分析】结合诱导公式，再利用三角函数的单调性即可逐一判断 【详解】对于①，因为， 因为在上单调递增，所以，所以 即，故①正确； 对于②，因为在上单调递减，所以，故②错误； 对于③，因为，， 所以，故③错误； 对于④，， 因为在上单调递减，且，所以， 即，故④正确， 故答案为：①④. 18．设，，，则，，的大小关系为__________按由小到大顺序排列 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调性，即可判断，，的大小． 【详解】由， ，， 当时，单调递增，且，， 则，故． 故答案为． 19．（2026高一·浙江杭州·期末）若，，，则，，三数中最小数为_________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合的范围比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以三数中最小数为. 故答案为： （三） 正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题 三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值． (3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 题型4：正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题 20．（2026高三·陕西咸阳·阶段检测）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】解：由，可得， 则. 故选：A. 21．（2026高一·山东潍坊·阶段检测）已知函数，.则的最大值为___________. 【答案】1 【分析】利用整体法，结合余弦函数的单调性即可求出函数的最值. 【详解】因为，所以， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为1． 故答案为：1. 22．（2026高一·北京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简可得，结合以及二次函数的基本性质可求得原函数的最大值. 【详解】因为，， 故当时，函数取最大值，且. 故选：A. 23．（2026高一·北京·期中）已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最小正周期求出，再根据余弦函数的单调性求解即可. 【详解】已知函数的最小正周期是， 则，则函数. 当，. 因为余弦函数在单调递减，因此函数在时取最小值， 最小值为 ，即在区间的最小值为. 24．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为__. 【答案】 【详解】当时，， 则，所以， 因此函数在上的最大值为. 25．（2026高一·上海嘉定·期末）函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】若，则 又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值， 所以当，即时， 只需满足，此时， 当，即时，函数一定存在最大值， 要让函数无最小值，则，即， 综上，，即的取值范围为 26．（2026高一·北京延庆·期中）已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 27．（2026高一·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元将关于的函数转化为关于的二次函数，利用二次函数单调性求解的范围，再根据以及余弦函数图象的对称性求出的范围. 【详解】令，因为的值域是，所以，此时函数可转化为. 对于二次函数，对称轴为. 所以在区间上为增函数. 令，移项可得.解得，. 因为，所以取. 又因为在上递增，要使，则的范围是，即. 已知，根据函数图像的对称性可知，在一个周期内，满足的的范围是.结合区间性质知道，a的取值为. 故选：C. （四） 正弦函数、余弦函数的周期性 求三角函数的周期，一般有三种方法 （1） 定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题； （2） 公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期； （3） 图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为. 函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 题型5：正弦函数、余弦函数的周期性 28．（2026高一·四川绵阳·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦型函数周期性直接求解即可. 【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期. 故选：B. 29．（2026高一·全国·课后作业）下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 30．（2026高三·湖北荆州·阶段检测）函数的最小正周期为_________. 【答案】/ 【分析】由函数周期性与诱导公式求解， 【详解】由诱导公式可知，， 当时，与不恒相等，故的最小正周期为， 故答案为： 31．（2026高一·全国·随堂练习）求下列函数的周期： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用正弦型函数、余弦型函数的周期公式即可求解. 【详解】（1）函数的周期为. （2）函数的周期为. （3）函数的周期为. （4）函数的周期为. 32．（2026高二·云南文山·阶段检测）若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】最小正周期，解得， 则， ． 33．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得， 由，得，解得， 所以. （五） 正弦函数、余弦函数的奇偶性 （1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数． （2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数． 题型6：正弦函数、余弦函数的奇偶性 34．（2026高二·上海松江·阶段检测）下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由三角函数诱导公式结合奇偶性定义逐项判断即可. 【详解】， 定义域为R，，奇函数， ， 定义域为R，，奇函数， ， 定义域为R，，偶函数， ， 定义域为R，，奇函数， 综上偶函数有1个. 35．（2026高一·江苏扬州·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得为奇函数，排除C、D项，再由，排除B项，即可求解. 【详解】由，可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可排除C、D项， 当时，可得，可排除B项， 所以选项A符合题意. 故选：A. 36．（2026高一·上海·期中）函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】利用奇偶性的定义证明函数为奇函数，再由周期的定义证明函数的周期为. 【详解】 则函数为奇函数. ， 是函数的一个周期. 又，而，可知不是函数的周期， 故函数的最小正周期为. 37．（2026高三·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 38．（2026高一·河北唐山·期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 39．（2026高一·辽宁沈阳·期中）若为偶函数，则______ 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以， 解得，因为，所以或， 当时，，， 当时，，， 综上所述，. 40．（2026高一·江西吉安·期中）设函数；已知，若函数是偶函数，则实数___________． 【答案】 【详解】因为，是偶函数， 则，即或， 则得或， 因，不能保证，又，则得． 41．（2026高二·贵州遵义·期中）设函数.若为偶函数，则___________． 【答案】3 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 42．（2026高三·上海·期中）设，且为奇函数，则__________. 【答案】/0.5 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意为奇函数，且定义域为， 则，则， 又，则. 当时，是奇函数， 故得. 故答案为：. 43．（一、对称相关问题）已知函数是偶函数，则______. 【答案】 【分析】由偶函数性质即可求解. 【详解】因为是偶函数， 所以， 解得，经检验符合题意. 故答案为：. （六） 正弦函数、余弦函数的对称性 (1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． (2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； 题型7：正弦函数、余弦函数的对称性 44．（2026高一·浙江丽水·期末）函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. C选项，代入，，是函数图象的一条对称轴； D选项，，为函数图象的一个对称中心，不是函数图象的一条对称轴，故排除D. 45．（2026高一·广东·期末）已知函数的图象关于直线对称，若，则满足条件的所有的和为______． 【答案】 【分析】由题意结合余弦函数的对称性可得，再结合求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，则， 又，则或或或， 所以满足条件的所有的和为. 故答案为：. 46．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期得到的值，从而得到对称轴方程，结合选项，代入值验证即可求解． 【详解】由的最小正周期为，， 则，解得， 所以， 令，，解得，， 结合选项，取，得，即它的一条对称轴是． 47．（2026高二·浙江金华·期末）已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的对称中心在其图象上，将代入解析式可求得，再利用余弦函数单调性求出单调递增区间即可的答案.. 【详解】由图象的一个对称中心是，所以， 则，，即，， 又，所以，得函数， 令，， 即，； 故的单调递增区间为，， 而当时，单调递增区间为，又， 所以C正确，其余区间都不符合题意. 故选：C 48．（2026高一·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的图象对称轴方程，再结合已知列出不等式组求解. 【详解】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是. 1．（2026高一·全国·课后作业）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的周期公式即可判断AC；作出函数的图象，结合周期的定义即可判断BD. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意； 对于B，作出函数的图象，    由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意； 对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意； 对于D，函数，其图象如图，    由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意. 故选：B. 2．（2026高一·山东滨州·阶段检测）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的判定方法，结合正弦函数的奇偶性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，选项中函数的定义域为，关于原点对称. 对于A中，函数，则， 所以函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B中，函数， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于C中，函数， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于D中，函数，又的定义域为R， 所以函数是奇函数，符合题意. 故选：D. 3．（2026高二·甘肃武威·阶段检测）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解. 【详解】当时，， 所以当，即时，函数单调递增． 故选：B. 4．（2026高一·陕西咸阳·开学考试）同时具有以下性质：“①最小正周期是，②在区间上是增函数”的一个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦函数的周期性以及单调性逐一分析选项，得出结论． 【详解】对于A，的周期， 当时，，所以函数在区间上是增函数，正确； 对于B，的周期，不符合题意； 对于C，的周期，不符合题意； 对于D，的周期， 当时，，所以函数在区间上先增后减，不符合题意； 故选：A 5．（2026高三·北京海淀·专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【答案】B 【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可. 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 故选：B 6．（2026高一·江西抚州·期中）已知函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，函数在上为减函数，由可得出，根据余弦型函数的单调性可得出，可得出关于的不等式组，由此可得出正实数的取值范围. 【详解】对任意的，恒成立， 因为函数在区间内单调递增， 所以，函数在上为减函数， 当时，因为，则， 所以，， 所以，，解得， 所以，，解得， 因为，则，所以，. 故选：A. 7．（2026·广西桂林·模拟预测）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 8．（2026高三·北京·阶段检测）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质，结合给定增区间列出不等式求解. 【详解】由函数相邻两个对称轴之间的距离为，得，解得， 由，得， 因此函数在上单调递增， 而函数在上是增函数，则， 于是，解得. 9．【多选】（2026高三·广东·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】A：因为函数的最小正周期为，所以本选项说法正确； B：因为， 所以函数的图象关于点对称，因此本选项说法不正确； C：因为， 所以函数的图象关于直线对称，因此本选项说法正确； D：当时，，所以在区间上单调递增，因此本选项说法正确. 10．【多选】（2026高一·河北张家口·阶段检测）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若为偶函数， 则，解得. 当时，；当时，． 11．【多选】（2026高一·广东佛山·阶段检测）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用正余弦函数的性质、诱导公式逐项比较判断作答. 【详解】对于A，，而余弦函数在上单调递增，则，A错误； 对于B，，余弦函数随锐角的增大而减小， 则有，即，B正确； 对于C，，， 正弦函数在上单调递减，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 12．【多选】（2026高一·江苏连云港·期末）已知函数，则该函数的（   ） A．值域为 B．增区间是（） C．图象的对称中心为（） D．图象的对称轴方程为（） 【答案】ABD 【分析】根据正弦函数性质求解值域判断A；根据正弦函数单调性判断B；根据正弦函数的对称中心求解判断C；根据正弦函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于选项，因为，所以 ， 则的值域为，故正确； 对于选项，令， 解得为函数的增区间，故正确； 对于选项，令，解得， 所以函数的对称中心为，故错误； 对于选项，令，解得即为函数的对称轴， 故正确. 故选： 13．【多选】（第27讲正弦函数、余弦函数的性质（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）函数的周期可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对ABC选项直接可用特殊值判断可得，对D若，则恒成立，再通过取特殊值可得，进而得，与题设矛盾，故排除. 【详解】当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能； 当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能； 当，时，函数，最小正周期为，故选项C可能； 而对于选项D： ， , 若时，则对任意的有， 当时，则，即，所以①. 当时，则，即，所以②. 当时，则，即， 得，所以③. 联立①②解得，再代入③得④，联立①④解得. 因此若，则，即，与题设矛盾， 因此函数的最小正周期不可能是. 14．（2026高一·上海·期中）若直线是函数的一条对称轴，则__________． 【答案】 【分析】根据正弦型函数图象在对称轴处取得最值的性质求解. 【详解】对于正弦型函数，其值域为，即最大值为，最小值为. 由正弦型函数的图象性质可知，函数图象的对称轴对应函数的最值点， 已知是的一条对称轴，因此在处取得最值，即. 15．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是____________ 【答案】 【分析】由题可得，然后由二次函数知识可得答案. 【详解】， ，又函数在上单调递增， 则，. 即. 故答案为： 16．（2026高一·新疆昌吉·期末）设函数，则________. 【答案】0 【分析】根据题意得到函数周期为6，通过周期化简式子得到原式等于＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)，进一步化简得到原式等于＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)，代入函数解析式求解即可. 【详解】∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015) ＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2014)＋f(2015) ＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5) ＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5) 故答案为：0. 17．（2026高一·四川宜宾·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)偶函数 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合函数奇偶性的定义和余弦函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，把不等式转化为，结合余弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 可得， 令，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 所以函数为偶函数. （2）解：由函数， 可得， 因为不等式，可得， 则满足，解得， 故该不等式解集为. 18．（2026高一·海南·阶段检测）已知函数，． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是，. (2)，此时；，此时. 【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间； （2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值. 【详解】（1）的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. （2）∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 19．（2026高二·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）的最小正周期，令，，解不等式可求出函数的单调递增区间； （2）由，求出，结合正弦函数的性质即可求出函数的值域． 【详解】（1）的最小正周期， 令，，解得，， 故单调递增区间为，； （2）由，可得，故， ，故函数值域为 20．（2026高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设函数． (1)当时，求的最小值及此时的值； (2)求函数在R上的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)2；， (2) (3) 【分析】（1）由同角关系，并设，将转为二次函数，在求最小值即可； （2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论最大值； （3）由得，二次函数开口向下，则只需两端点值大于0即可. 【详解】（1）， 即， 设，，易得为开口向下的二次函数， 当时，，，则， 即时，即取最小值，此时，. （2）由（1）知，， 当时，即时，， 当，即时，， 当时，即时，， 综上，. （3）由题意得，则，， 若求，即求，因为开口向下， 则，解得，故的取值范围为. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质7题型分类 一、正弦函数、余弦函数的性质 函数名称 函数性质 y＝sinx y＝cosx 相 同 处 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 周期性 最小正周期2π 最小正周期2π 不 同 处 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在(k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 二、解读正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间． (2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． (3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断． 三、解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性 (1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数的定义域来定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值． (4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． (5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0. （一） 正弦函数、余弦函数的单调区间 1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 2、求y=Asin(ωx＋φ)和y= Acos(ωx＋φ)的单调区间，可以把ωx＋φ看作一个整体(保证ω>0)放入y=sinx和y=cosx的单调区间内，解不等式求得.尤其注意保证x的系数为正，否则应按“同增异减”的复合函数单调性求解. 题型1：正弦函数、余弦函数的单调区间 1．（2026高一·河南驻马店·阶段检测）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·广东佛山·阶段检测）函数的一个递增区间是（    ）． A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·课后作业）函数的定义域是_____________，单调递减区间是_____________． 4．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）求函数，的单调减区间___________． 5．（2026高二·天津南开·学业考试）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 6．（2026高一·辽宁朝阳·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型2：根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数 7．（2026高一·山东日照·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 8．（2026高一·浙江宁波·期末）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 9．（2026高三·上海虹口·阶段检测）若函数在是单调的，则的最大值为_________． 10．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 11．（2026高一·全国·课后作业）已知函数，若在内单调递减，则的值为______． 12．（2026高三·福建·期中）已知，函数在上单调递增，则的最大值为__________. 13．（2026高三·云南保山·期末）已知（）在区间上单调递增，则的取值范围为________. （二） 利用三角函数的单调性比较大 比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单调性比较． 题型3：利用三角函数的单调性比较大小 14．（2026高一·江西南昌·阶段检测），，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 15．（2026高一·江苏苏州·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．（2026高三·北京·阶段检测）已知，，，则，，三个数从小到大的顺序是__________. 17．（2026高一·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是___________.（填编号） ① ② ③ ④ 18．设，，，则，，的大小关系为__________按由小到大顺序排列 19．（2026高一·浙江杭州·期末）若，，，则，，三数中最小数为_________. （三） 正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题 三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值． (3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 题型4：正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题 20．（2026高三·陕西咸阳·阶段检测）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 21．（2026高一·山东潍坊·阶段检测）已知函数，.则的最大值为___________. 22．（2026高一·北京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·北京·期中）已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 24．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为__. 25．（2026高一·上海嘉定·期末）函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是______． 26．（2026高一·北京延庆·期中）已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 27．（2026高一·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． （四） 正弦函数、余弦函数的周期性 求三角函数的周期，一般有三种方法 （1） 定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题； （2） 公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期； （3） 图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为. 函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 题型5：正弦函数、余弦函数的周期性 28．（2026高一·四川绵阳·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 29．（2026高一·全国·课后作业）下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 30．（2026高三·湖北荆州·阶段检测）函数的最小正周期为_________. 31．（2026高一·全国·随堂练习）求下列函数的周期： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．（2026高二·云南文山·阶段检测）若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 33．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． （五） 正弦函数、余弦函数的奇偶性 （1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数． （2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数． 题型6：正弦函数、余弦函数的奇偶性 34．（2026高二·上海松江·阶段检测）下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（2026高一·江苏扬州·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 36．（2026高一·上海·期中）函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 37．（2026高三·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 38．（2026高一·河北唐山·期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 39．（2026高一·辽宁沈阳·期中）若为偶函数，则______ 40．（2026高一·江西吉安·期中）设函数；已知，若函数是偶函数，则实数___________． 41．（2026高二·贵州遵义·期中）设函数.若为偶函数，则___________． 42．（2026高三·上海·期中）设，且为奇函数，则__________. 43．（一、对称相关问题）已知函数是偶函数，则______. （六） 正弦函数、余弦函数的对称性 (1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． (2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； 题型7：正弦函数、余弦函数的对称性 44．（2026高一·浙江丽水·期末）函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 45．（2026高一·广东·期末）已知函数的图象关于直线对称，若，则满足条件的所有的和为______． 46．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 47．（2026高二·浙江金华·期末）已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 48．（2026高一·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2026高一·全国·课后作业）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·山东滨州·阶段检测）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·甘肃武威·阶段检测）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·陕西咸阳·开学考试）同时具有以下性质：“①最小正周期是，②在区间上是增函数”的一个函数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·北京海淀·专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 6．（2026高一·江西抚州·期中）已知函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广西桂林·模拟预测）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·北京·阶段检测）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高三·广东·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 10．【多选】（2026高一·河北张家口·阶段检测）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高一·广东佛山·阶段检测）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高一·江苏连云港·期末）已知函数，则该函数的（   ） A．值域为 B．增区间是（） C．图象的对称中心为（） D．图象的对称轴方程为（） 13．【多选】（第27讲正弦函数、余弦函数的性质（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）函数的周期可能为（    ） A． B． C． D． 14．（2026高一·上海·期中）若直线是函数的一条对称轴，则__________． 15．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是____________ 16．（2026高一·新疆昌吉·期末）设函数，则________. 17．（2026高一·四川宜宾·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集. 18．（2026高一·海南·阶段检测）已知函数，． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 19．（2026高二·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域． 20．（2026高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设函数． (1)当时，求的最小值及此时的值； (2)求函数在R上的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求的取值范围； （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $