5.4.3正切函数的性质与图象教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦正切函数的性质与图象，通过回顾正弦、余弦函数的研究路径，搭建类比迁移的学习支架，梳理三角函数知识脉络，引导学生从已有经验过渡到新知探究。 其特色在于利用单位圆正切线和Geogebra动态演示，深化数形结合（数学眼光），通过类比辨析突破“定义域内非整体单调递增”的难点（逻辑推理），以表格对比三角函数共性与个性（数学语言），助力学生构建知识体系，为教师提供清晰教学流程与素养培养路径。

5.4 三角函数的图象与性质 5.4.3正切函数的性质与图象 教学设计 授课班级：高一年9班 授课教师：王堉烽 1、 教学内容与内容解析 1. 教学内容 本节课是人教A版必修第一册第五章第四节第四课时，主要内容是探究正切函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、定义域、值域等；利用性质解决简单问题；深化研究函数图象与性质的一般思路. 2. 解析内容 本节课是“三角函数的图象与性质”单元的收官之作.正切函数是正弦、余弦函数的“商”，这决定了它在继承三角函数某些共性（如周期性、奇偶性）的同时，也展现出独特的个性（如无最值、图象不连续、存在渐近线）.其图象并非连续的波浪线，而是被一系列垂直于x轴的直线（渐近线）分割开的、无限多支独立且形态相同的曲线.这一特征是对学生“函数图象”认知的一次重要拓展.研究正切函数，旨在引导学生将研究正弦、余弦函数时形成的“图象观察→性质猜想→逻辑验证→应用”的方法论进行迁移和内化，同时通过对比分析，深化对三角函数整体概念的理解，感受数学的多样性与统一性.本节内容也是“数形结合”思想的又一次深刻实践. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：正切函数的图象特征及其主要性质（周期性、奇偶性、单调性、定义域、值域）；研究函数图象与性质的一般思路和方法. 2、 教学目标与目标解析 1. 教学目标 （1） 借助单位圆中的正切线，理解正切函数的生成过程，能画出在一个周期区间内的图象，了解其在整个定义域上的图象特征，发展直观想象和数学抽象素养； （2） 通过观察图象和代数推导，掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、定义域和值域等主要性质，并能运用这些性质解决简单的求值、比较大小、求定义域等问题，提升逻辑推理和数学运算素养； （3） 在探究过程中，进一步巩固和运用研究函数图象与性质的“数形结合”和“化归”思想，体会类比迁移的学习方法，构建完整的三角函数知识体系. 2. 目标解析 达成上述目标的标志是： （1） 能叙述利用单位圆正切线画图的原理，能正确画出在的草图，能根据周期性，想象出整个定义域上的图象是由无数个这样的分支组成的； （2） 能准确说出：正切函数是周期函数，周期为；是奇函数；在每个区间上单调递增；定义域为；值域为.并能利用这些性质解决问题； （3） 能清晰地表述研究过程：从定义出发（或从与正弦、余弦的关系出发）→ 利用单位圆或诱导公式分析性质 → 在一个周期内画图 → 利用周期性推广图象和性质. 3、 学情分析 学生已经系统学习了正弦、余弦函数的图象与性质，掌握了“五点法”作图，并具备了研究函数周期性、奇偶性、单调性的基本经验与技能.他们熟悉了单位圆，并能利用诱导公式进行初步的三角恒等变换. 然而，面对正切函数，学生面临新的认知挑战，学生习惯了连续、平滑的曲线，正切函数图象的不连续性（存在间断点）和渐近线概念是全新的、反直觉的.再者，如何将研究正弦函数性质的方法迁移过来？正切函数是否有周期、奇偶性？它的单调性是否也受周期性支配？值域为何是全体实数？这些都需要在类比中辨析，在辨析中建构.同时，缺乏对化归思想的灵活应用，已知正切函数在上单独递增，如何利用周期性求其他区间上的单调区间？这需要学生灵活运用已建立的“先局部，后整体”的化归思想. 基于以上分析，确定本节课教学难点：正切函数图象的绘制；利用单位圆和函数定义探究性质的过程；对“正切函数在定义域内每个连续区间上单调递增，但在整个定义域上并非单调递增”的理解. 4、 教学方式 讲授法、演示法、讲练结合法 5、 教学用具 希沃、Geogebra 6、 教学过程 1. 新课导入 内容1：回顾正弦函数和余弦函数的图象及其性质，归纳其共同特征和研究它们的图象与性质的一般路径. 师生活动：教师提问学生，学生回答.教师根据学生回答情况予以适当的引导帮助. 内容2：给出研究正切函数，结合所学同角三角函数基本关系.引发学生思考，这个商的形式，会使得它的图象和性质与正弦、余弦函数完全相同吗？可能会有什么不同？ 师生活动：学生合作探究，教师引导学生朝着分式注意. 设计意图：通过复习，激活学生已有的研究经验和方法论，为本课的自主探究提供思维框架.通过关键提问，引导学生关注正切函数的特殊性（分母不能为零），自然聚焦到定义域这一首要问题，并激发对比探究的兴趣. 2. 新知形成 （1）探究定义域和值域 内容1：上述思考引发，，得出，从而得到，. 师生活动：教师板书，定义域. 内容2：借助单位圆中正切线的变化进行思考. 师生活动：教师利用Geogebra展示动态图像引发学生思考，提问学生得到结论后板书，值域为. 设计意图：在此前学习的基础上，学生自主发现问题，类比正弦、余弦结合函数知识点，将所学知识进行串联，再借助Geogebra工具通过图象让学生更为直观地感受正切函数的取值，培养学生的数形结合思想. （2）探究周期性和奇偶性 内容1：回顾周期函数的定义和所学诱导公式，且，.思考正切函数的周期性.得出结论，正切函数为周期函数，周期为. 练习：求下列函数的周期 （1）；（2）. 师生活动：教师提问并板书，借助练习巩固所学. 内容2：探究的周期. 师生活动：教师借助例题，引导学生类比函数. 内容3：类比正弦函数和余弦函数的奇偶性探究及证明函数奇偶方法，探究正切函数的奇偶性.由诱导公式，可得，且定义域关于原点对称，故正切函数为奇函数. 师生活动：学生合作探究并将结论回答教师，教师加以规范并板书. 设计意图：类比正弦函数和余弦函数的周期性和奇偶性探究，将研究函数性质的方法一般化，形成知识技能，对于今后学生进行研究数学规律的一般化具有重要意义，培养学生的逻辑推理素养. （3）探究正切函数图象 内容1：借助正切函数为周期是的周期函数和奇函数.先于区间利用取点作图得到到函数图象，再根据正切函数为奇函数进行旋转，得到区间的图象，最后利用周期性进行推演正切函数的图象，发现图象无限接近直线，称其为正切曲线渐近线，即图象无限接近但永不相交的边界. 师生活动：教师引导学生思考如何得到正切函数图象，再利用Geogebra进行演示. 内容2：探究函数的对称性.根据图象和奇偶性，发现图象关于原点对称，对称中心为. 师生活动：学生观察图象将结论告诉教师. 设计意图：根据步骤，学生学会借助正切函数利用性质作图，将其一般化，学会借助函数性质进行绘图，使其一般化，将函数图象与性质进行深度的融合绑定，从最开始的由图象得到性质再到利用性质得出图象，将性质作为画图的依据，实现“以数想形”，构建完整知识框架和培养逻辑推理素养. （4）探究单调性 内容1：根据正切曲线，正切函数在区间上单调递增，根据周期可得到，以提问形式，单调区间能写成吗？为什么必须是开区间？思考“正切函数在其定义域内是增函数？”，从而得到，正切函数在区间上单调递增. 师生活动：教师提问学生，学生独立思考并回答. 内容2：思考正切函数在每个周期内都是增函数吗？ 师生活动：师生合作探究. 设计意图：通过辨析，加深对单调性概念和周期的理解，同时对正切曲线的定义域构成具有了解. 3. 新知应用 内容1：求下列函数的周期 （1） ；（2）；（3）. 师生活动：学生自主解答，教师巡视并予以适当帮助. 设计意图：巩固正切函数周期性的理解. 内容2：求的单调性. 师生活动：学生自主解答. 巩固正切函数单调性的理解. 内容3：比较下面各组数的大小 （1） ；（2）. 师生活动：教师示范一题，规范解题步骤，学生自主完成第二题，教师巡视并展示优秀范例. 设计意图；将正切函数的周期性和单调性综合利用，构建完整的知识应用体系. 4. 小结提升 内容：回顾5.4完整所学知识内容及本节课内容，从三个层面出发. 知识层面：以表格形式对比正弦、余弦、正切函数的核心性质. 定义域 值域 周期性 周期为的周期函数 周期为的周期函数 周期为的周期函数 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 上单调递增，上单调递减 上单调递增，上单调递减 单调递增 对称性 对称轴直线，对称中心 对称轴直线，对称中心 对称中心 图象 方法层面：我们再次实践了研究函数性质的经典路径：分析定义（代数/几何）→ 推导基本性质（定义域、奇偶性、周期性）→ 利用性质指导画图（关键点、渐近线、趋势）→ 应用性质解决问题. 思想层面：体会了 “数形结合” 在探究中的核心作用，以及 “化归” 思想（利用周期性、奇偶性将复杂问题化归到基本区间）在解决问题中的威力，认识到三角函数家族的共性与个性. 师生活动：教师引导回顾. 5. 课后布置 （1） 预习5.5两角和差公式. （2） 完成课本P213-214习题5.4的7-8、14题. （3） 完成练习册对应部分. 7、 板书设计 §5.4.3 正切函数的性质与图象 1、 定义域和值域 2、 周期性和奇偶性 3、 图象和单调性 希沃 演算 学科网（北京）股份有限公司 $