专题08 等腰三角形（十六大题型64道题） 专项训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以等腰三角形定义为起点，构建“性质-判定-特殊化-关联应用”的知识链，通过16类题型系统覆盖核心考点，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与性质|1-12题|边长计算、角度推导、三线合一应用|从定义出发，通过等边对等角、三线合一构建性质体系| |判定应用|13-28题|格点作图、等角证等腰、边相等证明|以等角对等边为核心，结合作图与证明强化判定方法| |特殊与关联|29-64题|等边三角形性质判定、含30°直角三角形、斜边中线|从一般等腰三角形过渡到等边三角形，关联直角三角形性质，形成知识网络|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题08 等腰三角形（十六大题型64道题） 目录 知识点一等腰三角形的定义 1 知识点二等边对等角 4 知识点三三线合一 6 知识点四格点图中画等腰三角形 9 知识点五找出图中的等腰三角形 12 知识点六根据等角对等边证明等腰三角形 15 知识点七根据等角对等边证明边相等 18 知识点八根据等角对等边求边长 21 知识点九等腰三角形的性质和判定 23 知识点十等边三角形的性质 29 知识点十一等边三角形的判定 31 知识点十二等边三角形的判定和性质 34 知识点十三含30度角的直角三角形 37 知识点十四斜边的中线等于斜边的一半 40 知识点十五直角三角形的两个锐角互余 44 知识点十六锐角互余的三角形是直角三角形 47 知识点一等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 2．等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，计算后根据三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当为腰长时 ∵等腰三角形周长为 ∴底边长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为； 情况2：当为底边长时， ∵等腰三角形周长为 ∴腰长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为， 综上，腰长为或． 3．如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为，那么它的三边为_________． 【答案】，，或，， 【分析】设等腰三角形的腰长为，可得底边长为，根据边长为正和三角形三边关系列出不等式组，求出的取值范围，结合三边长为整数得到的取值，即可得到三角形的三边长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为， 根据题意可得不等式组， 解得， ∵等腰三角形的三边长均为整数， ∴或， 当时，底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 当时，底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，它的三边为，，或，，． 4．如图，已知和，延长交于，且满足，，． （1）请探究的形状，并证明你的结论； （2）用尺规作出的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）是等腰三角形； 证明：， ∴． 在和中， ， ． ． 是等腰三角形． （2）如图：线段即为所求． 【分析】（1）先证明，再证明可得，从而证明结论； （2）以点D为圆心，以大于点D到的距离画弧交于两点，再分别以该两点为圆心，以大于它们距离的为半径画弧，两弧交于一点， 连接两弧交点和点D，与交于点M，线段即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 知识点二等边对等角 5．如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，， 由等边对等角得， 即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ∴， ∴． 6．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解 【详解】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角度为，点的对应点为点，连接．若点，，在同一条直线上时，则______． 【答案】/70度 【分析】由旋转的性质可得，，根据点，，在同一条直线上，利用邻补角的定义求出的度数，再根据等边对等角求出，最后利用三角形内角和定理求出的度数即可求解 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，旋转角度为，点的对应点为点， ， 点，，在同一条直线上，， ， 在中， ． 8．如图，点在同一条直线上，与交于点，若，，，试说明：． 【答案】解：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴． 【分析】首先由得到，然后证明，即可得到． 【详解】略 知识点三三线合一 9．如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴． 10．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 11．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在中，于点D，的垂直平分线分别交于点E、F，已知，试说明：． 【答案】解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴. 【分析】根据中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一，得到，再根据线段的和差关系，等量代换即可得出结论. 【详解】略 知识点四格点图中画等腰三角形 13．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 14．如图，点都在网格纸的格点上，若是由绕点按顺时针方向旋转得到，且点在一条直线上，则最小旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取格点，得出是等腰直角三角形，进而根据旋转的性质可得，进而得出旋转角的度数，即可求解． 【详解】解：如图，取格点， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴，即 ∵是由绕点按顺时针方向旋转得到，且点在一条直线上， ∴ ∴ ∴最小旋转角的度数是 15．如图所示的是正方形网格，则____（点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 16．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点，在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图①中，以为腰作等腰三角形，使得点在格点上． （2）在图②中，以为底作等腰三角形，使得点在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）利用网格，取格点，使即可； （2）利用网格，取格点，使即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图、等腰三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 知识点五找出图中的等腰三角形 17．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 18．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 19．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 20．如图，在中，点D，E在边和边上，且． （1）图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； （2）找出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）5，， （2）， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 知识点六根据等角对等边证明等腰三角形 21．如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点，则下面说法中：；②；③；④，正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据余角的性质可判断①，根据角平分线的定义可判断③，证明，根据等角对等边推出可判断②，过点作于，根据角平分线的性质定理可得，利用三角形的面积可判断④． 【详解】解：是的平分线， ， ，是边上的高， ，， ，， ．故①③符合题意． ，是边上的高， ，， 是的平分线， ， ， ， ．故②符合题意． 如图，过点作于，   ，是的平分线， ， ∴， ∵， ∴ 故④符合题意． 22．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【详解】解：根据题意可得：平分，即， 故选：C． 23．如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，最后根据等腰三角形的判定方法，得出结论即可． 【详解】略 知识点七根据等角对等边证明边相等 25．已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，再根据三角形的周长、线段的和差、等量代换可得的周长为即可解答． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 26．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 又D为的中点， ∴，，， 故A、C、D选项正确，但不符合题意； B选项无法证明，故错误，符合题意． 27．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 28．若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示，则线段与线段，三者又有何数量关系？ 【答案】解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到，，根据等角对等边得到，，根据线段的和差即可得出． 【详解】略 知识点八根据等角对等边求边长 29．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 31．如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 32．如图，，，与相交于点E，若F是的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明可得，利用等边对等角可得，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 知识点九等腰三角形的性质和判定 33．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． A、证明是等腰直角三角形得，再证明，，进而可依据“”判定和全等得，，由此得等腰直角三角形，则； B、根据可依据“”判定和全等得，据此可对该结论进行判断； C、过点D作于点H，先证明和全等得，，再根据是等腰直角三角形得，进而得，据此可对该结论进行判断； D、根据点N在上，不一定是的中点得与不一定相等，再根据和全等得，由此得与不一定相等，据此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：A、∵于点D， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点M， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故选项A正确； B、∵于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故选项B正确； C、过点D作于点H，如图所示： ∴， ∵于点M， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项C正确； D、∵点N在上，不一定是的中点， ∴与不一定相等， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故选项D不正确． 故选：D． 34．如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 延长至点，使，连接，证明，得出相等的边和角，根据线段垂直平分线的性质得出相等边和，根据同角的余角相等得出，证明，得出相等边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵垂直平分线段， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 35．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 36．在中，，平分，平分． （1）你能得到什么结论呢？ （2）过点A作于D，你能得到什么结论？ 【答案】（1）是等腰三角形；是等腰三角形； （2），，，． 【分析】（1）由等角对等边得到，则是等腰三角形；由角平分线的定义推出，则可证明，得到是等腰三角形； （2）由三线合一定理可得，，则可推出，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示， ∵， ∴，， 又∵， ∴，． 知识点十等边三角形的性质 37．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 38．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 39．已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 40．如图和都为等边三角形，点、、不在同一直线上，与是否相等？请说明理由． 【答案】相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先由等边三角形性质得、，且，再通过两角同加，推证夹角，继而证明，最后由全等三角形对应边相等得出． 【详解】略 知识点十一等边三角形的判定 41．下列命题中是真命题的是（     ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理，逐项判断命题真假即可解答． 【详解】解：A 选项，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，该命题是真命题，符合题意； B 选项，只有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，仅一个角为的三角形不一定是等边三角形，该命题是假命题，不符合题意； C 选项，只有等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，选项未说明三线的位置，该命题是假命题，不符合题意； D 选项，两个锐角分别相等的两个直角三角形只有角对应相等，没有边对应相等的条件，不满足三角形全等的判定要求，该命题是假命题，不符合题意． 42．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 43．如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 44．如图，在中，，点，在上，． （1）求证：； （2）若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 知识点十二等边三角形的判定和性质 45．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 46．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 47．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，，则的度数为______________． 【答案】/90度 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，根据旋转的性质得出是等边三角形以及，最后利用求解即可． 【详解】解：，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， ． 48．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2）证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 知识点十三含30度角的直角三角形 49．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 【答案】C 【分析】给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即这棵竹子在折断前的高度是米． 50．如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出的长，在中利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 51．如图，平分，，，于点，，则___________． 【答案】 【分析】过点作，利用角平分线性质得到，再结合平行线、三角形外角性质可证为含角的直角三角形，结合求出，进而得到． 【详解】解：如图，过点作， 平分，，， ，， ， ， ， ， ， ． 52．如图，在中，是的垂直平分线，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 是的垂直平分线， ， ； （2） 【分析】（1）根据等角对等边可证，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可证，等量代换可证； （2）由（1）可知，根据含角的直角三角形的性质可得：． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可知， ， ， ，， ． 知识点十四斜边的中线等于斜边的一半 53．如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， 故选：A． 54．如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（    ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． 利用等腰三角形的三线合一以及直角三角形斜边中线定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴， ∴平分的面积， 故①正确； ②∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确； ③∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴，， ∴， ∵分别为两腰的中点， ∴， ∴， 故③正确； 综上，正确的有①②③， 故选：A． 55．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，，，． ∴， 在中，，是斜边上的中线， ． 56．如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】（）先由与推出是等腰直角三角形，得到；再利用和直角三角形斜边、直角边对应相等，证明；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合的条件，直接得出； （）由且是中点，可得垂直平分，故，进而推出；结合算出，再在中求得；利用之前已证的，得到，最后通过计算，从而证得． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∵ ， ∴； （2）证明：∵，是中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 知识点十五直角三角形的两个锐角互余 57．如图，在内引射线，作于点D，于点E，若，，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用证明，即可判断A； 根据可得出，即可判断B； 根据可得出，，从而可求得，即可判断D； 再求得，即可判断C． 【详解】解：∵作于点D，于点E， ∴， 在与中， ， ∴， 故A正确，但不符合题意； ∵， ∴， 故B正确，但不符合题意； ∵， ∴，， ∴， 故D正确，但不符合题意； ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 58．如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质．关键是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，再结合垂直的性质逐步计算角度． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵是边上的中线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在中，； ∴； 故选：A． 59．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 60．如图，在中，，于，平分交于，交于F． （1）如果，求的度数； （2）试说明：． 【答案】（1）； （2）证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 知识点十六锐角互余的三角形是直角三角形 61．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 62．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A： ∵，且， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项A不符合题意； 选项B： ∵，，， ∴中最大的角为， ∴不是直角三角形， 故选项B符合题意； 选项C： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 选项D： ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意． 故选：B． 63．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 64．如图，在中，是过点A的直线，于点于点E，且． （1）与全等吗？请说明理由； （2）求的面积． 【答案】（1）全等，理由见详解 （2）18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、三角形面积公式等知识，证明是解题关键． （1）利用“”证明与全等即可； （2）结合全等三角形的性质证明，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题08 等腰三角形（十六大题型64道题） 目录 知识点一等腰三角形的定义 1 知识点二等边对等角 2 知识点三三线合一 3 知识点四格点图中画等腰三角形 5 知识点五找出图中的等腰三角形 6 知识点六根据等角对等边证明等腰三角形 7 知识点七根据等角对等边证明边相等 8 知识点八根据等角对等边求边长 9 知识点九等腰三角形的性质和判定 10 知识点十等边三角形的性质 12 知识点十一等边三角形的判定 12 知识点十二等边三角形的判定和性质 13 知识点十三含30度角的直角三角形 15 知识点十四斜边的中线等于斜边的一半 16 知识点十五直角三角形的两个锐角互余 17 知识点十六锐角互余的三角形是直角三角形 18 知识点一等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 3．如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为，那么它的三边为_________． 4．如图，已知和，延长交于，且满足，，． （1）请探究的形状，并证明你的结论； （2）用尺规作出的高．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点二等边对等角 5．如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角度为，点的对应点为点，连接．若点，，在同一条直线上时，则______． 8．如图，点在同一条直线上，与交于点，若，，，试说明：． 知识点三三线合一 9．如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 11．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 12．如图，在中，于点D，的垂直平分线分别交于点E、F，已知，试说明：． 知识点四格点图中画等腰三角形 13．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 14．如图，点都在网格纸的格点上，若是由绕点按顺时针方向旋转得到，且点在一条直线上，则最小旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 15．如图所示的是正方形网格，则____（点，，，，为网格线交点）． 16．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点，在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图①中，以为腰作等腰三角形，使得点在格点上． （2）在图②中，以为底作等腰三角形，使得点在格点上． 知识点五找出图中的等腰三角形 17．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 18．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 19．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    20．如图，在中，点D，E在边和边上，且． （1）图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； （2）找出图中所有的等腰三角形． 知识点六根据等角对等边证明等腰三角形 21．如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点，则下面说法中：；②；③；④，正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 23．如图，在中，，，若，则的长为________． 24．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 知识点七根据等角对等边证明边相等 25．已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 26．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 27．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 28．若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示，则线段与线段，三者又有何数量关系？ 知识点八根据等角对等边求边长 29．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 30．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（    ） A．   B．   C．   D． 31．如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 32．如图，，，与相交于点E，若F是的中点，连接．求证：． 知识点九等腰三角形的性质和判定 33．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 34．如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 36．在中，，平分，平分． （1）你能得到什么结论呢？ （2）过点A作于D，你能得到什么结论？ 知识点十等边三角形的性质 37．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 38．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 39．已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 40．如图和都为等边三角形，点、、不在同一直线上，与是否相等？请说明理由． 知识点十一等边三角形的判定 41．下列命题中是真命题的是（     ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 42．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 43．如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 44．如图，在中，，点，在上，． （1）求证：； （2）若，且，试判断的形状，并说明理由． 知识点十二等边三角形的判定和性质 45．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 46．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 47．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，，则的度数为______________． 48．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 知识点十三含30度角的直角三角形 49．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 50．如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 51．如图，平分，，，于点，，则___________． 52．如图，在中，是的垂直平分线，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 知识点十四斜边的中线等于斜边的一半 53．如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（   ） A． B． C． D． 54．如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（    ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 55．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 56．如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 知识点十五直角三角形的两个锐角互余 57．如图，在内引射线，作于点D，于点E，若，，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 58．如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 59．中，，，则______． 60．如图，在中，，于，平分交于，交于F． （1）如果，求的度数； （2）试说明：． 知识点十六锐角互余的三角形是直角三角形 61．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 62．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 63．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 64．如图，在中，是过点A的直线，于点于点E，且． （1）与全等吗？请说明理由； （2）求的面积． 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